Appendice

Compléments sur les espaces vectoriels topologiques

1. Formes bilinéaires et applications linéaires.

Soient $(F_1, G_1), (F_2, G_2)$ deux couples d’espaces vectoriels (réels ou complexes) en dualité (Esp. vect. top., chap. IV, § 1, n° 1) ; supposons chacun de ces espaces muni de la topologie faible correspondante (loc. cit., n° 2) ; si $A$ et $B$ sont deux quelconques de ces espaces, on désignera comme d’ordinaire par $\mathscr{L}(A; B)$ l’espace vectoriel des applications linéaires continues de $A$ dans $B$ , et on notera $\mathscr{B}(A, B)$ l’espace vectoriel des formes bilinéaires séparément continues sur $A \times B$ .

Pour toute forme bilinéaire $\Phi$ séparément continue sur $F_1 \times F_2$ , $x_1 \to \Phi(x_1, x_2)$ est une forme linéaire continue sur $F_1$ , donc il existe un élément et un seul $^r\Phi(x_2) \in G_1$ tel que

(1)

\Phi(x_1, x_2) = \langle x_1, ^r\Phi(x_2) \rangle

pour

x_1 \in F_1, x_2 \in F_2

(Esp. vect. top., chap. IV, § 1, n° 2, prop. 1). En outre cette formule montre que l’application

x_2 \to ^r\Phi(x_2)

est linéaire et continue pour les topologies (faibles) de

F_2

et de

G_1

. Inversement, pour toute application linéaire continue

u

F_2

dans

G_1

(x_1, x_2) \to \Phi(x_1, x_2) = \langle x_1, u(x_2) \rangle

est une forme bilinéaire séparément continue sur

F_1 \times F_2

, et on a

^r\Phi = u

. On a ainsi défini un isomorphisme

r : \Phi \to ^r\Phi

\mathscr{B}(F_1, F_2)

sur

\mathscr{L}(F_2; G_1)

, dit canonique.

La formule

(2)

\Phi(x_1, x_2) = \langle ^l\Phi(x_1), x_2 \rangle

définit de même un isomorphisme canonique $l : \Phi \to {}^t\Phi$ de $\mathscr{B}(F_1, F_2)$ sur $\mathscr{L}(F_1; G_2)$ ; et on a évidemment le diagramme commutatif

\begin{array}{ccc} & & \mathscr{B}(F_1, F_2) \\ & \swarrow & \downarrow r^{-1} \\ \mathscr{L}(F_1; G_2) & \leftarrow t \rightarrow & \mathscr{L}(F_2; G_1) \\ & \searrow & \downarrow l^{-1} \\ & & \mathscr{L}(F_1; G_2) \end{array}

où $t$ est l’isomorphisme de transposition $u \to {}^t u$ . Vu la définition des topologies faibles sur $G_1$ et $G_2$ , il est immédiat en outre que, lorsqu’on munit $\mathscr{B}(F_1, F_2)$ , $\mathscr{L}(F_1; G_2)$ et $\mathscr{L}(F_2; G_1)$ de la topologie de la convergence simple, les isomorphismes du diagramme précédent sont des isomorphismes pour les structures d’espace vectoriel topologique.

Soient maintenant $E, F$ deux espaces localement convexes séparés, $E', F'$ leurs duals respectifs ; désignons par $E_\sigma, F_\sigma$ les espaces $E, F$ munis des topologies affaiblies $\sigma(E, E')$ , $\sigma(F, F')$ , par $E'_s, F'_s$ les espaces $E', F'$ munis des topologies faibles $\sigma(E', E)$ , $\sigma(F', F)$ . Les remarques précédentes établissent donc des isomorphismes canoniques entre les trois espaces $\mathscr{B}(E_\sigma, F'_s)$ , $\mathscr{L}(E_\sigma; F_\sigma)$ et $\mathscr{L}(F'_s; E'_s)$ , et aussi entre les trois espaces $\mathscr{B}(E_\sigma, F_s)$ , $\mathscr{L}(E_\sigma; F'_s)$ et $\mathscr{L}(F_s; E'_s)$ . On remarquera que $\mathscr{B}(E_\sigma, F_\sigma)$ est aussi égal à l’espace $\mathscr{B}(E, F)$ des formes bilinéaires séparément continues sur $E \times F$ ( $E$ et $F$ étant munis de leurs topologies initiales), puisque toute forme linéaire continue dans $E$ (resp. $F$ ) est continue dans $E_\sigma$ (resp. $F_\sigma$ ) et réciproquement (Esp. vect. top., chap. IV, § 1, no 1 et no 2, prop. 1).

Soit $\mathscr{B}(E, F)$ l’espace des formes bilinéaires continues sur $E \times F$ ( $E$ et $F$ étant munis de leurs topologies initiales) ; on a $\mathscr{B}(E, F) \subset \mathscr{B}(E, F)$ .

Proposition 1

Pour qu’une forme bilinéaire* $\Phi \in \mathscr{B}(E, F)$ appartienne à $\mathscr{B}(E, F)$ , il faut et il suffit qu’il existe un voisinage de 0 dans $E$ dont l’image par ${}^t\Phi$ soit une partie équicontinue de $F'$ .

En effet, dire que $\Phi$ est continue signifie qu’il existe un voisinage convexe équilibré $V$ (resp. $W$ ) de 0 dans $E$ (resp. $F$ ) tels que $|\Phi(x, y)| \leq 1$ pour $x \in V,\ y \in W$ ; cela s’écrit $|\langle {}^t\Phi(x), y \rangle| \leq 1$ , pour $x \in V$ et $y \in W$ , ou encore $l'\Phi(V) \subset W^0$ ; d'où la proposition, compte tenu du fait que toute partie équicontinue de $F'$ est contenue dans le polaire d'un voisinage de 0 dans $F$ .

Corollaire

Si $\Phi$ est une forme bilinéaire continue dans $E \times F$ , $l'\Phi$ est une application linéaire continue de $E$ dans le dual fort $F'_b$ de $F$ . Si en outre $E$ et $F$ sont normés, on a $\|l'\Phi\| = \|\Phi\|$ .

La première assertion résulte de la prop. 1 et du fait que tout voisinage de 0 dans $F'_b$ absorbe toute partie équicontinue de $F'$ . Si $E$ et $F$ sont normés, on a

\begin{align*} \|\Phi\| &= \sup_{\|x\| \leq 1, \|y\| \leq 1} |\Phi(x, y)| = \sup_{\|x\| \leq 1} (\sup_{\|y\| \leq 1} |\langle l'\Phi(x), y \rangle|) \\ &= \sup_{\|x\| \leq 1} \|l'\Phi(x)\| = \|l'\Phi\| \end{align*}

d'où la seconde assertion.

En échangeant les rôles de $E$ et $F$ , on obtient des résultats analogues à la prop. 1 et à son corollaire pour les applications linéaires $r'\Phi$ ; nous laissons au lecteur le soin de les énoncer.

2. Quelques types d’espaces possédant la propriété (GDF).

Nous savons déjà que tout espace de Fréchet possède la propriété (GDF) (Esp. vect. top., chap. I, § 3, no 3, cor. 5 du th. 1).

Proposition 2

Soient $E$ un espace vectoriel, $(F_\alpha)_{\alpha \in \Lambda}$ une famille d’espaces localement convexes possédant la propriété (GDF), et pour chaque $\alpha \in \Lambda$ , soit $h_\alpha$ une application linéaire de $F_\alpha$ dans $E$ . Si on munit $E$ de la topologie localement convexe la plus fine rendant continues les $h_\alpha$ , $E$ possède la propriété (GDF).

Soit $u$ une application linéaire de $E$ dans un espace de Banach $B$ , telle que toute limite dans $E \times B$ de toute suite convergente de points du graphe $\Gamma$ de $u$ appartienne encore à $\Gamma$ . Il suffit de montrer que, pour tout $\alpha \in \Lambda$ , $u \circ h_\alpha$ est continue dans $F_\alpha$ (Esp. vect. top., chap. II, § 2, no 2, cor. de la prop. 1). Or, soit $(x_n)$ une suite d’éléments de $F_\alpha$ ayant une limite $a$ et telle que la suite $(u(h_\alpha(x_n)))$ ait une limite $b \in B$ . Comme $h_\alpha$ est continue, $h_\alpha(a)$ est une limite de la suite $(h_\alpha(x_n))$ dans $E$ ; par hypothèse, on a donc $b = u(h_\alpha(a))$ , et comme $F_\alpha$ possède la propriété (GDF), $u \circ h_\alpha$ est continue.

Corollaire

Tout espace quotient d’un espace localement convexe possédant la propriété* (GDF) possède la propriété (GDF).

Proposition 3

Le dual fort d’un espace de Fréchet réflexif possède la propriété* (GDF).

C’est une conséquence de la prop. 2 et du lemme suivant :

Lemme 1

Soient F un espace de Fréchet, F' son dual fort, F'' son bidual. Si toute partie de F'', bornée pour $\sigma(F'', F')$ , est contenue dans l’adhérence (pour $\sigma(F'', F')$ ) d’une partie bornée de F, alors F' est limite inductive d’une suite d’espaces de Banach.

Soit en effet $(V_n)$ une suite fondamentale décroissante de voisinages convexes, équilibrés et fermés de 0 dans F. Pour tout entier $n$ , soit $G_n$ le sous-espace de $F'$ engendré par le polaire $V_n^0$ de $V_n$ . Dans $G_n$ , $V_n^0$ est un ensemble convexe absorbant, donc sa jauge $p_n$ est une norme sur $G_n$ ; en outre $V_n^0$ est une partie complète du dual fort $F'$ (Esp. vect. top., chap. III, § 3, no 7, th. 4); donc $G_n$ , muni de la norme $p_n$ , est un espace de Banach (Esp. vect. top., chap. I, § 1, no 5, cor. de la prop. 8). Nous allons montrer que la topologie forte sur $F'$ est limite inductive de ces topologies d’espace de Banach sur les $G_n$ , ou encore que, pour qu’une partie convexe, équilibrée et fortement fermée U de $F'$ soit un voisinage fort de 0, il faut et il suffit qu’elle absorbe chacun des $V_n^0$ . Il est évident que cette condition est nécessaire; pour voir qu’elle est suffisante, il nous suffira de prouver que U contient un tonneau de $F'$ . En effet, son polaire $U^0$ dans $F''$ sera alors borné pour $\sigma(F'', F')$ , donc sera contenu par hypothèse dans l’adhérence (pour $\sigma(F'', F')$ ) d’une partie bornée B de F, et on en conclura que U (qui est fermé pour $\sigma(F', F'')$ ) contient le voisinage fort $B^0$ de 0 (Esp. vect. top., chap. IV, § 1, no 3, prop. 3).

Par hypothèse, pour tout entier $n$ , il existe un nombre $\lambda_n > 0$ tel que $\lambda_n V_n^0 \subset \frac{1}{2} U$ ; soit $A_n$ l’enveloppe convexe de la réunion des $\lambda_i V_i^0$ pour $i \leq n$ . On a $A_n \subset \frac{1}{2} U$ pour tout $n$ ; soit W la réunion des

A_n : W est un ensemble convexe, équilibré, absorbant, contenu dans $\frac{1}{2} U$ et il nous suffit de montrer que son adhérence forte (qui est un tonneau) est contenue dans U.

Soit donc $x'$ un point de $F'$ n’appartenant pas à U. Comme chacun des $V_n^0$ est compact pour $\sigma(F', F)$ , il en est de même de $A_n$ ( $Esp.\ vect.\ top.$ , chap. II, § 4, no 1, prop. 1), et comme $x' \notin 2A_n$ , il existe un élément $x_n$ appartenant au polaire de $A_n$ dans F et tel que $\langle x', x_n \rangle = 2$ ( $Esp.\ vect.\ top.$ , chap. II, § 3, no 3, prop. 4). La suite $(x_n)$ est bornée dans F : en effet, tout $y' \in F'$ appartient à un des $V_k^0$ , et on a par suite $|\langle y', x_n \rangle| \leq \lambda_k^{-1}$ pour $n \geq k$ , d’où notre assertion ( $Esp.\ vect.\ top.$ , chap. IV, § 2, no 4, th. 3). Soit C un ensemble borné convexe équilibré de F contenant tous les $x_n$ ; C $^0$ est alors un voisinage de 0 dans $F'$ , et le polaire $C^{00}$ de $C^0$ dans $F''$ est compact pour $\sigma(F'', F')$ ( $Esp.\ vect.\ top.$ , chap. IV, § 2, no 2, prop. 2). On voit donc que la suite $(x_n)$ admet une valeur d’adhérence $x''$ dans $F''$ pour $\sigma(F'', F')$ ; on a évidemment $\langle x', x'' \rangle = 2$ et d’autre part, $x''$ appartient au polaire de $A_n$ dans $F''$ pour tout $n$ , donc au polaire $W^0$ de W dans $F''$ . On en conclut que $x' \notin W^{00}$ , donc n’est pas adhérent à W pour $\sigma(F', F'')$ ( $Esp.\ vect.\ top.$ , chap. IV, § 1, no 3, prop. 3), ni a fortiori pour la topologie forte, ce qui achève la démonstration.