Chapitre VI

Intégration vectorielle

Dans ce chapitre, si F désigne un espace vectoriel localement convexe séparé (sur $\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$), on note $F'$ son dual, $F''$ son bidual, ${F'}^*$ le dual algébrique de $F'$ (espace de toutes les formes linéaires sur $F'$) ; $F''$ est un sous-espace vectoriel de ${F'}^*$, et $F$ s’identifie (en tant qu’espace vectoriel sans topologie) à un sous-espace vectoriel de $F''$. On désigne par $F_\sigma$ l’espace vectoriel $F$ muni de la topologie affaiblie $\sigma(F, F')$ ; les qualificatifs « faible » et « faiblement » se rapportent à cette topologie.

Dans ce chapitre, $T$ désigne un espace localement compact, $\mathscr{K}_\mathbf{R}(T)$ ou $\mathscr{K}(T)$ (resp. $\mathscr{K}_\mathbf{C}(T)$) l’espace vectoriel des fonctions réelles (resp. complexes) sur $T$, continues et à support compact ; pour toute partie $A$ de $T$, $\mathscr{K}(T, A)$ (resp. $\mathscr{K}_\mathbf{C}(T, A)$) désigne le sous-espace de $\mathscr{K}(T)$ (resp. $\mathscr{K}_\mathbf{C}(T)$) formé des fonctions dont le support est contenu dans $A$. Sauf mention expresse du contraire, l’espace $\mathscr{K}(T)$ (resp. $\mathscr{K}_\mathbf{C}(T)$) sera muni de la topologie limite inductive des topologies de la convergence uniforme sur chacun des sous-espaces $\mathscr{K}(T, K)$ (resp. $\mathscr{K}_\mathbf{C}(T, K)$), $K$ parcourant l’ensemble des parties compactes de $T$.

Rappelons que cette topologie est plus fine que la topologie de la convergence uniforme, et par suite est séparée ; elle induit sur chacun des $\mathscr{K}(T, K)$ (resp. $\mathscr{K}_\mathbf{C}(T, K)$) la topologie de la convergence uniforme ($Esp.\ vect.\ top.$, chap. II, § 2, no 4, Remarque 3). L’espace $\mathscr{K}_\mathbf{C}(T)$ s’identifie à l’espace obtenu à partir de $\mathscr{K}(T)$ par extension des scalaires de $\mathbf{R}$ à $\mathbf{C}$. Dire qu’une forme linéaire sur $\mathscr{K}(T)$ est une mesure revient à dire qu’elle est continue ($Esp.\ vect.\ top.$, chap. II, § 2, no 4).