Chương VI

Tích phân vectơ

Trong chương này, nếu F ký hiệu một không gian vectơ lồi địa phương Hausdorff (trên $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$), ta ký hiệu đối ngẫu của nó bởi $F'$, đối ngẫu kép của nó bởi $F''$, và đối ngẫu đại số của $F'$ bởi ${F'}^*$ (không gian tất cả các dạng tuyến tính trên $F'$); $F''$ là một không gian con tuyến tính của ${F'}^*$, và F có thể được đồng nhất (như một không gian vectơ không tôpô) với một không gian con tuyến tính của $F''$. Ta ký hiệu bởi $F_\sigma$ không gian vectơ F được trang bị tôpô yếu $\sigma(F, F')$; các từ bổ nghĩa 'yếu' và 'theo nghĩa yếu' đều quy chiếu tới tôpô này.

Trong chương này, T ký hiệu một không gian compact địa phương, $\mathscr{K}_\mathbf{R}(T)$ hoặc $\mathscr{K}(T)$ (ứng với $\mathscr{K}_\mathbf{C}(T)$) ký hiệu không gian vectơ các hàm thực (ứng với phức) trên T, liên tục và có giá compact; với mọi tập con A của T, $\mathscr{K}(T, A)$ (ứng với $\mathscr{K}_\mathbf{C}(T, A)$) ký hiệu không gian con của $\mathscr{K}(T)$ (ứng với $\mathscr{K}_\mathbf{C}(T)$) gồm các hàm có giá được chứa trong A. Nếu không có nói rõ ngược lại, không gian $\mathscr{K}(T)$ (ứng với $\mathscr{K}_\mathbf{C}(T)$) sẽ được trang bị tôpô giới hạn trực tiếp của các tôpô hội tụ đều trên từng không gian con $\mathscr{K}(T, K)$ (ứng với $\mathscr{K}_\mathbf{C}(T, K)$), trong đó K chạy trên tập hợp các tập con compact của T.

Ta nhắc lại rằng tôpô này mịn hơn tôpô hội tụ đều, do đó là Hausdorff; nó gây trên mỗi $\mathscr{K}(T, K)$ (ứng với $\mathscr{K}_\mathbf{C}(T, K)$) tôpô hội tụ đều (TVS, II, §4, No. 4, Nhận xét). Không gian $\mathscr{K}_\mathbf{C}(T)$ có thể được đồng nhất với không gian thu được từ $\mathscr{K}(T)$ bằng phép mở rộng vô hướng từ $\mathbf{R}$ sang $\mathbf{C}$. Nói rằng một dạng tuyến tính trên $\mathscr{K}(T)$ là một độ đo có nghĩa, theo định nghĩa, là nó liên tục (Ch. III, §1, No. 3, Đn. 2).