Ghi chú lịch sử

(Chương II đến V)

(N.B. — Các số La Mã chỉ đến thư mục ở cuối ghi chú này.)

Sự phát triển của khái niệm hiện đại về tích phân gắn bó chặt chẽ với sự tiến hóa của ý niệm về hàm, và với việc nghiên cứu sâu hơn các hàm số của biến thực, được tiến hành từ đầu thế kỷ 19. Người ta biết rằng Euler đã quan niệm khái niệm hàm theo một cách khá tổng quát, vì đối với ông, việc cho một đường cong "tùy ý" bị cắt tại một điểm duy nhất bởi mọi đường thẳng song song với trục Oy xác định một hàm $y = f(x)$ (xem FRV, Ghi chú lịch sử cho Chương I–III); tuy nhiên, cũng như phần lớn những người cùng thời, ông từ chối thừa nhận rằng các hàm như vậy có thể được biểu diễn một cách "giải tích". Quan điểm này hầu như không thay đổi cho đến công trình của Fourier; nhưng sự phát hiện của ông này về khả năng biểu diễn các hàm không liên tục thành các tổng của các chuỗi lượng giác,* đã có một ảnh hưởng quyết định đến các thế hệ sau. Thực ra, các chứng minh của Fourier hoàn toàn thiếu chặt chẽ, và miền hiệu lực của chúng không rõ ràng; tuy nhiên, các công thức tích phân

a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \varphi(x) \cos nx \, dx , \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \varphi(x) \sin nx \, dx \quad (n \geqslant 1),

cho các hệ số của khai triển chuỗi Fourier của $\varphi$ , có một ý nghĩa trực giác hiển nhiên khi giả sử $\varphi$ liên tục từng khúc và

\* "Phát hiện" chỉ theo một nghĩa tương đối: Euler đã quen thuộc với việc biểu diễn bằng chuỗi lượng giác các hàm không tuần hoàn như $x$ và $x^2$ , và các công thức (1) có thể tìm thấy trong một công trình của Clairaut từ năm 1754, cũng như trong một hồi ký năm 1777 của Euler. Nhưng trong khi thế kỷ 18, do thiếu một quan niệm rõ ràng về ý nghĩa của khai triển thành một chuỗi, đã bỏ qua các kết quả như vậy và vẫn giữ nguyên niềm tin vào sự không thể có được các khai triển như thế đối với các hàm "không liên tục", thì Fourier, trái lại, tuyên bố rằng các khai triển của ông hội tụ "bất kể đường cong tương ứng với $\varphi(x)$ , dù có thể gán cho nó một phương trình giải tích hay không, dù nó phụ thuộc vào một luật chính quy nào đó hay không" (Œuvres, v. I, Paris (Gauthier–Villars), 1888, p. 210).

đơn điệu.* Ngoài ra, chính là các hàm này mà Dirichlet hạn chế mình ngay từ đầu, trong hồi ký nổi tiếng (II), nơi ông thiết lập sự hội tụ của chuỗi Fourier; nhưng ngay ở cuối công trình của mình, ông đã quan tâm đến việc mở rộng các kết quả của mình sang những lớp hàm rộng hơn. Người ta biết rằng chính vào dịp này, Dirichlet, làm chính xác hơn các ý tưởng của Fourier, đã định nghĩa khái niệm tổng quát về hàm như cách chúng ta hiểu ngày nay; một cách tự nhiên, điểm đầu tiên cần làm rõ là biết trong những trường hợp nào thì một lần nữa có thể gán ý nghĩa cho các công thức (1). "Khi các nghiệm của tính liên tục [của $\varphi$ ] là vô hạn về số lượng ..." Dirichlet nói ((II), p. 169), "thì cần thiết rằng hàm $\varphi(x)$ phải sao cho, nếu $a$ và $b$ biểu thị hai đại lượng tùy ý giữa $-\pi$ và $+\pi$ , ta luôn có thể đặt giữa $a$ và $b$ các đại lượng khác $r$ và $s$ đủ gần nhau để hàm vẫn liên tục trong khoảng từ $r$ đến $s$ . Người ta dễ dàng cảm nhận sự cần thiết của hạn chế này khi xét rằng các số hạng khác nhau của chuỗi [Fourier] là các tích phân xác định và khi quay trở lại khái niệm cơ bản về tích phân. Khi đó sẽ thấy rằng tích phân của một hàm chỉ có ý nghĩa chừng nào hàm thỏa mãn điều kiện vừa nêu."

Theo thuật ngữ hiện đại, Dirichlet dường như tin rằng tính khả tích tương đương với việc các điểm gián đoạn tạo thành một tập hợp không trù mật ở mọi nơi; hơn nữa, vài dòng sau, ông ghi nhận ví dụ nổi tiếng về hàm bằng $c$ đối với $x$ hữu tỉ, và bằng một giá trị khác $d$ đối với $x$ vô tỉ, và ông khẳng định rằng hàm này "không thể được thay thế" vào tích phân. Ông cũng thông báo các công trình tương lai về chủ đề này, nhưng các công trình đó không bao giờ được công bố, và trong 25 năm không ai dường như đã tìm cách tiến triển theo hướng đó, có lẽ vì việc xét các hàm "bệnh lý" như vậy vào thời điểm ấy dường như hoàn toàn không có lợi ích; dù sao đi nữa, khi Riemann, vào năm 1854 ((III), pp. 227–264), tiếp tục lại vấn đề này (vẫn liên quan đến các chuỗi lượng giác*), ông cảm thấy cần phải biện minh cho công trình của mình: "Dù sự không hiểu biết của chúng ta liên quan đến cách thức mà các lực và các trạng thái của vật chất thay đổi theo thời gian và không gian trong cái vô cùng nhỏ có thể như thế nào, chúng ta vẫn có thể xem là chắc chắn rằng các hàm mà các nghiên cứu của Dirichlet không áp dụng không xuất hiện trong các hiện tượng tự nhiên. Tuy nhiên," ông tiếp tục, "dường như các trường hợp này, chưa được Dirichlet xử lý, đáng được chú ý—

\* Đối với Fourier, tích phân vẫn được định nghĩa bằng cách viện đến khái niệm diện tích; chúng ta nhắc lại rằng định nghĩa giải tích của tích phân chỉ xuất hiện với Cauchy (xem FRV, Ghi chú lịch sử cho Chương I-III).

** Theo một số chỉ dẫn (khá tối nghĩa) của Lipschitz (J. de Crelle, 63 (1864), p. 296; được P. Montel dịch sang tiếng Pháp trong Acta. Math., 36 (1912), pp. 261–295), Dirichlet có lẽ tin rằng nếu tập hợp các điểm gián đoạn là không trù mật ở mọi nơi, thì "tập dẫn xuất" của nó là hữu hạn, và trong mọi trường hợp đã hạn chế các nghiên cứu của mình vào trường hợp điều này đúng.

*** Từ thời Dirichlet và Riemann cho đến hiện nay, chúng ta sẽ thấy sự gắn bó chặt chẽ giữa phép lấy tích phân và cái ngày nay được gọi là "giải tích điều hòa", vốn theo một nghĩa nào đó tạo thành phép thử của nó.

tion vì hai lý do. Thứ nhất, như chính Dirichlet nhận xét ở cuối công trình của mình, chủ đề này liên quan rất chặt chẽ với các nguyên lý của phép tính vi phân, và có thể giúp làm sáng tỏ và làm cho các nguyên lý này chắc chắn hơn. Theo quan điểm này, việc nghiên cứu nó có ý nghĩa ngay lập tức. Thứ hai, việc áp dụng các chuỗi Fourier không chỉ giới hạn trong nghiên cứu Vật lý; hiện nay chúng còn được áp dụng thành công trong một lĩnh vực của toán học thuần túy, lý thuyết số, và dường như chính những hàm mà khai triển thành chuỗi lượng giác không được Dirichlet nghiên cứu lại có một tầm quan trọng nào đó ở đây ((III), pp. 237–238).

Ý tưởng của Riemann là bắt đầu từ phương pháp xấp xỉ tích phân, được Cauchy khôi phục về vị trí xứng đáng, và xác định khi nào các ‘tổng Riemann’ của một hàm $f$ , trong một khoảng bị chặn $[a, b]$ , tiến tới một giới hạn (khi độ dài cực đại của các khoảng của phép chia tiến tới 0), một bài toán mà ông giải quyết không khó khăn, dưới dạng sau: với mọi $\alpha > 0$ , tồn tại một phép chia $[a, b]$ thành các khoảng con có độ dài cực đại đủ nhỏ sao cho tổng độ dài của các khoảng của phép chia này mà trên đó dao động của $f$ là $> \alpha$ , nhỏ tùy ý. Hơn nữa, ông chứng minh rằng điều kiện này được thỏa mãn không chỉ đối với các hàm liên tục từng khúc và đơn điệu, mà còn đối với một số hàm có thể có một tập điểm gián đoạn trù mật.*

Hồi ký của Riemann chỉ được công bố sau khi ông qua đời, vào năm 1867. Tuy nhiên, lần này thời đại thuận lợi hơn cho kiểu nghiên cứu này, và ‘tích phân Riemann’ tự nhiên chiếm một vị trí trong dòng tư tưởng khi đó đang dẫn tới việc nghiên cứu sâu rộng ‘liên tục’ và các hàm của biến thực (Weierstrass, Du Bois-Reymond, Hankel, Dini), và cuối cùng, với Cantor, dẫn tới sự ra đời của lý thuyết tập hợp. Dạng mà Riemann đưa ra cho điều kiện khả tích gợi ra ý tưởng về một ‘độ đo’ cho tập các điểm gián đoạn của một hàm trong một khoảng; nhưng phải gần 30 năm sau người ta mới thành công trong việc đưa ra một định nghĩa hữu ích và thuận tiện cho khái niệm này.

Những nỗ lực đầu tiên theo hướng này là của Stolz, Harnack và Cantor (1884–85); để định nghĩa ‘độ đo’ của một tập con bị chặn E của $\mathbf{R}$ , hai người đầu tiên xét các tập $F \supset E$ là hợp hữu hạn của các khoảng, lấy với mỗi F tổng độ dài của các khoảng tương ứng, và gọi ‘độ đo’ của E là infimum của các số này; trong khi đó Cantor, ngay lập tức đặt mình trong không gian $\mathbf{R}^n$ , xét với một tập bị chặn E và với $\rho > 0$ lân cận $V(\rho)$ của E gồm các điểm có khoảng cách đến E là $\leq \rho$ , và lấy infimum của ‘thể tích’ của $V(\rho)$ .** Với định nghĩa này,

\* Tuy nhiên, H. J. Smith đã đưa ra, ngay từ năm 1875, ví dụ đầu tiên về một hàm không khả tích theo nghĩa của Riemann, mà tập các điểm gián đoạn của nó là trù mật ở đâu cũng không (Proc. London Math. Soc., (1), v. VI (1875), pp. 140–153).

** Cantor không đưa ra một định nghĩa chính xác về ‘thể tích’ này và chỉ giới hạn mình ở ‘độ đo’ của một tập bằng độ đo của bao đóng của nó, từ đó đặc biệt suy ra rằng ‘độ đo’ của hợp của hai tập rời nhau có thể nhỏ hơn tổng ‘độ đo’ của hai tập đó. Không nghi ngờ gì, để giảm bớt khó khăn cuối cùng này, Peano (V) và Jordan (VI) vài năm sau đã đưa vào, bên cạnh ‘độ đo’ $\mu(A)$ của Cantor của một tập A được chứa trong một hộp $I$ , ‘độ đo nội’ $\mu(I) - \mu(I - A)$ của nó, và gọi các tập A mà hai số này trùng nhau là ‘đo được’ (ngày nay gọi là ‘quarriable’). Hợp của hai tập rời nhau quarriable $A, B$ khi đó là quarriable và có ‘độ đo’ bằng tổng ‘độ đo’ của A và B; tuy nhiên, một tập mở bị chặn không nhất thiết là quarriable, cũng như tập các số hữu tỉ được chứa trong một khoảng bị chặn, điều này làm cho khái niệm Peano–Jordan mất đi phần lớn ý nghĩa của nó.

Công lao nhận ra những thiếu sót của các định nghĩa trước đây và thấy cách khắc phục chúng thuộc về E. Borel (IX). Từ Cantor người ta đã biết rằng mọi tập mở $U$ trong $\mathbf{R}$ là hợp của họ đếm được các ‘thành phần’ của nó, là những khoảng mở rời nhau từng đôi một; thay vì tìm cách xấp xỉ $U$ ‘từ bên ngoài’ bằng cách chứa nó trong một dãy hữu hạn các khoảng, Borel, dựa trên kết quả trước đó, đề nghị lấy độ đo của $U$ (khi $U$ bị chặn) là tổng độ dài các thành phần của nó. Sau đó ông mô tả rất vắn tắt* lớp các tập (về sau gọi là ‘các tập Borel’) có thể thu được, bắt đầu từ các tập mở, bằng cách lặp vô hạn các phép lấy hợp đếm được và ‘hiệu’ $A - B$ , và ông chỉ ra rằng đối với các tập này, có thể định nghĩa một độ đo có tính chất cơ bản là tính cộng đầy đủ: nếu một dãy $(A_n)$ gồm các tập Borel rời nhau từng đôi một, thì độ đo của hợp của chúng (giả sử bị chặn) bằng tổng các độ đo của chúng.

Định nghĩa này mở ra một kỷ nguyên mới trong Giải tích: một mặt, kết hợp với các công trình đương thời của Baire, nó tạo thành điểm xuất phát của cả một loạt nghiên cứu mang tính tôpô về việc phân loại các tập điểm; và trên hết, nó trở thành cơ sở cho việc mở rộng khái niệm tích phân, do Lebesgue thực hiện trong những năm đầu của thế kỷ 20.

Trong luận án của mình (X a)), Lebesgue bắt đầu bằng việc làm chính xác và phát triển những chỉ dẫn súc tích của E. Borel; bắt chước phương pháp Peano–Jordan, ‘độ đo ngoài’ của một tập bị chặn $A \subset \mathbf{R}$ được định nghĩa là infimum của các độ đo của các tập mở chứa A; sau đó, nếu $I$ là một khoảng chứa-

là infimum của các độ đo của các tập mở chứa $A$ ; sau đó, nếu $I$ là một khoảng chứa-

nói rằng nó có thể được tính bằng một tích phân bội ((IV), tr. 229–236 và 257–258). Dễ dàng thấy rằng định nghĩa của ông tương đương với định nghĩa của Stolz–Harnack, bằng cách áp dụng định lý Borel–Lebesgue.

\* Đối với Borel, độ đo cho đến lúc này vẫn chỉ là một phương tiện kỹ thuật trong việc nghiên cứu một số chuỗi các hàm hữu tỉ, và chính ông nhấn mạnh rằng, đối với mục tiêu mà ông đặt ra cho mình, tính hữu dụng của độ đo chủ yếu là do thực tế rằng một tập hợp có độ đo khác không thì không đếm được ((IX), p. 48).

ing $A$ , “độ đo nội” của $A$ là hiệu của các độ đo ngoại của $I$ và $I - A$ ; do đó ta thu được khái niệm “tập hợp đo được”, chỉ khác với định nghĩa “kiến tạo” ban đầu của Borel ở chỗ thêm vào một tập con của một tập hợp có độ đo không theo nghĩa của Borel. Định nghĩa này ngay lập tức mở rộng sang các không gian $\mathbf{R}^n$ ; quan niệm cũ về tích phân xác định $\int_a^b f(t)\,dt$ của một hàm bị chặn $\geqslant 0$ như “diện tích” giới hạn bởi đường cong $y = f(x)$ và các đường thẳng $x = a$ , $x = b$ và $y = 0$ , do đó cung cấp một mở rộng ngay lập tức của tích phân Riemann cho tất cả các hàm $f$ mà độ đo của tập hợp nói trên tình cờ được xác định. Nhưng tính độc đáo của Lebesgue không nằm nhiều ở ý tưởng về mở rộng này* bằng ở việc ông phát hiện ra định lý cơ bản về phép chuyển qua giới hạn trong tích phân được quan niệm như vậy, một định lý xuất hiện trong công trình của ông như một hệ quả của tính cộng tính đầy đủ của độ đo; ông lập tức nhận thấy tầm quan trọng đầy đủ của nó, và biến nó thành nền tảng của phần trình bày mang tính sư phạm về lý thuyết của mình mà ông đã đưa ra ngay từ năm 1904 trong tác phẩm nổi tiếng “Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives” (X b)).*

Ở đây chúng ta không thể mô tả chi tiết vô số tiến bộ mà các kết quả của Lebesgue đã dẫn đến trong việc nghiên cứu các bài toán cổ điển của phép tính vi phân vô cùng bé; chúng ta sẽ có dịp nhấn mạnh một số trong đó ở các Quyển sau. Bản thân Lebesgue, ngay trong luận án của mình, đã áp dụng lý thuyết của ông vào việc mở rộng các khái niệm cổ điển về độ dài và diện tích cho những tập hợp tổng quát hơn các đường cong và mặt thông thường; về sự phát triển đáng kể của lý thuyết này trong nửa thế kỷ qua, chúng tôi dẫn người đọc đến công trình trình bày gần đây của L. Cesari (XXVI). Chúng tôi cũng đề cập đến các áp dụng vào chuỗi lượng giác, được Lebesgue phát triển gần như ngay lập tức sau luận án của ông (X c)), những áp dụng đã mở ra những chân trời mới cho lý thuyết này, mà việc khảo sát cho đến ngày nay còn lâu mới hoàn tất (xem (XXV)). Cuối cùng, và trên hết, định nghĩa các không gian $L^p$ và định lý Riesz–Fischer ((XIII), (XV a)) và (XV b)); cf. Ghi chú lịch sử cho Quyển V) đã làm sáng tỏ vai trò mà khái niệm mới về tích phân có thể đảm nhận trong giải tích Hàm; một vai trò chỉ ngày càng tăng

\* Độc lập với Lebesgue, W. H. Young đã có cùng ý tưởng này đối với các hàm nửa liên tục (XI a)). Trường hợp đặc biệt của định lý này, đối với một dãy các hàm khả tích theo nghĩa Riemann trên một khoảng compact, bị chặn đều, và có giới hạn khả tích theo nghĩa Riemann, đã được Arzelà chứng minh (VII). *Trong số những hệ quả quan trọng nhất của định lý này trong lý thuyết tổng quát về tích phân, cần đặc biệt kể đến định lý Egoroff về sự hội tụ của các dãy hàm đo được (XVI), làm chính xác hơn một số nhận xét trước đó của Borel và Lebesgue. Mặt khác, ban đầu các hàm đo được (số) được Lebesgue định nghĩa bằng tính chất rằng, đối với một hàm như vậy $f$ , ảnh ngược qua $f$ của mọi khoảng của $\mathbf{R}$ là một tập hợp đo được. Tuy nhiên, từ năm 1903 trở đi, Borel và Lebesgue đã chú ý đến các tính chất tôpô của những hàm này; chúng được đưa về dạng cuối cùng bởi Vitali, người, vào năm 1905 (XII a)), lần đầu tiên phát biểu tính chất của các hàm đo được mà chúng ta đã lấy làm định nghĩa trong Ch. IV, §5 (một định lý được N. Lusin phát hiện lại vào năm 1912 và thường được biết đến dưới tên ông).

với những mở rộng tiếp theo của khái niệm này, mà chúng ta sẽ nói đến ngay sau đây.

Nhưng trước hết, hãy dừng lại lâu hơn một chút ở một trong những bài toán mà Lebesgue đã dành nhiều công sức nhất, đó là mối liên hệ giữa các khái niệm nguyên và nguyên thủy. Với phép tổng quát hóa nguyên do Riemann đưa vào, câu hỏi tự nhiên nảy sinh là liệu sự tương ứng cổ điển giữa nguyên và nguyên thủy, đúng đối với các hàm liên tục, có còn tồn tại trong những trường hợp tổng quát hơn hay không. Bây giờ, dễ dàng đưa ra các Ví dụ về các hàm $f$ , khả tích theo nghĩa của Riemann, sao cho $\int_a^x f(t) \, dt$ không có đạo hàm (thậm chí không có đạo hàm phải hay đạo hàm trái) tại một số điểm (xem FRV, II, §2, Bài tập 1); đảo lại, Volterra đã chỉ ra, năm 1881, rằng một hàm $F(x)$ có thể có một đạo hàm bị chặn trong một khoảng I nhưng không khả tích (theo nghĩa của Riemann) trong I. Bằng một phép giải tích hết sức tinh tế (trong đó định lý về chuyển qua giới hạn trong nguyên còn lâu mới đủ), Lebesgue đã thành công trong việc chứng minh rằng nếu $f$ khả tích (theo nghĩa của ông) trên $[a, b]$ , thì $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ có hầu khắp nơi một đạo hàm bằng $f(x)$ (X b)). Đảo lại, nếu một hàm $g$ khả vi trên $[a, b]$ và đạo hàm của nó $g' = f$ là bị chặn, thì $f$ là khả tích và công thức $g(x) - g(a) = \int_a^x f(t) \, dt$ đúng. Tuy nhiên, Lebesgue nhận thấy rằng bài toán phức tạp hơn nhiều khi $g'$ không bị chặn; trong trường hợp này $g'$ không nhất thiết khả tích, do đó bài toán đầu tiên là đặc trưng các hàm liên tục $g$ mà $g'$ tồn tại hầu khắp nơi và khả tích. Hạn chế mình vào trường hợp một trong các đạo hàm phụ* của $g$ là hữu hạn ở mọi nơi, Lebesgue đã chỉ ra rằng $g$ nhất thiết là một hàm có biến thiên bị chặn. Cuối cùng, ông đã thiết lập một đảo lại của kết quả cuối cùng: một hàm $g$ có biến thiên bị chặn thừa nhận một đạo hàm hầu khắp nơi, và $g'$ là khả tích; tuy nhiên, không còn nhất thiết đúng rằng

g(x) - g(a) = \int_a^x g'(t) \, dt;

\* Các đạo hàm phụ phải của $g$ tại điểm $x$ là hai giới hạn

\limsup_{h \to 0, h > 0} (g(x + h) - g(x))/h, \quad \liminf_{h \to 0, h > 0} (g(x + h) - g(x))/h.

Các đạo hàm phụ trái được định nghĩa tương tự.

** Các hàm này đã được Jordan đưa vào trong mối liên hệ với việc cải chính các đường cong (VI); ông đã chỉ ra rằng có thể cho chúng các định nghĩa tương đương sau đây: a) $f$ là hiệu của hai hàm tăng; b) với mọi phép chia khoảng $[a, b]$ bằng một dãy hữu hạn tăng các điểm $(x_i)_{0 \leq i \leq n}$ , với $a = x_0$ , $b = x_n$ , tổng $\sum_{i=1}^n |f(x_i) - f(x_{i-1})|$ bị chặn bởi một số độc lập với phép chia đang xét. Cận trên của các tổng này là tổng biến thiên của $f$ trên $[a, b]$ .

hiệu giữa hai thành phần của quan hệ này là một hàm có biến thiên bị chặn không hằng và có đạo hàm bằng không hầu khắp nơi (một hàm 'kỳ dị'). Còn lại là đặc trưng các hàm $g$ có biến thiên bị chặn sao cho quan hệ (2) đúng. Lebesgue đã thiết lập rằng các hàm này (được Vitali gọi là 'tuyệt đối liên tục', người đã nghiên cứu chi tiết chúng) là những hàm có tính chất sau đây: tổng biến thiên của $g$ trên một tập mở U (tổng các tổng biến thiên của $g$ trên mỗi thành phần liên thông của U) tiến tới 0 cùng với độ đo của U.

Ta sẽ thấy dưới đây cách mà các kết quả này, dưới một dạng yếu hơn, về sau đã có được một ý nghĩa tổng quát hơn nhiều. Ở dạng ban đầu của chúng, lĩnh vực áp dụng của chúng vẫn khá hạn chế, không vượt ra ngoài khuôn khổ của lý thuyết 'tinh' về các hàm của biến thực; chúng cũng vẫn nằm ngoài phạm vi của chuyên luận hiện tại.* Càng có lý do hơn rằng điều tương tự cũng đúng đối với những phát triển về sau trong lý thuyết các nguyên thủy; ở đây chúng ta sẽ chỉ bằng lòng với việc nhắc đến công trình sâu sắc của Denjoy và những người mô phỏng và tiếp tục công trình của ông (Perron, de la Vallée-Poussin, Khintchine, Lusin, Banach, v.v.); độc giả sẽ tìm thấy một trình bày chi tiết về các vấn đề này trong cuốn sách của S. Saks (XXIV).

Một trong những tiến bộ cốt yếu do lý thuyết của Lebesgue mang lại liên quan đến các tích phân bội. Khái niệm này được đưa vào vào khoảng giữa thế kỷ 18, ban đầu dưới dạng 'nguyên không xác định' (theo phép loại suy với lý thuyết nguyên của các hàm một biến, $\iint f(x, y)\, dx\, dy$ biểu thị một nghiệm của phương trình $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f(x, y)$ ); nhưng Euler, ngay từ năm 1770, đã có một quan niệm rất rõ ràng về nguyên kép mở rộng tới một miền bị chặn (giới hạn bởi các cung giải tích của các đường cong), và ông đã viết đúng công thức đánh giá một nguyên như vậy bằng hai nguyên đơn liên tiếp (I). Không khó để biện minh cho công thức này theo các 'tổng Riemann', chừng nào hàm được lấy nguyên là liên tục và miền lấy nguyên không quá phức tạp; nhưng ngay khi muốn xét những trường hợp tổng quát hơn, phương pháp Riemann gặp những khó khăn nghiêm trọng ( $f(x, y)$ có thể khả tích theo nghĩa của Riemann, mà không có $\int dx \int f(x, y)\, dy$ có nghĩa khi các nguyên đơn được lấy theo nghĩa của Riemann). Những khó khăn này biến mất khi người ta chuyển sang định nghĩa của Lebesgue; định nghĩa sau này đã được ông chỉ ra trong luận án của mình rằng khi $f(x, y)$ là một 'hàm Baire' bị chặn, thì các hàm $y \mapsto f(x, y)$ (với mọi $x$ ) và $x \mapsto \int f(x, y)\, dy$ cũng vậy, và ta có công thức

\iint f(x, y)\, dx\, dy = \int dx \int f(x, y)\, dy

\* Tuy nhiên, chúng ta nhắc đến rằng lý thuyết hiện đại về 'martingale' trong phép tính xác suất thường xuyên sử dụng các lập luận có sự tương tự mạnh với những lập luận được dùng trong việc nghiên cứu phép lấy đạo hàm.

(được lấy tích phân trên một hình chữ nhật). Một thời gian ngắn sau, Fubini (XIV) đã bổ sung quan trọng cho kết quả này bằng cách chứng minh rằng nếu chỉ giả thiết $f$ khả tích, thì tập hợp các $x$ sao cho $y \mapsto f(x, y)$ không khả tích có độ đo không, điều này cho phép ngay lập tức mở rộng công thức (3) cho trường hợp này.

Cuối cùng, vào năm 1910 (X d)), Lebesgue tiến hành mở rộng các kết quả của mình về các đạo hàm của các tích phân đơn sang các tích phân bội. Do đó, ông được dẫn đến việc gắn với một hàm $f$ , khả tích trên mọi tập con compact của $\mathbf{R}^n$ , hàm tập hợp $F(E) = \int_E f(\mathbf{x})\, d\mathbf{x}$ , được định nghĩa với mọi tập con khả tích E của $\mathbf{R}^n$ , khái quát hóa khái niệm 'tích phân không xác định'; và nhân dịp này ông nhận thấy rằng hàm này có hai tính chất sau: 1° nó hoàn toàn cộng tính; 2° nó 'liên tục tuyệt đối' theo nghĩa $F(E)$ tiến tới 0 khi độ đo của E tiến tới 0. Phần cốt yếu trong hồi ký của Lebesgue là chứng minh đảo lại của mệnh đề này.* Nhưng ông không dừng lại ở đó, và, theo cùng hướng ấy, ông lưu ý đến khả năng tổng quát hóa khái niệm hàm biến thiên bị chặn, bằng cách xét các hàm $F(E)$ của một tập hợp đo được, hoàn toàn cộng tính và sao cho $\sum_n |F(E_n)|$ vẫn bị chặn với mọi phân hoạch đếm được của E thành các tập hợp đo được $E_n$ . Và, nếu trên thực tế ông chỉ hạn chế việc xét các hàm như vậy trên tập hợp các hình hộp của $\mathbf{R}^n$ , thì rõ ràng chỉ còn một bước nữa để đi đến khái niệm tổng quát về độ đo mà J. Radon sẽ định nghĩa vào năm 1913, bao hàm trong một tổng hợp duy nhất tích phân Lebesgue và tích phân Stieltjes, mà bây giờ chúng ta phải nói đến.

Năm 1894, T. Stieltjes công bố, dưới nhan đề "Recherches sur les fractions continues" (VIII), một hồi ký hết sức độc đáo, trong đó, xuất phát từ một bài toán có vẻ khá đặc biệt, những bài toán có tính chất hoàn toàn mới trong lý thuyết các hàm giải tích và các hàm của một biến thực được đặt ra và giải quyết với một sự tao nhã hiếm có.** Để biểu diễn giới hạn của một dãy các hàm giải tích nhất định, trong số những điều khác, Stieltjes được dẫn đến việc đưa vào khái niệm 'phân bố khối lượng' dương trên đường thẳng, một khái niệm từ lâu đã quen thuộc trong các khoa học vật lý nhưng trước đó chỉ được xét trong toán học dưới những giả thiết hạn chế (nói chung, sự tồn tại của một 'mật độ' tại mọi điểm, biến thiên một cách liên tục); ông nhận thấy rằng việc cho một phân bố như vậy tương đương với việc cho hàm tăng $\varphi(x)$ cho tổng khối lượng được chứa trong khoảng có hai đầu mút 0 và $x$ khi $x > 0$ , và khối lượng này với dấu đổi ngược khi $x < 0$ , các điểm gián đoạn của $\varphi$ tương ứng với các khối lượng 'tập trung

\* Công cụ chính trong chứng minh này là một định lý về phủ được Vitali chứng minh trước đó một thời gian (XII b)) và đã giữ vai trò cơ bản trong loại bài toán này. ** Chính ở đó, trong số những điều khác, 'bài toán mômen' nổi tiếng được phát biểu và giải quyết (xem Chú thích lịch sử của Quyển V).

tại một điểm'.* Sau đó, với một phân bố khối lượng như vậy trên một khoảng $[a, b]$ , Stieltjes lập các 'tổng Riemann' $\sum_i f(\xi_i)(\varphi(x_{i+1}) - \varphi(x_i))$ và chứng minh rằng, khi $f$ liên tục trên $[a, b]$ , các tổng này tiến tới một giới hạn mà ông ký hiệu là $\int_a^b f(x)\, d\varphi(x)$ . Vì không cần tích phân các hàm nào khác ngoài các hàm liên tục (thậm chí khả vi), Stieltjes đã không tiếp tục nghiên cứu tích phân này và trong một thập kỷ, khái niệm này dường như không thu hút sự chú ý nào.* Tuy nhiên, vào năm 1909, F. Riesz (XV c)), khi giải một bài toán được Hadamard đặt ra vài năm trước (xem Chú thích lịch sử của Quyển V), đã chứng minh rằng các tích phân Stieltjes $f \mapsto \int_a^b f\, d\varphi$ là các phiếm hàm tuyến tính liên tục tổng quát nhất trên không gian $\mathscr{C}(I)$ của các hàm thực liên tục trên $I = [a, b]$ ( $\mathscr{C}(I)$ được trang bị tôpô hội tụ đều);**** và sự tao nhã cùng tính đơn giản của kết quả này gần như ngay lập tức dẫn đến nhiều khái quát hóa khác nhau. Khái quát hóa thành công nhất là của J. Radon, vào năm 1913 (XVII): kết hợp các ý tưởng của F. Riesz và Lebesgue, ông chỉ ra cách định nghĩa một tích phân theo các thủ tục của Lebesgue, bắt đầu từ một 'hàm tập hợp hoàn toàn cộng tính' tùy ý (được định nghĩa trên các tập hợp đo được đối với độ đo Lebesgue) thay vì bắt đầu từ độ đo Lebesgue. Trong khái niệm 'độ đo Radon' trên $\mathbf{R}^n$ được định nghĩa như vậy, khái niệm về một hàm 'có biến thiên bị chặn' được hấp thụ vào đó: phân tích một hàm như vậy thành hiệu của hai hàm tăng là một trường hợp đặc biệt của phân tích một độ đo thành hiệu của hai độ đo dương; tương tự, một 'độ đo có cơ sở $\mu$ ' tương ứng với khái niệm hàm 'liên tục tuyệt đối', và việc phân tích một độ đo tùy ý thành một độ đo có cơ sở $\mu$ và một độ đo xa lạ với $\mu$ tương ứng với phân tích Lebesgue của một hàm biến thiên bị chặn thành tổng của một hàm liên tục tuyệt đối và một hàm 'suy biến'. Hơn nữa, Radon chứng minh rằng 'mật độ' đối với $\mu$ của một độ đo có cơ sở $\mu$ lại tồn tại khi $\mu$ là một độ đo có độ đo Lebesgue làm cơ sở, bằng cách sử dụng một ý tưởng trước đó của F. Riesz (sau này được tiếp thu lại và phổ biến bởi J. von Neumann, cùng những người khác), ý tưởng này-

\* Stieltjes vẫn chưa phân biệt giữa các kiểu khoảng khác nhau có cùng hai đầu mút $a, b$ , điều này khiến ông quan niệm rằng tại các điểm $c$ gián đoạn của $\varphi$ , một phần khối lượng tập trung tại $c$ thuộc về khoảng có đầu mút trái $c$ , còn phần kia thuộc về khoảng có đầu mút phải $c$ , tùy theo giá trị của $\varphi(c)$ .

** Tuy nhiên, cần lưu ý sự xuất hiện đầu tiên, trong công trình của Stieltjes, của ý tưởng về 'hội tụ' của một dãy các độ đo ((VIII), p. 95; thực tế, đó là giới hạn mạnh).

*** Tuy nhiên, nó đã trở nên quan trọng với sự phát triển của lý thuyết phổ của các toán tử, bắt đầu từ năm 1906, bởi Hilbert và trường phái của ông. Chính vào dịp này mà Hellinger, vào khoảng năm 1907, đã định nghĩa các tích phân như tích phân mà ông ký hiệu là $\int \frac{(dg)^2}{df}$ và thoạt nhìn dường như tổng quát hơn các tích phân của Stieltjes, nhưng trên thực tế Hahn đã chỉ ra, ngay từ năm 1912, rằng chúng quy về các tích phân sau (đây là những trường hợp đặc biệt của khái niệm 'hàm của một độ đo'; cf. Ch. V, §5, No. 9).

**** Cũng trong công trình này mà khái niệm giới hạn mơ hồ của một dãy các độ đo xuất hiện ((XV c)), p. 49).

bao gồm việc xây dựng một ảnh của độ đo $\mu$ qua một ánh xạ $\theta$ từ $\mathbf{R}^n$ vào $\mathbf{R}$ , được chọn sao cho $\theta(\mu)$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}$ (cf. Ch. V, §6, Exer. 8 c)).

Ngay lập tức sau sự xuất hiện của hồi ký của Radon, Fréchet nhận thấy rằng gần như tất cả các kết quả trong công trình đó có thể được mở rộng sang trường hợp trong đó ‘hàm tập hợp cộng tính hoàn toàn’, thay vì được định nghĩa trên các tập con đo được của $\mathbf{R}^n$ , được định nghĩa trên một số tập con nhất định của một tập hợp tùy ý $E$ (các tập con này sao cho các phép toán lấy hợp đếm được và ‘hiệu’ tạo ra các tập hợp mà trên đó hàm lại được định nghĩa). Tuy nhiên, biểu diễn của một độ đo có cơ sở $\mu$ dưới dạng $g \cdot \mu$ đã dựa, ở Lebesgue và Radon, trên các lập luận liên quan đến tôpô của $\mathbf{R}^n$ theo một cách cốt yếu (và ta đã thấy rằng chứng minh của Radon chỉ áp dụng được nếu $\mu$ là một độ đo có độ đo Lebesgue làm cơ sở); phải đến năm 1930 O. Nikodym (XX) mới thu được định lý dưới dạng tổng quát của nó, bằng một lập luận trực tiếp (được J. von Neumann đơn giản hóa đáng kể vài năm sau đó, nhờ việc sử dụng các tính chất của các không gian $L^2$ ((XXII), pp. 127–130)).

Với hồi ký của Radon, lý thuyết tổng quát về tích phân có thể được xem là đã hoàn thành trên những nét lớn; như những thành tựu đáng kể về sau, người ta chỉ có thể khó mà đề cập đến định nghĩa của một tích vô hạn các độ đo, do Daniell đưa ra (XIX b)), và định nghĩa của tích phân của một hàm có giá trị trong một không gian Banach, do Bochner đưa ra năm 1933 (XXI), mở đường cho việc nghiên cứu ‘tích phân yếu’ mà chúng ta sẽ xét trong Chương VI. Nhưng vẫn còn phải phổ biến lý thuyết mới này, và biến nó thành một công cụ toán học sử dụng hằng ngày, trong khi phần lớn các nhà toán học, vào khoảng năm 1910, vẫn chỉ xem ‘tích phân Lebesgue’ như một công cụ có độ chính xác lớn, khó thao tác, chỉ dành riêng cho nghiên cứu có tính tinh tế cực độ và trừu tượng cực độ. Đó sẽ là công việc của Carathéodory, trong một cuốn sách từ lâu đã trở thành kinh điển (XVIII) và hơn nữa còn làm phong phú lý thuyết của Radon bằng nhiều nhận xét nguyên bản.

Nhưng cũng chính với cuốn sách này mà khái niệm tích phân, vốn đã ở vị trí hàng đầu trong các mối quan tâm của Lebesgue (được chỉ rõ đầy đủ bởi các nhan đề luận án của ông (X a)) và công trình chính của ông về các vấn đề này (X b))), lần đầu tiên nhường chỗ cho khái niệm độ đo, vốn đã là một kỹ thuật phụ trợ ở Lebesgue (cũng như ở Jordan trước ông). Sự thay đổi trong quan điểm này chắc chắn là do, đối với Carathéodory, tầm quan trọng quá mức mà ông dường như đã gán cho các ‘độ đo $p$ -chiều’.* Kể từ đó,

\* Đây là phép tổng quát hóa khái niệm ‘độ dài của một đường cong phẳng’ sang các giá trị tùy ý $n$ và $p$ của chiều của không gian nền và chiều của không gian được nghiên cứu; dĩ nhiên, người ta giả sử rằng $0 \leq p \leq n$ , nhưng không phải lúc nào cũng giả sử rằng $p$ là một số nguyên. Vấn đề này đã là đối tượng của các công trình của nhiều tác giả kể từ Minkowski, Carathéodory và Hausdorff; bản thân Lebesgue, người đã xét một số trường hợp đặc biệt trong luận án của mình, dường như không thấy trong đó điều gì khác ngoài một cơ hội để thử thách sức mạnh của các công cụ mà ông vừa tạo ra.

các tác giả đã xử lý tích phân đã bị chia rẽ giữa hai quan điểm này, không phải không tham gia vào những cuộc tranh luận đã khiến nhiều mực chảy, nếu không phải nhiều máu chảy.* Một số người đã theo Carathéodory; trong các trình bày ngày càng trừu tượng và ngày càng được tiên đề hóa của họ, độ đo, với tất cả những tinh chỉnh kỹ thuật mà nó cho phép, không những đóng vai trò chi phối mà còn có xu hướng mất liên hệ với các cấu trúc tôpô mà trên thực tế nó gắn bó trong phần lớn các bài toán mà nó xuất hiện. Những trình bày khác, chẳng hạn như chuyên luận hiện tại, theo ít nhiều sát một phương pháp đã được W. H. Young chỉ ra vào năm 1911, trong một hồi ký đáng tiếc là ít được chú ý (XI b)), và sau đó được Daniell phát triển. Những trình bày trước, khi xử lý tích phân Lebesgue, bắt đầu từ ‘tích phân Cauchy’ của các hàm liên tục có giá đỡ compact, được giả sử là đã biết, để định nghĩa lần lượt (như chúng ta đã làm trong Ch. IV, §1) tích phân trên của các hàm nửa liên tục dưới, rồi của các hàm số tùy ý, do đó thu được một định nghĩa của các hàm khả tích, phỏng theo định nghĩa của Lebesgue đối với các tập hợp, bằng các phương tiện ‘phiếm hàm’ thuần túy. Daniell, vào năm 1918 ((XIX a)), cf. (XXVII)) đã mở rộng cách trình bày này, với một số biến thể, cho các hàm được định nghĩa trên một tập hợp tùy ý; công lao chính của ông là nhận thấy vai trò do điều kiện $\lim_{n \to \infty} \int f_n d\mu = 0$ đóng trong lý thuyết trừu tượng đối với mọi dãy giảm $(f_n)$ hội tụ điểm đến 0 (điều này không thể xuất hiện rõ ràng như vậy trong lý thuyết các độ đo Radon, nơi điều kiện này tự động được thỏa mãn nhờ định lý Dini). Cùng theo hướng các ý tưởng đó (và trong quan hệ ngặt với các phương pháp được sử dụng trong lý thuyết phổ trước Gelfand), ta cũng phải lưu ý đến hồi ký của F. Riesz (XV d)) đưa ra dưới dạng cô đọng và tao nhã các kết quả khác nhau từ lý thuyết các không gian có thứ tự đóng vai trò trong lý thuyết tích phân; chúng ta đã theo khá sát cách trình bày của ông trong Ch. II.

Tôi không thể đưa toàn bộ bản dịch của đoạn văn dài này trong một phản hồi duy nhất do giới hạn độ dài của câu trả lời. Vui lòng chia đoạn nguồn thành các phần nhỏ hơn; tôi sẽ dịch từng phần và chỉ trả lại phần bản dịch tương ứng.