Vì $t' \mapsto (t, t')$ là một ánh xạ liên tục và thực sự, điều này suy ra từ Mệnh đề 2 của §4, No. 2.

Điều này suy ra từ Định lý 2 của §4, No. 4, khi xét đến việc $t' \mapsto (t, t')$ là liên tục và thực sự.

Các tính chất này là hiển nhiên khi A và B là hữu hạn. Suy ra rằng nếu $A'$ (tương ứng $B'$) là một tập con hữu hạn của A (tương ứng của B), thì

Do đó họ $(\mu_\alpha \otimes \mu'_\beta)$ là tổng được. Để chỉ ra rằng hai vế của (4) bằng nhau, chỉ cần chứng minh rằng vế thứ hai thỏa mãn tính chất đặc trưng của các độ đo tích (Ch. III, §4, No. 1, Định lý 1), điều này được chỉ ra bởi phép tính sau.

Cho $f$ là một phần tử của $\mathscr{K}_+(T)$, $f'$ là một phần tử của $\mathscr{K}_+(T')$; nhắc lại rằng $f \otimes f'$ ký hiệu hàm $(t, t') \mapsto f(t)f'(t')$ trên $T \times T'$, thuộc $\mathscr{K}_+(T \times T')$ (A, II, §7, No. 7). Khi đó, theo định nghĩa của các độ đo tích,

a) Nếu $f$ là hằng trên phần bù của một tập con $\nu$-được điều hòa của $T \times T'$, thì M là $\mu$-không đáng kể.

b) Nếu $\mu'$ được điều hòa, thì M là $\mu$-không đáng kể.

Mệnh đề a) suy ra từ Mệnh đề 4b) của §3, No. 2 và các nhận xét của No. 1. Để xử lý b), chú ý rằng $\mu'$ là tổng của một dãy $\mu'_n$ các độ đo bị chặn (§2, No. 3, Mệnh đề 4); $f$ là đo được đối với $\mu \otimes \mu'_n \leq \nu$, và tập hợp $M$ là hợp của các tập hợp $M_n$ liên kết với các độ đo $\mu'_n$ (§ 2, No. 2, Mệnh đề 2). Do đó ta quy về trường hợp $\mu'$ bị chặn, điều này suy ra từ Mệnh đề 4c) của § 3, No. 2.

Mệnh đề này mở rộng ngay lập tức đến các độ đo phức (Ch. III, § 4, No. 2, Mệnh đề 3).

a) Nếu A là $\nu$-được điều hòa, thì M là $\mu$-không đáng kể.

b) Nếu phép chiếu của A trên $T'$ là $\mu'$-được điều hòa, thì M là $\mu$-không đáng kể địa phương.

Mệnh đề a) suy ra ngay lập tức từ Mệnh đề 2. Để chứng minh b), ký hiệu B là một tập hợp, hợp của một dãy các tập mở $\mu'$-tích phân được trong $T'$, chứa phép chiếu của A trên $T'$, và ký hiệu $\mu'_1$ là độ đo được điều hòa $\varphi_B \cdot \mu'$; vì A là đo được đối với $\mu \otimes \mu'_1 \leq \mu \otimes \mu'$, Mệnh đề 2 suy ra rằng $A(t)$ là $\mu'_1$-đo được, ngoại trừ các $t$ tạo thành một tập hợp $\mu$-không đáng kể địa phương. Nhưng vì $A(t) \subset B$, việc nói rằng $A(t)$ là $\mu'_1$-đo được tương đương với việc nói rằng $A(t)$ là $\mu'$-đo được (§ 5, No. 3, Hệ quả của Mệnh đề 4).

Mệnh đề đầu tiên suy ra từ Hệ quả 1 của Mệnh đề 10 của § 6, No. 6. Giả sử rằng $\mu' \neq 0$, ký hiệu $\mu'_1$ là một độ đo khác không có giá compact bị chặn trên bởi $\mu'$, ký hiệu $\nu_1$ là độ đo $\mu \otimes \mu'_1$, và đặt $a = \| \mu'_1 \|$. Khi đó phép chiếu $\mathrm{pr}_1$ của $T \times T'$ lên T là $\nu_1$-thực sự, và độ đo ảnh $\mathrm{pr}_1(\nu_1)$ bằng $a \mu$ (§ 6, No. 6, Mệnh đề 10). Nếu $(t, t') \mapsto f(t)$ là $\nu$-đo được, thì nó cũng $\nu_1$-đo được, do đó $f$ đo được đối với độ đo $a \mu$ (§ 6, No. 2, Mệnh đề 3), do đó có kết quả vì $a \neq 0$.

Mệnh đề trên mở rộng ngay lập tức sang các độ đo phức (Ch. III, § 4, No. 2, Mệnh đề 3), cũng như các hệ quả sau đây.

Các ánh xạ $(t, t') \mapsto f(t)$, $(t, t') \mapsto f'(t')$ là $\nu$-đo được theo Mệnh đề 3, nên điều này suy ra từ Định lý 1 của Ch. IV, § 5, No. 3.

đo được đối với $\mu \otimes \mu'$.

Trường hợp các hàm phức, hoặc các hàm thực hữu hạn, là một hệ quả ngay lập tức của Hệ quả 1. Để xét trường hợp các hàm số dương, với mỗi số nguyên $n \geqslant 0$ ta đặt $f_n = \inf(f, n)$, $f'_n = \inf(f', n)$, và ta có (với quy ước thông thường $0 \cdot (+\infty) = 0$) $f \otimes f' = \sup_n (f_n \otimes f'_n)$, do đó có kết quả.

Mệnh đề đầu tiên suy ra từ Hệ quả 1 của Mệnh đề 10 của §6, No. 6. Để thiết lập mệnh đề thứ hai, ta lấy lại các ký hiệu trong chứng minh của Mệnh đề 3; $A \times T' = \mathrm{pr}_1^{-1}(A)$ là địa phương không đáng kể đối với độ đo $\nu_1$, do đó $A$ là địa phương không đáng kể đối với $a\mu$ (§ 6, No. 2, Hệ quả của Mệnh đề 2), do đó có kết quả vì $a \neq 0$.

Mệnh đề trên lập tức mở rộng đến tích của hai độ đo phức (Ch. III, §4, No. 2, Mệnh đề 3), cũng như hệ quả sau đây.

Thật vậy, $(T \times T') - (M \times M')$ là hợp của các tập hợp $(T - M) \times T'$ và $T \times (T' - M')$, là các tập hợp địa phương không đáng kể đối với $\mu \times \mu'$ theo Mệnh đề 4.

Đây là một hệ quả của Mệnh đề 2 của §3, No. 1, có tính đến Bổ đề 1 của No. 1.

Cho $G$ (resp. $G'$) là tập hợp các hàm $g \in \mathscr{K}_+(T)$ (resp. $g' \in \mathscr{K}_+(T')$) sao cho $g \leqslant f$ (resp. $g' \leqslant f'$); khi đó

Vì các hàm $g \otimes g'$ thuộc $\mathscr{K}_+(T \times T')$, nên $f \otimes f'$ thực sự là nửa liên tục dưới, và (6) suy ra ngay từ Mệnh đề 5 (hoặc trực tiếp bằng cách lấy giới hạn trong công thức trước đó).

Theo định nghĩa của tập vừa phải (§1, No. 2, Mệnh đề 5), chỉ cần chứng minh rằng nếu $B$ là một tập mở khả tích trong $T$, và $B'$ là một tập mở khả tích trong $T'$, thì tập mở $B \times B'$ là khả tích. Điều này suy ra ngay từ Hệ quả 1.

Thật vậy, $A \times B'$ là $\nu$-không đáng kể địa phương (Mệnh đề 4) và $\nu$-vừa phải (Hệ quả 2), do đó nó là $\nu$-không đáng kể (§1, No. 2, Hệ quả 1 của Mệnh đề 7).

Hệ quả 2 và 3 có thể được mở rộng cho tích của hai độ đo phức, bằng cách áp dụng mệnh đề đó cho các biến phân toàn phần của chúng (Chương III, §4, No. 2, Mệnh đề 3).

Điều này suy ra từ Mệnh đề 3 của §3, No. 2, có lưu ý đến (2).

a) Nếu $f$ là $\nu$-vừa phải, thì các hàm $t \mapsto \int^* f(t, t') d\mu'(t')$, $t' \mapsto \int^* f(t, t') d\mu(t)$ là đo được và vừa phải đối với $\mu$ và $\mu'$, tương ứng, và

(7)

b) Nếu độ đo $\mu'$ là vừa phải, thì hàm $t \mapsto \int^* f(t, t') d\mu'(t')$ là $\mu$-đo được, và

(8)

Mệnh đề a), cũng như mệnh đề b) khi $\mu'$ bị chặn, là những hệ quả của Mệnh đề 5 của §3, No. 2. Để xét trường hợp $\mu'$ vừa phải, ta biểu diễn $\mu'$ thành một tổng $\sum_{n \in \mathbf{N}} \mu'_n$ của một dãy các độ đo bị chặn (§ 2, No. 3, Mệnh đề 4). Khi đó hàm $t \mapsto \int^* f(t, t') d\mu'_n(t')$ là $\mu$-đo được, và

Nhưng $\mu \otimes \mu' = \sum_{n \in \mathbf{N}} (\mu \otimes \mu'_n)$ (Mệnh đề 1); khi đó mệnh đề b) thu được bằng cách lấy tổng theo $n$ (§ 2, No. 2, Mệnh đề 1).

a) Nếu $H$ là $\nu$-không đáng kể thì $A$ là $\mu$-không đáng kể.

b) Nếu $H$ là địa phương $\nu$-không đáng kể và $\mu'$ là điều hòa, thì $A$ là địa phương $\mu$-không đáng kể.

Tính chất a) suy ra ngay lập tức từ Mệnh đề 7 (hoặc từ Mệnh đề 6). Dưới các giả thiết của b), nói rằng $H(t)$ là địa phương μ′-không đáng kể cũng như nói rằng nó là μ′-không đáng kể là tương đương, vì μ′ là điều hòa (§1, No. 2, Mệnh đề 7). Do đó tính chất b) suy ra từ công thức (8).

Hệ quả này suy ra ngay lập tức, bằng cách chuyển sang các giá trị tuyệt đối, cho tích của hai độ đo phức. Điều tương tự cũng đúng đối với hệ quả sau:

Ta bắt đầu bằng cách xét trường hợp $\mu$ và $\mu'$ là các độ đo có giá compact; khi đó $\mu \otimes \mu'$ cũng có tính chất này, và tất cả các ký hiệu $\int^\bullet$, $\iint^\bullet$ có thể được thay bằng các tích phân trên. Theo Mệnh đề 6,

Để thiết lập bất đẳng thức ngược lại, ta chọn một hàm $h \geq f$ (resp. $h' \geq f'$), là bao dưới của một dãy $(h_n)$ (resp. $(h'_n)$) các hàm nửa liên tục dưới, sao cho

(resp. $\int^* h'(t')\, d\mu'(t') = \int^* f'(t')\, d\mu'(t')$); sự tồn tại của các hàm như vậy suy ra ngay lập tức từ định nghĩa tích phân trên (Ch. IV, §1, No. 3, Def. 3) và định lý Lebesgue. Áp dụng Mệnh đề 7 cho hàm đo được $h \otimes h'$, ta có

đó chính là bất đẳng thức cần tìm. Do đó mệnh đề được chứng minh khi $\mu$ và $\mu'$ là các độ đo có giá compact. Để xét trường hợp tổng quát, chỉ cần biểu diễn $\mu$ (resp. $\mu'$) dưới dạng tổng của một họ $(\mu_\alpha)_{\alpha \in A}$ (resp. $(\mu'_\beta)_{\beta \in B}$) các độ đo có giá compact (§ 2, No. 3, Mệnh đề 4), viết công thức (10) cho mỗi độ đo $\mu_\alpha \otimes \mu'_\beta$, rồi lấy tổng theo $(\alpha, \beta)$, có tính đến Mệnh đề 1 (§ 2, No. 2, Mệnh đề 1).

trừ trường hợp có thể xảy ra khi một trong các thừa số của vế thứ hai bằng 0 và thừa số kia bằng $+\infty$.

Khi hai thừa số của vế thứ hai là hữu hạn, các hàm $f$ và $f'$ là vừa phải (§ 1, No. 2, Prop. 7), do đó hàm $f \otimes f'$ là vừa phải (Cor. 2 of Prop. 5); vì thế đẳng thức trên quy về công thức (10) (§ 1, No. 2, Prop. 7). Khi một trong các thừa số của vế thứ hai có giá trị $+\infty$ và thừa số kia khác không, thì vế thứ hai có giá trị $+\infty$, và đẳng thức trên suy ra từ Prop. 6.

Khi $f$ và $f'$ dương, $f \otimes f'$ là đo được theo Cor. 3 of Prop. 3, và mệnh đề suy ra từ công thức (10) (tương ứng, (11)) và tiêu chuẩn khả tích cốt yếu (§ 1, No. 3, Prop. 9) (tương ứng, tiêu chuẩn khả tích của Ch. IV, § 5, No. 6, Th. 5). Trường hợp tổng quát khi đó suy ra ngay lập tức.

Hệ quả 2 mở rộng ngay cho tích của hai độ đo phức.

a) Giả sử rằng $f$ là $\nu$-khả tích; khi đó $N$ là $\mu$-không đáng kể, hàm $t \mapsto \int f(t,t')\,d\mu'(t')$ (được xác định với $t \notin N$) là $\mu$-khả tích, và*

b) Giả sử rằng $f$ là khả tích cốt yếu đối với $\nu$, và độ đo $\mu'$ là vừa phải; khi đó $N$ là địa phương $\mu$-không đáng kể, hàm $t \mapsto \int f(t, t')\, d\mu'(t')$ (được xác định với $t \notin N$) là khả tích cốt yếu đối với $\mu$, và (13) đúng.

Mệnh đề a) suy ra ngay từ Th. 1 of §3, No. 3. Để thiết lập b), ký hiệu $g$ là một hàm $\nu$-khả tích bằng $f$ địa phương hầu khắp nơi, và $H$ là tập hợp các $(t, t')$ sao cho $f(t, t') \neq g(t, t')$. Theo Cor. 1 of Prop. 7, tiết diện $H(t)$ là $\mu'$-không đáng kể, trừ phi $t \in T$ thuộc một tập địa phương $\mu$-không đáng kể. Khi đó kết quả liên quan đến $f$ có thể suy ra từ mệnh đề a) áp dụng cho $g$.

Nếu hơn nữa $f$ và $f'$ khả tích, thì $g$ khả tích.

Hàm $(t, t') \mapsto [\mathbf{f}(t) \cdot \mathbf{f}'(t')]$ là $(\mu \otimes \mu')$-đo được theo Hệ quả 1 của Mệnh đề 3. Mặt khác, nếu $b$ ký hiệu chuẩn của ánh xạ song tuyến tính $(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \mapsto [\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}]$, thì

theo Mệnh đề 8. Điều này cho thấy rằng $[\mathbf{f}(t) \cdot \mathbf{f}'(t')]$ là khả tích thiết yếu đối với $\mu \otimes \mu'$ (§ 1, No. 3, Mệnh đề 9). Giả sử rằng $\mathbf{f}$ và $\mathbf{f}'$ khả tích: khi đó $\mathbf{f}$ và $\mathbf{f}'$ là điều hòa, và $\mathbf{g}$ là điều hòa (Hệ quả 2 của Mệnh đề 5), do đó khả tích (§ 1, No. 3, Hệ quả của Mệnh đề 9). Trong trường hợp này công thức (14) suy ra từ định lý Lebesgue–Fubini và tính tuyến tính của tích phân (Ch. IV, § 4, No. 2, Định lý 1). Để hoàn tất việc xét trường hợp $\mathbf{f}$ và $\mathbf{f}'$ là khả tích thiết yếu, khi đó áp dụng (14) cho hai hàm khả tích $\mathbf{f}_1$ và $\mathbf{f}_1'$, bằng với $\mathbf{f}$ và $\mathbf{f}'$ hầu khắp nơi địa phương, khi nhận thấy rằng $[\mathbf{f} \cdot \mathbf{f}'] = [\mathbf{f}_1 \cdot \mathbf{f}_1']$ hầu khắp nơi địa phương trong $T \times T'$ (Mệnh đề 4).

Kết quả này mở rộng cho tích của các độ đo phức.