Thật vậy, việc kiểm tra rằng $\Lambda$ là khả tích cốt yếu vô hướng đối với một độ đo dương $\eta$ trên $T$ quy về việc kiểm tra rằng $t \mapsto \lambda_t(g)$ là $\eta$-đo được và nhận một tích phân trên cốt yếu hữu hạn, đối với $\eta$, với mọi hàm $g \in \mathscr{H}_+(X)$. Vì vậy mệnh đề suy ra ngay từ Mệnh đề 11 của §1, No. 4 và Hệ quả 2 của nó.

Suy ra ngay lập tức rằng mọi ánh xạ khả tích vô hướng thiết yếu $\mu$ cũng là khả tích vô hướng thiết yếu $\mu'$ đối với mọi độ đo $\mu' \leq \mu$.

Trong tiết này chúng ta sẽ chỉ giới hạn vào việc nghiên cứu các ánh xạ khả tích vô hướng thiết yếu từ $T$ vào $\mathscr{M}_+(X)$ có tính chất được xét đến trong định nghĩa sau:

a) Nếu $\Lambda$ liên tục yếu, thì ánh xạ $t \mapsto \lambda_t^\bullet(f)$ là nửa liên tục dưới đối với mọi hàm nửa liên tục dưới $f \geqslant 0$ xác định trên $X$, $\Lambda$ là $\mu$-thích hợp, và ta có quan hệ

b) Nếu $\Lambda$ là đo được mơ hồ $\mu$, thì $\Lambda$ là $\mu$-thích hợp.

c) Nếu tôpô của $X$ có một cơ sở đếm được, thì $\Lambda$ là đo được mơ hồ $\mu$ (do đó cũng $\mu$-thích hợp).

Cho $f$ là một hàm nửa liên tục dưới $\geqslant 0$ xác định trên $X$. Cho $F$ là tập hợp, có hướng đối với quan hệ $\leqslant$, của các hàm $g \in \mathscr{K}(X)$ sao cho $0 \leqslant g \leqslant f$. Với $g \in F$, ký hiệu $h_g$ là hàm xác định trên $T$ bởi $h_g(t) = \lambda_t(g)$. Tương tự, đặt

(§1, No. 1, Mệnh đề 4). Ta đưa ra giả thiết sau đây, yếu hơn giả thiết trong a): chỉ giả sử rằng hạn chế của $\Lambda$ lên $S$ là liên tục mơ hồ, trong đó $S$ là một tập con đóng của $T$ chứa giá của $\mu$. Với $g \in F$, ký hiệu $\overline{h}_g$ là hàm số trùng với $h_g$ trên $S$ và có giá trị $+\infty$ trên $C_S$. Đặt $\overline{h}_f = \sup_{g \in F} \overline{h}_g$; khi đó $\overline{h}_f = h_f$ trên $S$. Với mọi $g \in F$, hàm $\overline{h}_g$ là nửa liên tục dưới; do đó $\overline{h}_f$ là nửa liên tục dưới và, vì họ $(\overline{h}_g)_{g \in F}$ là có hướng,

(Ch. IV, §1, No. 1, Định lý 1 và §2, No. 3, Mệnh đề 6). Vì $h_f = \overline{h}_f$ trên $S$, do đó hầu khắp nơi, điều này cũng có thể được viết $\mu^*(h_f) = \nu^*(f)$, một đẳng thức đồng nhất với (5). Tương tự, vì $f$ và $\overline{h}_f$ là nửa liên tục dưới, các quan hệ trước đó cho đẳng thức $\mu^\bullet(\overline{h}_f) = \nu^\bullet(f)$ (§1, No. 1, Mệnh đề 4); vì $\overline{h}_f = h_f$ trên $S$, suy ra $\mu^\bullet(h_f) = \nu^\bullet(f)$ (§1, No. 1, Mệnh đề 1), một đẳng thức đồng nhất với (4). Ánh xạ $\Lambda$ do đó là $\mu$-tiền-thích hợp; nhưng trong toàn bộ lập luận này người ta có thể thay $\mu$ bởi $\mu' \leqslant \mu$, và $\nu$ bởi $\nu' = \int \lambda_t \, d\mu'(t)$, bởi vì $\Lambda$ cũng là khả tích $\mu'$-theo vô hướng một cách bản chất và $S$ chứa giá của $\mu'$. Từ đó suy ra rằng $\Lambda$ là $\mu$-thích hợp.

Giả sử $\Lambda$ là liên tục theo nghĩa mơ hồ; ta có thể lấy $S = T$; khi đó $h_f = \overline{h}_f$ là nửa liên tục dưới, điều này hoàn tất chứng minh phần a) của mệnh đề.

Giả sử rằng $\Lambda$ là $\mu$-đo được theo nghĩa mơ hồ và ta chứng minh b). Tập $\mathscr{K}$ gồm các tập con compact K của T sao cho hạn chế của $\Lambda$ trên K là liên tục là $\mu$-trù mật (Ch. IV, §5, No. 10, Mệnh đề 15), tồn tại một họ tổng được $(\mu_\alpha)_{\alpha \in A}$ các độ đo trên T sao cho $\mu = \sum_{\alpha \in A} \mu_\alpha$ và giá của mỗi độ đo $\mu_\alpha$ thuộc $\mathscr{K}$ (§2, No. 3, Mệnh đề 4). Với mọi $\alpha \in A$, ánh xạ $\Lambda$ là khả tích thiết yếu theo vô hướng $\mu_\alpha$, và ta đặt $\nu_\alpha = \int \lambda_t d\mu_\alpha(t)$; họ $(\nu_\alpha)$ là tổng được, và tổng của nó bằng $\nu$ (Hệ quả của Mệnh đề 1). Nếu $f$ là một hàm dương nửa liên tục dưới xác định trên X, phần thứ nhất của chứng minh, áp dụng cho các độ đo $\mu_\alpha$ và các tập đóng $S_\alpha$, chỉ ra rằng:

$1^\circ$ $h_f$ là $\mu_\alpha$-đo được với mọi $\alpha \in A$, do đó là $\mu$-đo được (§2, No. 2, Mệnh đề 2), và

$2^\circ$ $\int^* f(x) d\nu_\alpha(x) = \int^* d\mu_\alpha(t) \int^* f(x) d\lambda_t(x)$.

Công thức (4) suy ra bằng cách lấy tổng theo $\alpha$ (§2, No. 2, Mệnh đề 1). Áp dụng lập luận trước cho một độ đo tùy ý $\mu' \leq \mu$ (điều này là hợp lệ, vì $\Lambda$ là khả tích thiết yếu theo vô hướng $\mu'$ và $\mu'$-đo được theo nghĩa mơ hồ, cf. §2, No. 2, Mệnh đề 2), ta kết luận rằng $\Lambda$ là $\mu'$-tiền-thích đáng, và b) được chứng minh.

Cuối cùng, giả sử rằng tôpô của X có một cơ sở đếm được, ta chứng minh rằng mọi ánh xạ khả tích thiết yếu theo vô hướng $\mu$ $\Lambda : t \mapsto \lambda_t$ của T vào $\mathscr{M}_+(X)$ đều là $\mu$-đo được theo nghĩa mơ hồ. Điều này sẽ suy ra từ bổ đề sau:

Gọi $X'$ là compact hóa Alexandroff của X, là một không gian compact mêtric hóa được (GT, IX, §2, No. 9, Prop. 16 và Cor.); ta đồng nhất $\mathscr{K}(X)$ với một tập con của $\mathscr{C}(X')$. Gọi $S'$ là một tập con đếm được trù mật của không gian Banach $\mathscr{C}(X')$ (GT, X, §3, No. 3, Th. 1); ta có thể giả sử rằng $S'$ chứa hàm hằng $n$ với mọi $n \in \mathbf{N}$. Gọi $(U_n)$ là một dãy các tập mở tương đối compact trong X, có hợp là X, sao cho $\overline{U}_n \subset U_{n+1}$ với mọi n (GT, I, §9, No. 9, Prop. 15), và gọi $\varphi_n$ là một hàm trong $\mathscr{K}_+(X)$ bằng 1 trên $\overline{U}_n$. Ta ký hiệu S là tập hợp đếm được các phần tử của $\mathscr{K}(X)$ có dạng $\varphi_n g$ ($n \in \mathbf{N}, g \in S'$). Nếu $f \in \mathscr{K}(X)$, gọi $(g_n)$ là một dãy các phần tử của $S'$ hội tụ đều đến $f$, và gọi k là một số nguyên sao cho giá của $f$ được chứa trong $U_k$. Cuối cùng, gọi m là một số nguyên là cận trên của các chuẩn của các hàm $g_n$. Các hàm $f_n = \varphi_k g_n$ thuộc S và thỏa mãn mệnh đề, với $\varphi = m \varphi_k$.

Sau khi bổ đề đã được thiết lập, và ánh xạ $t \mapsto \lambda_t(g)$ là khả tích $\mu$-theo nghĩa thực chất đối với mọi $g \in S$, ánh xạ $t \mapsto (\lambda_t(g))_{g \in S}$ từ T vào $\mathbf{R}^S$ là $\mu$-đo được (Ch. IV, §5, No. 3, Th. 1). Tập hợp $\mathscr{K}$, gồm các tập compact K của T sao cho hạn chế của ánh xạ này lên K là liên tục, do đó là $\mu$-trù mật, và chỉ cần chứng minh rằng hạn chế của $\Lambda$ lên mọi $K \in \mathscr{K}$ là liên tục. Bây giờ, gọi $f$ là một phần tử bất kỳ của $\mathscr{K}(X)$, $f_n$ và $\varphi$ là các phần tử của S thỏa mãn mệnh đề của Bổ đề; khi đó hàm $t \mapsto \lambda_t(f)$ là giới hạn đều trên K của các hàm liên tục $t \mapsto \lambda_t(f_n)$; do đó nó liên tục trên K, và mệnh đề được chứng minh.

Gọi g là một hàm nửa liên tục dưới trên X sao cho $f \leqslant g$. Với mọi $t \in T$,

do đó, theo (4) và Prop. 4 của §1,

Bất đẳng thức thứ nhất trong các bất đẳng thức (6) sau đó suy ra từ định nghĩa của $\int^* f(x)\, d\nu(x)$ (Ch. IV, §1, No. 3, Def. 3), và bất đẳng thức thứ hai suy ra ngay lập tức từ nó. Bất đẳng thức (7) được chứng minh theo cách tương tự nếu $\Lambda$ liên tục yếu, sử dụng (5) thay cho (4).

Ta chuyển sang chứng minh của (8). Ánh xạ $t \mapsto \lambda_t^*(1)$ là đo được, và hữu hạn địa phương $\mu$-hầu khắp nơi. Tập $\mathscr{K}$ các tập con compact của $T$ sao cho hạn chế của $t \mapsto \lambda_t^*(1)$ trên $K$ là hữu hạn và liên tục do đó là $\mu$-trù mật, và Mệnh đề 4 của §2, No. 3 suy ra sự tồn tại của một họ tổng được $(\mu_\alpha)_{\alpha \in A}$ các độ đo dương, với các giá đỡ thuộc $\mathscr{K}$, sao cho $\mu = \sum_{\alpha \in A} \mu_\alpha$. Ánh xạ $\Lambda$ là $\mu_\alpha$-thích hợp đối với mọi $\alpha \in A$; đặt $\nu_\alpha = \int \lambda_t d\mu_\alpha(t)$. Mệnh đề 1 chỉ ra rằng $\nu = \sum_{\alpha \in A} \nu_\alpha$, và quan hệ (4), áp dụng cho độ đo $\mu_\alpha$ và hàm 1, chỉ ra rằng $\nu_\alpha$ là một độ đo bị chặn (vì $\lambda_t^*(1)$ bị chặn trên $\operatorname{Supp}(\mu_\alpha)$). Khi đó ta viết công thức (6) cho độ đo $\mu_\alpha$, thay thế ký hiệu $\int^*$ trong vế thứ nhất bằng $\int^\bullet$, điều này hợp lệ theo Mệnh đề 7 của §1; khi đó

(đẳng thức cuối cùng do sự kiện rằng $\lambda_t$ bị chặn hầu khắp nơi địa phương, và Mệnh đề 7 của § 1). Bất đẳng thức trong (8) khi đó thu được bằng cách lấy tổng theo $\alpha$ (§2, No. 2, Mệnh đề 1).

Nếu không đưa ra giả thiết tương tự như giả thiết của c), bất đẳng thức (8) có thể không đúng (Bài tập 2).

Vì, $f$ là tổng của một dãy các hàm $f_n \geq 0$ sao cho $f_n$ bằng không bên ngoài một tập compact $K_n$ với $n \geq 1$, và $f_0$ là $\nu$-không đáng kể (§1, No. 2, Mệnh đề 6); khi đó $f_0$ là $\lambda_t$-không đáng kể ngoại trừ các $t$ tạo thành một tập địa phương $\mu$-không đáng kể (và thậm chí $\mu$-không đáng kể, nếu $\Lambda$ liên tục mơ hồ) theo Hệ quả 1, và mệnh đề suy ra ngay lập tức.

b) Giả sử rằng f là hằng trên phần bù của một tập con ν-điều hòa của X, và rằng Λ liên tục mơ hồ; khi đó M là μ-không đáng kể.

c) Giả sử rằng $\lambda_t^\bullet(1) < +\infty$ hầu khắp mọi nơi theo μ địa phương; khi đó M là địa phương μ-không đáng kể.

Trước hết ta chứng minh a) (tương ứng b)). Vì mọi tập ν-tích phân đều được chứa trong một tập mở ν-tích phân, nên hàm f là hằng trên phần bù B của một hợp đếm được các tập mở ν-tích phân. Có một phân hoạch của X − B tạo bởi một tập ν-không đáng kể N và một dãy $(K_n)$ các tập compact sao cho hạn chế của f trên mỗi $K_n$ là liên tục. Gọi S là tập hợp các $t \in T$ sao cho N không là $\lambda_t$-không đáng kể: S là địa phương μ-không đáng kể (tương ứng μ-không đáng kể) theo Hệ quả 1 của Mệnh đề 3. Các tập $K_n, B, N$ là đo được đối với mọi độ đo trên X, và hạn chế của f trên mỗi tập trong chúng là $\lambda_t$-đo được đối với mọi $t \notin S$. Do đó hàm f là $\lambda_t$-đo được đối với mọi $t \notin S$ (Ch. IV, §5, No. 10, Mệnh đề 16).

Để thiết lập c), ta dùng lại các ký hiệu trong chứng minh của Mệnh đề 3; vì f là ν-đo được, nó đo được đối với mỗi độ đo $\nu_\alpha \leq \nu$. Bây giờ, các độ đo này bị chặn, do đó được điều hòa, và từ a) suy ra rằng M là địa phương $\mu_\alpha$-không đáng kể với mọi $\alpha \in A$. Điều này kéo theo rằng M là địa phương μ-không đáng kể (§2, No. 2, Hệ quả 2 của Mệnh đề 1).

a) Giả sử rằng f là ν-điều hòa. Khi đó tập N là địa phương μ-không đáng kể, hàm $t \mapsto \int^\bullet f(x) d\lambda_t(x)$ là μ-đo được, và

b) Giả sử rằng f là ν-điều hòa, và rằng Λ liên tục mơ hồ. Khi đó tập N là μ-không đáng kể, hàm $t \mapsto \int^* f(x) d\lambda_t(x)$ là μ-đo được và μ-điều hòa, và

c) Giả sử rằng $\lambda_t^\bullet(1) < +\infty$ hầu khắp mọi nơi theo μ địa phương. Khi đó tập N là địa phương μ-không đáng kể, hàm $t \mapsto \int^\bullet f(x) d\lambda_t(x)$ là μ-đo được, và (9) đúng.

Trước hết ta chứng minh a) (tương ứng b)), giả sử rằng f là ν-điều hòa. Các khẳng định liên quan đến tập N đã được thiết lập (Mệnh đề 4, và Hệ quả 2 của Mệnh đề 3). Theo Mệnh đề 6 của §1, No. 2, ta có thể tự giới hạn vào việc chứng minh a) (tương ứng b)) trong mỗi trường hợp đặc biệt sau:

1) Hàm $f$ là $\nu$-không đáng kể. 2) Tồn tại một tập compact $K$ sao cho $f$ bằng không bên ngoài $K$ và hạn chế của $f$ trên $K$ là liên tục.

Trường hợp đặc biệt 1) đã được xử lý rồi (Hệ quả 1 của Mệnh đề 3). Để xử lý trường hợp thứ hai, ta ký hiệu bởi $G$ một tập mở $\nu$-nguyên chứa $K$, bởi $M$ một cận trên hằng của $f$, bởi $h$ hàm nửa liên tục dưới $M \varphi_G$, và bởi $g$ hàm $h - f$. Vì hàm $f$ là nửa liên tục trên trên $X$, nên $g$ là nửa liên tục dưới và dương. Hơn nữa, $f, g, h$ là $\nu$-nguyên.

Khi đó ta áp dụng công thức (4) (tương ứng (5)) cho các hàm nửa liên tục dưới $h$ và $g$. Lấy hiệu, ta thấy rằng hàm

là $\mu$-đo được và công thức (9) (tương ứng (10)) đúng. Cuối cùng, dưới giả thiết của b), hàm $t \mapsto \int^* f(x)\, d\lambda_t(x)$ có tích phân trên hữu hạn, do đó thực sự là $\mu$-bị chặn.

Để chứng minh c), ta xét lại các độ đo $\mu_\alpha$ và $\nu_\alpha$ của chứng minh Mệnh đề 3; vì $f$ là $\nu_\alpha$-đo được và $\nu_\alpha$-bị chặn, mệnh đề a) suy ra rằng $t \mapsto \int^\bullet f(x)\, d\lambda_t(x)$ là $\mu_\alpha$-đo được và

Chỉ còn việc lấy tổng theo $\alpha$, áp dụng các Mệnh đề 1 và 2 của §2, No. 2.

Nếu $f$ không được giả thiết là $\nu$-bị chặn, và nếu không đặt giả thiết trong c), thì quan hệ (9) có thể không đúng (Bài tập 3).

Điều này suy ra ngay từ Mệnh đề 5 và tiêu chuẩn về tính nguyên (Ch. IV, §5, No. 6, Định lý 5).

a) Nếu $f$ là $\nu$-nguyên, thì $H$ là $\mu$-vô nghĩa địa phương, hàm $t \mapsto \int f(x)\, d\lambda_t(x)$ (được xác định với $t \notin H$) là $\mu$-nguyên theo nghĩa bản chất, và

b) Nếu $f$ là $\nu$-khả tích và $\Lambda$ là liên tục yếu, thì $H$ còn là $\mu$-không đáng kể và hàm $t \mapsto \int f(x)\, d\lambda_t(x)$ (được xác định với $t \notin H$) là $\mu$-khả tích.

c) Nếu $\lambda_t^*(1) < +\infty$ địa phương $\mu$-hầu khắp nơi, thì các kết luận của a) vẫn đúng đối với $f$ là một hàm $\nu$-khả tích thiết yếu.

Trước hết ta sẽ thiết lập a) (tương ứng b)). Mệnh đề này đúng khi $f$ là một hàm số dương (Mệnh đề 5); nếu $f$ là một hàm khả tích nhận giá trị trong $\overline{\mathbf{R}}$, kết quả này có thể áp dụng cho các hàm dương $f^+$ và $f^-$, và do đó ngay lập tức mở rộng đến $f$ bằng phép trừ. Còn lại cần xét trường hợp các hàm nhận giá trị trong $F$. Gọi $\mathscr{H}$ là không gian con của $\mathscr{L}_F^1(\nu)$ tạo bởi các tổ hợp tuyến tính, với các hệ số trong $F$, của các hàm thuộc $\mathscr{K}(X)$; kết quả liên quan đến các hàm thực suy ra ngay tính đúng đắn của mệnh đề đối với các phần tử của $\mathscr{H}$. Bây giờ, $\mathscr{H}$ trù mật trong $\mathscr{L}_F^1(\nu)$; do đó, với mọi $f \in \mathscr{L}_F^1(\nu)$, tồn tại một dãy $(f_n)$ các phần tử của $\mathscr{H}$ có các tính chất sau:

1) dãy $(f_n)$ hội tụ đến $f$ theo trung bình trong $\mathscr{L}_F^1(\nu)$, và $\nu$-hầu khắp nơi; 2) hàm $g = |f_0| + \sum_{n \in \mathbf{N}} |f_{n+1} - f_n|$ sao cho $\nu^*(g) < +\infty$ (Ch. IV, §3, No. 4, Đl. 3).

Gọi $N_1$ là tập hợp các $t \in T$ sao cho $\lambda_t^*(g) = +\infty$; $N_1$ là địa phương $\mu$-không đáng kể (tương ứng $\mu$-không đáng kể) theo công thức (6) (tương ứng (7)). Với $t \notin N_1$, các $f_n$ thuộc $\mathscr{L}_F^1(\lambda_t)$, dãy $(f_n)$ hội tụ $\lambda_t$-hầu khắp nơi, cũng như đối với tôpô của sự hội tụ theo trung bình trong $\mathscr{L}_F^1(\lambda_t)$ (Ch. IV, §3, No. 3, Mệnh đề 6). Gọi $M$ là tập hợp các $x \in X$ sao cho $f_n(x)$ không hội tụ đến $f(x)$: vì $M$ là $\nu$-không đáng kể, tập hợp $N_2$ gồm các $t \in T$ sao cho $M$ không là $\lambda_t$-không đáng kể là địa phương $\mu$-không đáng kể (tương ứng $\mu$-không đáng kể) theo Hệ quả 1 của Mệnh đề 3.

Giả sử rằng $t$ không thuộc $N_1 \cup N_2$; dãy $(f_n)$ hội tụ theo trung bình trong $\mathscr{L}_F^1(\lambda_t)$, và hội tụ $\lambda_t$-hầu khắp nơi đến $f$. Do đó $f \in \mathscr{L}_F^1(\lambda_t)$ và $\int f\, d\lambda_t = \lim_{n \to \infty} \int f_n\, d\lambda_t$ (Ch. IV, §4, No. 1). Tập hợp $H$ của mệnh đề do đó được chứa trong $N_1 \cup N_2$; vì vậy nó là địa phương $\mu$-không đáng kể (tương ứng $\mu$-không đáng kể). Mặt khác, hàm $t \mapsto \int f\, d\lambda_t$ bằng địa phương $\mu$-hầu khắp nơi với giới hạn của một dãy các hàm $\mu$-đo được; do đó nó là $\mu$-đo được. Cuối cùng, với mọi $t \notin N_1 \cup N_2$ và mọi $n$, ta có

do bất đẳng thức $|f_n| \leq g$ và Mệnh đề 2 của Ch. IV, §4, No. 2. Khi đó, hàm $t \mapsto \int^* g(x)\, d\lambda_t(x)$ là khả tích $\mu$-cốt yếu (tương ứng $\mu$-khả tích) theo Mệnh đề 5. Vì vậy ta có thể áp dụng định lý Lebesgue, cho Vì $\int f_n(x)\, d\nu(x)$ tiến tới $\int f(x)\, d\nu(x)$ khi $n$ tiến tới $\infty$, theo các giả thiết đặt ra trên dãy $(f_n)$, quan hệ (11) suy ra và ta đã chứng minh a) (tương ứng b)).

Bây giờ giả sử rằng $\lambda_t^\bullet(1) < +\infty$ địa phương $\mu$-hầu khắp nơi, và rằng $g$ là một hàm $\nu$-khả tích cốt yếu. Gọi $f$ là một hàm $\nu$-khả tích sao cho $g = f$ địa phương $\nu$-hầu khắp nơi (§ 1, No. 3). Khi đó $g = f$ hầu khắp nơi đối với $\lambda_t$, trừ các $t$ tạo thành một tập hợp $\mu$-không đáng kể địa phương $P$ (Hệ quả 1 c) của Mệnh đề 3). Do đó $\int g\, d\lambda_t = \int f\, d\lambda_t$ với mọi $t \notin P \cup H$, và điều này hoàn tất chứng minh.

Điều kiện này hiển nhiên là cần; mặt khác nó là đủ, vì mọi độ đo dương $\mu$ là tổng của một họ các độ đo có giá compact (§2, No. 3, Mệnh đề 4): mệnh đề khi đó suy ra từ Mệnh đề 2 của §2, No. 2.

Gọi $\mathscr{K}$ là tập hợp các tập compact trong T sao cho hạn chế của $f$ lên K là liên tục; vì $\mathscr{K}$ là $\mu$-trù mật (Ch. IV, §5, No. 10, Mệnh đề 15), tồn tại một họ đếm được địa phương $(K_i)_{i \in I}$ gồm các phần tử rời nhau từng đôi một của $\mathscr{K}$ sao cho tập $N = T - \bigcup_{i \in I} K_i$ là không đáng kể địa phương $\mu$ (Ch. IV, §5, No. 9, Mệnh đề 14). Cho $x$ là một phần tử của F; đặt

Các hàm $f$ và $f'$ bằng nhau địa phương $\mu$-hầu khắp nơi. Mặt khác, $N \cap K$ là một tập con Borel của K đối với mọi tập compact K trong T, vì họ $(K_i)$ là đếm được địa phương. Suy ra rằng N là một tập đo được phổ quát, và rằng $f'$ là một hàm đo được phổ quát (Ch. IV, §5, No. 10, Mệnh đề 16).