Bài tập 11, § 3

Cho $t \mapsto \lambda_t$ là một ánh xạ $\mu$-thích hợp từ T vào $\mathscr{M}_+(X)$ thỏa mãn điều kiện sau: với mọi tập con compact K của T, tồn tại một tập con compact $L_K$ của X sao cho $\operatorname{Supp}(\lambda_t) \subset L_K$ với mọi $t \in K$.

a) Chứng minh rằng với mọi hàm $f \geq 0$ xác định trên X,

(sử dụng Mệnh đề 3 a)).

b) Nếu $f \geq 0$ là địa phương $\nu$-không đáng kể, thì tập hợp các $t \in T$ sao cho $f$ không là địa phương $\lambda_t$-không đáng kể là địa phương $\mu$-không đáng kể.

c) Nếu $f$ là một ánh xạ $\nu$-đo được từ X vào một không gian tôpô X, thì tập hợp các $t \in T$ sao cho $f$ không $\lambda_t$-đo được là địa phương $\mu$-không đáng kể.

d) Với mọi hàm $\nu$-đo được $f \geq 0$, ánh xạ $t \mapsto \int^* f\, d\lambda_t$ là $\mu$-đo được và

e) Cho $\mathbf{f}$ là một hàm xác định trên X, có giá trị trong một không gian Banach hoặc trong $\overline{\mathbf{R}}$, và khả tích $\nu$ theo nghĩa bản chất. Chứng minh rằng tập hợp các $t \in T$ sao cho $\mathbf{f}$ không $\lambda_t$-khả tích là địa phương $\mu$-không đáng kể, hàm $t \mapsto \int \mathbf{f}(x)\, d\lambda_t(x)$ (được xác định địa phương hầu khắp nơi đối với $\mu$) là khả tích $\mu$ theo nghĩa bản chất, và