Exercice 11, § 3

Soit $t \mapsto \lambda_t$ une application $\mu$-adéquate de T dans $\mathscr{M}_+(X)$, vérifiant la condition suivante : pour toute partie compacte K de T il existe une partie compacte $L_K$ de X telle que $\operatorname{Supp}(\lambda_t) \subset L_K$.

a) Montrer que pour toute fonction $f \geq 0$ définie dans X, on a

(utiliser la prop. 3 a)).

b) Si $f \geq 0$ est localement $v$-négligeable, l’ensemble des $t \in T$ tels que $f$ ne soit pas $\lambda_t$-négligeable est localement $\mu$-négligeable.

c) Si $f$ est une application $v$-mesurable de X dans un espace topologique, l’ensemble des $t \in T$ tels que $f$ ne soit pas $\lambda_t$-mesurable est localement $\mu$-négligeable.

d) Pour toute fonction $v$-mesurable $f \geq 0$, l’application $t \mapsto \int^\ast f\ d\lambda_t$ est $\mu$-mesurable et l’on a

e) Soit $f$ une fonction définie dans X, à valeurs dans un espace de Banach ou dans $\mathbf{R}$, et essentiellement $v$-intégrable. Montrer que l’ensemble des $t \in T$ tels que $f$ ne soit pas $\lambda_t$-intégrable est localement $\mu$-négligeable, la fonction $t \mapsto \int f(x)\ d\lambda_t(x)$ (définie localement presque partout pour $\mu$) est essentiellement $\mu$-intégrable et l’on a