Nous nous bornerons dans ce paragraphe à l’étude des applications scalairement essentiellement intégrables de $T$ dans $\mathscr{M}_+(X)$ qui possèdent la propriété envisagée dans la définition suivante.

a) Si $\Lambda$ est vaguement continue, l’application $t \mapsto \lambda_t^\bullet(f)$ est semi-continue inférieurement pour toute fonction semi-continue inférieurement $f \geq 0$ définie dans $X$, $\Lambda$ est $\mu$-adéquate, et on a la relation

(5)

b) Si $\Lambda$ est vaguement $\mu$-mesurable, $\Lambda$ est $\mu$-adéquate.

c) Si la topologie de $X$ admet une base dénombrable, $\Lambda$ est vaguement mesurable (et donc aussi $\mu$-adéquate).

Soit $f$ une fonction semi-continue inférieurement $\geq 0$ définie dans $X$. Soit $F$ l’ensemble, filtrant pour la relation $\leq$, des fonctions $g \in \mathscr{H}(X)$ telles que $0 \leq g \leq f$. Pour $g \in F$, notons $h_g$ la fonction définie dans $T$ par $h_g(t) = \lambda_t(g)$. Posons de même

(§ 1, n° 1, prop. 4). Faisons l’hypothèse suivante, plus faible que celle de a): supposons seulement que la restriction de $\Lambda$ à $S$ soit vaguement continue, $S$ étant un fermé de $T$ contenant le support de $\mu$. Pour $g \in F$, notons $\bar{h}_g$ la fonction numérique qui coïncide avec $h_g$ dans $S$ et qui vaut $+\infty$ dans $\mathbf{C}S$. Posons $\bar{h}_f = \sup_{g \in F} \bar{h}_g$; on a $\bar{h}_f = h_f$ dans $S$. Pour toute $g \in F$ la fonction $\bar{h}_g$ est semi-continue inférieurement; $\bar{h}_f$ est donc semi-continue inférieurement

\* Dans la 1re édition, on appelait applications $\mu$-adéquates les applications scalairement $\mu$-intégrables et vaguement $\mu$-mesurables. La définition qui est donnée ici est plus générale (prop. 2).

et on a, la famille $(\bar{h}_g)_{g \in F}$ étant filtrante

(chap. IV, § 1, n° 1, th. 1 et § 2, n° 3, prop. 6). Comme $h_f = \bar{h}_f$ dans S, donc presque partout, ceci s’écrit aussi $\mu^*(h_f) = v^*(f)$, égalité identique à (5). De même, $f$ et $\bar{h}_f$ étant semi-continues inférieurement, les relations précédentes donnent l’égalité $\mu^*(\bar{h}_f) = v^*(f)$ (§ 1, n° 1, prop. 4); comme $\bar{h}_f = h_f$ sur S, il vient $\mu^*(h_f) = v^*(f)$ (§ 1, n° 1, prop. 1), égalité identique à (4). L’application $\Lambda$ est donc $\mu$-pré-adéquate; mais on aurait pu remplacer partout dans ce raisonnement $\mu$ par $\mu' \leq \mu$, $v$ par $v' = \int \lambda_t d\mu'(t)$, car $\Lambda$ est aussi scalairement essentiellement $\mu'$-intégrable, et S contient le support de $\mu'$. Il en résulte que $\Lambda$ est $\mu$-adéquate.

Supposons $\Lambda$ vaguement continue; on peut prendre $S = T$; alors $h_f = \bar{h}_f$ est semi-continue inférieurement, ce qui achève de prouver la partie a) de l’énoncé.

Supposons $\Lambda$ vaguement $\mu$-mesurable, et démontrons b). L’ensemble $\mathscr{K}$ des compacts K de T tels que la restriction de $\Lambda$ à K soit continue étant $\mu$-dense (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 10, prop. 15), il existe une famille sommable $(\mu_\alpha)_{\alpha \in A}$ de mesures sur T, telle qu’on ait $\mu = \sum_{\alpha \in A} \mu_\alpha$ et que le support $S_\alpha$ de chacune des mesures $\mu_\alpha$ appartienne à $\mathscr{K}$ (§ 2, n° 3, prop. 4). Pour tout $\alpha \in A$, l’application $\Lambda$ est scalairement essentiellement $\mu_\alpha$-intégrable, et nous poserons $v_\alpha = \int \lambda_t d\mu_\alpha(t)$; la famille $(v_\alpha)$ est sommable, et sa somme est égale à $v$ (cor. de la prop. 1). Si $f$ est une fonction semi-continue inférieurement positive définie sur X, la première partie de la démonstration appliquée aux mesures $\mu_\alpha$ et aux fermés $S_\alpha$ montre:

1° que $h_f$ est $\mu_\alpha$-mesurable pour tout $\alpha \in A$, donc $\mu$-mesurable (§ 2, n° 2, prop. 2); 2° que l’on a:

La formule (4) s’en déduit en sommant sur $\alpha$ (§ 2, n° 2, prop. 1). En appliquant le raisonnement précédent à une mesure $\mu'$ quelconque majorée par $\mu$ (ce qui est légitime, car $\Lambda$ est scalairement essentiellement $\mu'$-intégrable et vaguement $\mu'$-mesurable, cf. § 2, n° 2, prop. 2), on constate que $\Lambda$ est $\mu$-adéquate, et b) est démontrée.

Enfin, supposons que la topologie de X admette une base dénombrable, et montrons que toute application scalairement essentiellement $\mu$-intégrable $\Lambda : t \mapsto \lambda_t$ de $T$ dans $\mathscr{M}_+(X)$ est vaguement $\mu$-mesurable. Cela résultera du lemme suivant:

Soit $X'$ le compactifié d’Alexandroff de X, qui est un compact métrisable (Top. gén., chap. IX, n° 9, prop. 16 et cor.); nous identifierons $\mathscr{K}(X)$ à une partie de $\mathscr{C}(X')$. Soit $S'$ une partie dénombrable dense de l’espace de Banach $\mathscr{C}(X')$ (Top. gén., chap. X, 2e éd., § 3, th. 1); on peut supposer que $S'$ contient la fonction constante $n$ pour tout $n \in \mathbf{N}$. Soit $(U_n)$ une suite d’ouverts relativement compacts de X, de réunion X; tels que $\overline{U}_n \subset U_{n+1}$ pour tout $n$ (Top. gén., chap. I, 4e éd., § 9, prop. 15), et soit $\varphi_n$ une fonction de $\mathscr{K}_+(X)$ égale à 1 sur $\overline{U}_n$. Nous désignerons par S l’ensemble dénombrable des éléments de $\mathscr{K}(X)$ de la forme $\varphi_n g$ ($n \in \mathbf{N}$, $g \in S'$). Si $f \in \mathscr{K}(X)$, soit $(g_n)$ une suite d’éléments de S’ qui converge uniformément vers $f$, et soit $k$ un entier tel que le support de $f$ soit contenu dans $U_k$. Soit enfin $m$ un entier qui majore les normes des fonctions $g_n$. Les fonctions $f_n = \varphi_k g_n$ appartiennent à S, et satisfont à l’énoncé, avec $\varphi = m \varphi_k$.

Ce lemme étant établi, et l’application $t \mapsto \lambda_t(g)$ étant scalairement essentiellement intégrable pour tout $g \in S$, l’application $t \mapsto (\lambda_t(g))_{g \in S}$ de T dans $\mathbf{R}^S$ est $\mu$-mesurable (chap. IV, § 5, n° 3, th. 1). L’ensemble $\mathfrak{R}$ des compacts K de T tels que la restriction de cette application à K soit continue est donc $\mu$-dense, et il nous suffira de montrer que la restriction de $\Lambda$ à tout $K \in \mathfrak{R}$ est continue. Or soient $f$ un élément quelconque de $\mathscr{K}(X)$, $f_n$ et $\varphi$ des éléments de S satisfaisant à l’énoncé du lemme 1; la fonction $t \mapsto \lambda_t(f)$ est alors limite uniforme dans K des fonctions continues $t \mapsto \lambda_t(f_n)$; elle est donc continue dans K, et la proposition est démontrée.

a) On a l’inégalité

(6) $\int^* f(x)\ dv(x) \geqslant \int^\cdot d\mu(t) \int^* f(x)\ d\lambda_t(x) \geqslant \int^\cdot d\mu(t) \int^\cdot f(x)\ d\lambda_t(x).$

b) Si $\Lambda$ est vaguement continue, on a

(7) $\int^* f(x)\ dv(x) \geqslant \int^* d\mu(t) \int^* f(x)\ d\lambda_t(x).$

c) Si l’on a $\lambda_t^*(1) < +\infty$ localement $\mu$-presque partout, on a

(8)

Soit $g$ une fonction semi-continue inférieurement dans $X$ telle que $f \leqslant g$. Pour tout $t \in T$, on a

donc, d’après (4) et la prop. 4 du § 1,

La première des inégalités (6) résulte alors de la définition de $\int^* f(x)\ dv(x)$ (chap. IV, § 1, n° 3, déf. 3), et la seconde en résulte aussitôt. L’inégalité (7) se démontre de manière analogue si $\Lambda$ est vaguement continue, en utilisant (5) au lieu de (4).

Passons à la démonstration de (8). L’application $t \mapsto \lambda_t^*(1)$ est mesurable, finie localement $\mu$-presque partout. L’ensemble $\mathfrak{K}$ des compacts $K$ de $T$ tels que la restriction de $t \mapsto \lambda_t^*(1)$ à $K$ soit finie et continue est donc $\mu$-dense, et la prop. 4 du § 2, n° 3 entraîne l’existence d’une famille sommable $(\mu_\alpha)_{\alpha \in A}$ de mesures positives, dont les supports appartiennent à $\mathfrak{K}$, telle que $\mu = \sum_{\alpha \in A} \mu_\alpha$. L’application $\Lambda$ est $\mu_\alpha$-adéquate pour tout $\alpha \in A$; posons $v_\alpha = \int \lambda_t\ d\mu_\alpha(t)$. La prop. 1 montre que $v = \sum_{\alpha \in A} v_\alpha$, et la relation (4), appliquée à la mesure $\mu_\alpha$ et à la fonction 1, montre que $v_\alpha$ est une mesure bornée (car $\lambda_t^*(1)$ est borné sur $\operatorname{Supp}(\mu_\alpha)$). Ecrivons alors la formule (6) pour la mesure $\mu_\alpha$, en remplaçant le symbole $\int^*$ au premier membre par $\int^*$, ce qui est légitime d’après la prop. 7 du ; il vient

(la dernière égalité provient de ce que $\lambda_t$ est bornée localement presque partout, et de la prop. 7 du § 1). L’inégalité (7) s’obtient en sommant sur $\alpha$ (§ 2, n° 2, prop. 1).

Si l’on ne fait aucune hypothèse analogue à celle de c), l’inégalité (8) peut être mise en défaut (exerc. 2).

c) Supposons qu’on ait $\lambda_t^*(1) < +\infty$ localement $\mu$-presque partout ; M est alors localement $\mu$-négligeable.

Démontrons d’abord a) (resp. b)). Tout ensemble $v$-intégrable étant contenu dans un ouvert $v$-intégrable, la fonction $f$ est constante dans le complémentaire B d’une réunion dénombrable d’ouverts $v$-intégrables. Il existe une partition de $X - B$ formée d’un ensemble $v$-négligeable N, et d’une suite $(K_n)$ d’ensembles compacts tels que la restriction de $f$ à chacun des $K_n$ soit continue. Soit S l’ensemble des $t \in T$ tels que N ne soit pas $\lambda_t$-négligeable : S est localement $\mu$-négligeable (resp. $\mu$-négligeable) d’après le cor. 1 de la prop. 3. Les ensembles $K_n$, B, N sont mesurables pour toute mesure sur T, et la restriction de $f$ à chacun d’eux est $\lambda_t$-mesurable pour tout $t \notin S$. La fonction $f$ est donc $\lambda_t$-mesurable pour tout $t \notin S$ (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 10, prop. 6).

Pour établir c), reprenons les notations de la démonstration de la prop. 3 ; $f$ étant $v$-mesurable, est mesurable pour chacune des mesures $\nu_\alpha \leq \nu$. Or ces mesures sont bornées, donc modérées, et il résulte de a) que M est localement $\mu_\alpha$-négligeable pour tout $\alpha \in A$. Cela entraîne que M est localement $\mu$-négligeable ($§ 2$, n° 2, cor. 2 de la prop. 1).

a) Supposons que $f$ soit $v$-modérée. L’ensemble N est alors localement $\mu$-négligeable, la fonction $t \mapsto \int^* f(x) \, d\lambda_t(x)$ est $\mu$-mesurable, et on a

b) Supposons que $f$ soit $v$-modérée, et que $\Lambda$ soit vaguement continue. L’ensemble N est alors $\mu$-négligeable, la fonction $t \mapsto \int^* f(x) \, d\lambda_t(x)$ est $\mu$-mesurable et $\mu$-modérée, et on a

c) Supposons qu’on ait $\lambda_t^*(1) < +\infty$ localement $\mu$-presque partout. L’ensemble N est alors localement $\mu$-négligeable, la fonction $t \mapsto \int^* f(x) \, d\lambda_t(x)$ est $\mu$-mesurable, et on a (9).

Démontrons d’abord a) (resp. b)) en supposant que $f$ soit $v$-modérée. Les assertions concernant l’ensemble N ont déjà été établies (prop. 4, et cor. 2 de la prop. 3). D’après la prop. 6 du § 1, nous pouvons nous borner à prouver a) (resp. b)) dans chacun des cas particuliers suivants: 1) La fonction $f$ est $\nu$-négligeable. 2) Il existe un compact $K$ tel que $f$ soit nulle hors de $K$, et que la restriction de $f$ à $K$ soit continue. Le cas particulier 1) a déjà été traité (cor. 1 de la prop. 3). Pour traiter le second, désignons par $G$ un ouvert $\nu$-intégrable contenant $K$, par $M$ une constante qui majore $f$, par $h$ la fonction semi-continue inférieurement $M \varphi_G$, et par $g$ la fonction $h - f$. La fonction $f$ étant semi-continue supérieurement dans $X$, $g$ est semi-continue inférieurement et positive. En outre, $f$, $g$, $h$ sont $\nu$-intégrables. Appliquons alors la formule (4) (resp. (5)) aux fonctions semi-continues inférieurement $h$ et $g$. Il apparaît par différence que la fonction $t \mapsto \int^* f(x) \, d\lambda_t(x)$ (resp. $\int^* f(x) \, d\lambda_t(x)$) est $\mu$-mesurable, et qu’on a la formule (9) (resp. (10)). Enfin, sous l’hypothèse b), la fonction $t \mapsto \int^* f(x) \, d\lambda_t(x)$ a une intégrale supérieure finie : elle est donc bien $\mu$-modérée. Pour démontrer c), reprenons les mesures $\mu_\alpha$ et $\nu_\alpha$ de la démonstration de la prop. 3 ; $f$ étant $\nu_\alpha$-mesurable et $\nu_\alpha$-modérée, l’assertion a) entraîne que $t \mapsto \int^* f(x) \, d\lambda_t(x)$ est $\mu_\alpha$-mesurable, et que

Il ne reste plus qu’à sommer sur $\alpha$, en appliquant les prop. 1 et 2 du § 2, n° 2.

Si $f$ n’est pas supposée $\nu$-modérée, et si l’on ne fait pas l’hypothèse de c), la relation (9) peut être inexacte (exerc. 3).

a) Si $f$ est $v$-intégrable, $H$ est localement $\mu$-négligeable, la fonction $t \mapsto \int f(x)\ d\lambda_t(x)$ (définie pour $t \notin H$) est essentiellement $\mu$-intégrable, et on a

(11)

b) Si $f$ est $v$-intégrable, et si $\Lambda$ est vaguement continue, $H$ est de plus $\mu$-négligeable, et la fonction $t \mapsto \int f(x)\ d\lambda_t(x)$ (définie pour $t \notin H$) est $\mu$-intégrable.

c) Si l’on a $\lambda_t^*(1) < +\infty$ localement $\mu$-presque partout, les conclusions de a) restent vraies pour une fonction $f$ essentiellement $v$-intégrable.

Nous allons établir d’abord a) (resp. b)). Cet énoncé est vrai lorsque $f$ est une fonction numérique positive (prop. 5); si $f$ est une fonction intégrable à valeurs dans $\bar{\mathbf{R}}$, ce résultat s’applique aux fonctions positives $f^+$ et $f^-$, et s’étend donc à $f$ par différence. Reste à traiter le cas des fonctions à valeurs dans $F$. Soit $\mathscr{H}$ le sous-espace de $\mathscr{L}_F^1(v)$ constitué par les combinaisons linéaires, à coefficients dans $F$, de fonctions de $\mathscr{K}(X)$: le résultat relatif aux fonctions réelles entraîne aussitôt la validité de l’énoncé pour les éléments de $\mathscr{H}$. Or $\mathscr{H}$ est dense dans $\mathscr{L}_F^1(v)$; pour tout $f \in \mathscr{L}_F^1(v)$, il existe donc une suite $(f_n)$ d’éléments de $\mathscr{H}$, qui possède les propriétés suivantes:

1) la suite $(f_n)$ converge vers $f$ en moyenne dans $\mathscr{L}_F^1(v)$, et $v$-presque partout; 2) la fonction $g = |f_0| + \sum_{n \in \mathbf{N}} |f_{n+1} - f_n|$ est telle que $v^*(g) < +\infty$ (chap. IV, § 3, n° 4, th. 3).

Soit $N_1$ l’ensemble des $t \in T$ tels que $\lambda_t^*(g) = +\infty$: $N_1$ est localement $\mu$-négligeable (resp. $\mu$-négligeable) d’après la formule (6) (resp. (7)). Pour $t \notin N_1$, les $f_n$ appartiennent à $\mathscr{L}_F^1(\lambda_t)$, la suite $(f_n)$ converge $\lambda_t$-presque partout, ainsi que pour la topologie de la convergence en moyenne dans $\mathscr{L}_F^1(\lambda_t)$ (chap. IV, § 3, n° 3, prop. 6). Soit $M$ l’ensemble des $x \in X$ tels que $f_n(x)$ ne converge pas vers $f(x)$: $M$ étant $v$-négligeable, l’ensemble $N_2$ des $t \in T$ tels que $M$ ne soit pas $\lambda_t$-négligeable est localement $\mu$-négligeable (resp. $\mu$-négligeable) d’après le cor. 1 de la prop. 3.

Supposons que $t$ n’appartienne pas à $N_1 \cup N_2$; la suite $(f_n)$ converge en moyenne dans $\mathscr{L}_F^1(\lambda_t)$, et converge $\lambda_t$-presque partout vers $f$. On a donc $f \in \mathscr{L}_F^1(\lambda_t)$, et $\int f\ d\lambda_t = \lim_{n \to \infty} \int f_n\ d\lambda_t$ (chap. IV, § 4, n° 1). L’ensemble $H$ de l’énoncé est donc contenu dans $N_1 \cup N_2$;

il est par suite localement $\mu$-négligeable (resp. $\mu$-négligeable). D’autre part, la fonction $t \mapsto \int f\, d\lambda_t$ est égale localement $\mu$-presque partout à la limite d’une suite de fonctions $\mu$-mesurables ; elle est donc $\mu$-mesurable. Enfin, on a pour tout $t \notin N_1 \cup N_2$ et tout $n$,

en vertu de l’inégalité $|f_n| \leq g$, et de la prop. 2 du chap. IV, § 4, n° 2. Or la fonction $t \mapsto \int^* g(x)\, d\lambda_t(x)$ est essentiellement $\mu$-intégrable (resp. $\mu$-intégrable) d’après la prop. 5. On peut donc appliquer le théorème de Lebesgue, et il vient :

Comme $\int f_n(x)\, dv(x)$ tend vers $\int f(x)\, dv(x)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, d’après les hypothèses faites sur la suite $(f_n)$, la relation (11) en résulte, et on a prouvé a) (resp. b)).

Supposons maintenant que $\lambda_t^*(1) < +\infty$ localement $\mu$-presque partout, et que $g$ soit une fonction essentiellement $v$-intégrable. Soit $f$ une fonction $v$-intégrable telle que $g = f$ localement $v$-presque partout ($§ 1, n° 3$). On a alors $g = f$ presque partout pour $\lambda_t$, sauf pour des $t$ qui forment un ensemble localement $\mu$-négligeable $P$ (cor. 1 c) de la prop. 3). On a $\int g\, d\lambda_t = \int f\, d\lambda_t$ pour $t \notin P \cup H$, et cela achève la démonstration.