§ 2. Quotient d'un espace par un groupe ; espaces homogènes

§ 2. Quotient d’un espace par un groupe ; espaces homogènes.

1. Résultats généraux.

Soit X un espace localement compact dans lequel un groupe localement compact H opère à droite, continûment et proprement, par $(x, \xi) \to x\xi$ ( $x \in X, \xi \in H$ ). La relation d’équivalence définie par H dans X est ouverte (Top. Gén., chap. III, 3e éd., § 2, no 4, lemme 2) et X/H est séparé (loc. cit., § 4, no 2, prop. 3) donc localement compact (Top. Gén., chap. I, 3e éd., § 10, no 4, prop. 10). On notera $\pi$ l’application canonique de X sur X/H. Le saturé d’une partie Y de X est $YH = \pi^{-1}(\pi(Y))$ . Si K est une partie compacte de X, $\pi(K)$ est compact, et le saturé $\pi^{-1}(\pi(K))$ est fermé dans X. Toute partie compacte de X/H est l’image par $\pi$ d’une partie compacte de X (Top. Gén., chap. I, 3e éd., § 10, no 4, prop. 10). On suppose donnée une fois pour toutes une mesure de Haar à gauche $\beta$ sur H.

Soit $\chi$ une représentation continue de H dans $\mathbf{R}_+^*$ . Si une fonction $g$ sur X satisfait à $g(x\xi) = \chi(\xi)g(x)$ quels que soient $x \in X$ et $\xi \in H$ , son support S est invariant par H et s’écrit donc $\pi^{-1}(\pi(S))$ . On désignera par $\mathscr{K}^\chi(X)$ l’espace de Riesz formé des fonctions numériques continues $g$ sur X qui satisfont à $g(x\xi) = \chi(\xi)g(x)$ ( $x \in X, \xi \in H$ ), et dont le support est le saturé d’une partie compacte de X ; on notera $\mathscr{K}_+^\chi(X)$ l’ensemble des éléments $\geq 0$ de $\mathscr{K}^\chi(X)$ . En particulier, $\mathscr{K}^1(X)$ n’est autre que l’ensemble des fonctions continues sur X, constantes sur les orbites, et dont le support est le saturé d’une partie compacte.

Proposition 1

Soit f une fonction numérique continue sur X dont le support S ait une intersection compacte avec le saturé de toute partie compacte de X.

Cite 2 · Cité par 5

Cite Théorème 1, III § 4, Lemme 1, VII § 1

Cité par Lemme 1, Proposition 3, Proposition 7, Proposition 8, Proposition 3, VII § 3

a) Pour tout $x \in X$ , la fonction $\xi \to f(x\xi)$ sur H appartient à $\mathscr{K}(H)$ ; on pose

f^\chi(x) = \int_H f(x\xi)\chi(\xi)^{-1}d\beta(\xi).

b) La fonction $f^\chi$ est continue, est nulle hors de SH, et satisfait à $f^\chi(x\xi) = \chi(\xi)f^\chi(x)$ .

c) Si $g$ est une fonction numérique continue sur $X$ et satisfait à $g(x\xi) = \chi(\xi)g(x)$ , on a $(f g)^\chi = f^1 g$ ( $f^1$ étant donné par la formule (1) où on remplace $\chi$ par la représentation $\xi \to 1$ de $H$ dans $\mathbf{R}_+^*$ ).

d) Si $\eta \in H$ , on a $(\delta(\eta)f)^\chi = \chi(\eta)\Delta_H(\eta)^{-1}f^\chi$ .

Soient $x_0 \in X$ et $V$ un voisinage compact de $x_0$ dans $X$ . L’ensemble des $\xi \in H$ tels que $V\xi$ rencontre $S$ est aussi l’ensemble des $\xi \in H$ tels que $V\xi$ rencontre $S \cap VH$ , donc est compact dans $H$ puisque $S \cap VH$ est compact et que $H$ opère proprement dans $X$ (Top. Gén., chap. III, 3e éd., § 4, no 5, th. 1); alors le lemme 1 du § 1, no 1 prouve a) et la continuité de $f^\chi$ . Le reste de b) est évident. Enfin c) et d) résultent des calculs suivants :

(fg)^\chi(x) = \int_H f(x\xi)g(x\xi)\chi(\xi)^{-1}d\beta(\xi) = \int_H f(x\xi)g(x)\chi(\xi)\chi(\xi)^{-1}d\beta(\xi)

= g(x) \int_H f(x\xi)d\beta(\xi) = g(x)f^1(x)

(\delta(\eta)f)^\chi(x) = \int_H f(x\xi\eta)\chi(\xi)^{-1}d\beta(\xi)

= \Delta_H(\eta)^{-1} \int_H f(x\xi)\chi(\xi\eta^{-1})^{-1}d\beta(\xi)

= \chi(\eta)\Delta_H(\eta)^{-1} \int_H f(x\xi)\chi(\xi)^{-1}d\beta(\xi).

Proposition 2

L’application $f \to f^\chi$ de $\mathscr{K}(X)$ dans $\mathscr{K}^\chi(X)$ est linéaire, et l’image de $\mathscr{K}(X)$ (resp. $\mathscr{K}_+(X)$ ) est $\mathscr{K}^\chi(X)$ (resp. $\mathscr{K}_+^\chi(X)$ ).

Cité par 6

Cité par § 2. Quotient d'un espace par un groupe ; espaces homogènes, Lemme 1, Proposition 3, Proposition 6, Proposition 4, VIII § 5, Proposition 5, VIII § 5

La linéarité est immédiate. Il est clair que $f^\chi \geqslant 0$ pour $f \geqslant 0$ . Il suffit alors d’appliquer le lemme suivant :

Lemme 1

Soient $K$ une partie compacte de $X$ , $u$ une fonction de $\mathscr{K}_+(X)$ , avec $u(x) > 0$ pour $x \in K$ . Soit $g \in \mathscr{K}^\chi(X)$ telle que $\operatorname{Supp} g \subset KH$ .

Cite 3 · Cité par 2

Cite Proposition 1, II § 2. Formes linéaires sur un espace de Riesz, Proposition 2

Cité par Exercice 20, § 1, Remarque 1

a) On a $\inf_{x \in KH} u^1(x) > 0$ .

b) La fonction h égale à $g/u^1$ dans KH, à 0 dans $X - KH$ , appartient à $\mathscr{K}^\times(X)$ .

c) $g = (uh)^\times$ .

On a $u^1(x) > 0$ pour $x \in K$ , donc $\inf_{x \in KH} u^1(x) = \inf_{x \in K} u^1(x) > 0$ .

L’assertion b) en résulte aussitôt. Enfin, d’après la prop. 1 c), on a $(uh)^\times = u^1h$ , et il est clair que $u^1h = g$ .

Soit I une forme linéaire relativement bornée (chap. II, § 2, n° 2) sur $\mathscr{K}^\times(X)$ . Alors $f \to I(f^\times)$ est une forme linéaire relativement bornée sur $\mathscr{K}(X)$ , c’est-à-dire une mesure $\mu_I$ sur X. L’application $I \to \mu_I$ est injective d’après la prop. 2. Les mesures $\mu_I$ ainsi obtenues sur X peuvent être caractérisées comme suit :

Proposition 3

Soit $\mu$ une mesure sur X. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Cite 4 · Cité par 3

Cite Proposition 1, III § 4. Produits de mesures, Théorème 2, Proposition 2

Cité par Exercice 1, § 2, Remarque 2, Proposition 4

a) Il existe une forme linéaire relativement bornée I sur $\mathscr{K}^\times(X)$ telle que $I(f^\times) = \mu(f)$ pour toute $f \in \mathscr{K}(X)$ .

b) $\delta(\xi)\mu = \chi(\xi)^{-1}\Delta_H(\xi)\mu$ pour tout $\xi \in H$ .

c) Quelles que soient $f, g$ dans $\mathscr{K}(X)$ , on a

\mu(f \cdot g^1) = \mu(f^\times \cdot g).

d) Si $f \in \mathscr{K}(X)$ est telle que $f^\times = 0$ , alors $\mu(f) = 0$ .

$a) \Rightarrow b)$ : si $\mu(f) = I(f^\times)$ , on a, compte tenu de la prop. 1 d) :

\langle \delta(\xi)\mu, f \rangle = \langle \mu, \delta(\xi^{-1})f \rangle = I((\delta(\xi^{-1})f)^\times) = I(\chi(\xi)^{-1}\Delta_H(\xi)f^\times) = \chi(\xi)^{-1}\Delta_H(\xi)\langle \mu, f \rangle,

donc $\delta(\xi)\mu = \chi(\xi)^{-1}\Delta_H(\xi)\mu$ .

$b) \Rightarrow c)$ : supposons l’hypothèse b) satisfaite. Observons que les fonctions $(x, \xi) \to f(x)g(x\xi)$ et $(x, \xi) \to f(x\xi)g(x)$ sur $X \times H$ sont continues à support compact (parce que H opère proprement dans X) ; ceci posé, le th. 2 du chap. III, § 5, n° 1 permet d’écrire :

\int_X f(x) d\mu(x) \int_H g(x\xi) d\beta(\xi) = \int_H d\beta(\xi) \int_X f(x) g(x\xi) d\mu(x)

= \int_H d\beta(\xi) \int_X f(x\xi^{-1}) g(x) \chi(\xi) \Delta_H(\xi)^{-1} d\mu(x)

= \int_X g(x) d\mu(x) \int_H f(x\xi^{-1}) \chi(\xi) \Delta_H(\xi)^{-1} d\beta(\xi)

= \int_X g(x) d\mu(x) \int_H f(x\xi) \chi(\xi)^{-1} d\beta(\xi)

ce qui prouve c).

c) $\Rightarrow$ d) : si c) est vérifiée et si $f^\chi = 0$ , on a $\mu(f \cdot g^1) = 0$ pour toute $g \in \mathscr{K}(X)$ , donc $\mu(f) = 0$ en choisissant $g \in \mathscr{K}(X)$ telle que $g^1 = 1$ sur Supp $f$ (ce qui est possible d'après la prop. 2 appliquée avec $\chi = 1$ ).

d) $\Rightarrow$ a) : si la condition d) est satisfaite, il existe une forme linéaire I sur $\mathscr{K}^\chi(X)$ telle que $\mu(f) = I(f^\chi)$ pour $f \in \mathscr{K}(X)$ , et cette forme est relativement bornée en vertu de la prop. 2.

2. Cas où $\chi = 1$ .

Si $f$ est une fonction sur $X/H$ , $f \circ \pi$ est une fonction sur $X$ constante sur les orbites, continue si et seulement si $f$ est continue. L’application $f \to f \circ \pi$ définit en particulier une bijection de $\mathscr{K}(X/H)$ sur $\mathscr{K}^1(X)$ .

Nous pouvons alors, dans le cas où $\chi = 1$ , reformuler de la manière suivante certains résultats du no 1 :

Soit $f$ une fonction numérique continue dans $X$ dont le support ait une intersection compacte avec le saturé de toute partie compacte de $X$ . La formule

(3)

f^b(\pi(x)) = \int_H f(x\xi) d\beta(\xi)

définit une fonction continue $f^b$ sur $X/H$ . Si $g$ est une fonction continue sur $X/H$ , on a

(4)

(f \cdot g \circ \pi)^b = f^b \cdot g.

Si $\eta \in H$ , on a

(5)

(\delta(\eta)f)^b = \Delta_H(\eta)^{-1}f^b.

On n’oubliera pas que la définition de $f^b$ dépend du choix de $\beta$ . Si $H$ est compact et $\beta$ normalisée, la fonction $f^b$ s’appelle parfois moyenne orbitale de $f$ .

Si $f \in \mathscr{K}(X)$ , on a $f^b \in \mathscr{K}(X/H)$ . L’application $f \to f^b$ de $\mathscr{K}(X)$ dans $\mathscr{K}(X/H)$ est linéaire, et l’image de $\mathscr{K}(X)$ (resp. $\mathscr{K}_+(X)$ ) est $\mathscr{K}(X/H)$ (resp. $\mathscr{K}_+(X/H)$ ).

Remarque 1

On va montrer que l’application $f \to f^b$ est un morphisme strict (Top. gén., chap. III, 3e éd., § 2, n° 8) de $\mathscr{K}(X)$ sur $\mathscr{K}(X/H)$ .

a) Cette application est continue : il suffit de prouver que, pour toute partie compacte $K$ de $X$ , la restriction à $\mathscr{K}(X, K)$ de $f \to f^b$ est une application continue de $\mathscr{K}(X, K)$ dans $\mathscr{K}(X/H, \pi(K))$ (Esp. vect. top., chap. II, § 2, n° 2, cor. de la prop. 1) ; comme $H$ opère proprement dans $X$ , l’ensemble $P$ des $\xi \in H$ tels que $K\xi$ rencontre $K$ est compact ; on conclut de (3) que $\sup_{x \in K} |f^b(\pi(x))| \leq \beta(P) \sup_{x \in K} |f(x)|$ , et ceci prouve notre assertion.

b) Soit $K'$ une partie compacte de $X/H$ . Choisissons une partie compacte $K$ de $X$ telle que $\pi(K) = K'$ , et montrons que la restriction de $f \to f^b$ à $\mathscr{K}(X, K)$ est un morphisme strict de $\mathscr{K}(X, K)$ sur $\mathscr{K}(X/H, K')$ . Il suffit de construire pour cette restriction un inverse à droite (Esp. vect. top., chap. I, § 1, n° 8, prop. 13). Or, d’après le lemme 1 du n° 1 (dont nous adoptons les notations), on obtient un tel inverse en composant les applications suivantes :

α) l’application $f' \to f' \circ \pi$ de $\mathscr{K}(X/H, K')$ dans l’ensemble $E$ des fonctions de $\mathscr{K}^1(X)$ dont le support est contenu dans $KH$ ; β) l’application de $E$ dans $E$ qui, à toute $g \in E$ , fait correspondre la fonction égale à $g/u^1$ dans $KH$ , à 0 dans $X - KH$ ; γ) l’application de $E$ dans $\mathscr{K}(X)$ qui, à toute fonction $h \in E$ , fait correspondre $uh$ .

c) Ceci posé, si $V$ est un voisinage convexe de 0 dans $\mathscr{K}(X)$ , $V \cap \mathscr{K}(X, K)$ est un voisinage convexe de 0 dans $\mathscr{K}(X, K)$ , donc $V^b \cap \mathscr{K}(X/H, K')$ est un voisinage convexe de 0 dans $\mathscr{K}(X/H, K')$ d’après b), donc $V^b$ est un voisinage de 0 dans $\mathscr{K}(X/H)$ (Esp. vect. top., chap. II, § 2, n° 4). Ceci achève la démonstration.

Cite 2

Cite III § 2. Support d'une mesure, Lemme 1

Proposition 4

a) Soit $\lambda$ une mesure sur $X/H$ . Il existe une mesure $\lambda^\#$ et une seule sur $X$ telle que

Cite 1 · Cité par 5

Cite Proposition 3

Cité par § 2. Quotient d'un espace par un groupe ; espaces homogènes, Définition 1, Lemme 5, Corollaire 2, Théorème 3

(6)

\int_{X/H} f^b d\lambda = \int_X f d\lambda^\#

quelle que soit $f \in \mathscr{K}(X)$ . On a $\delta(\xi)\lambda^\# = \Delta_H(\xi)\lambda^\#$ pour tout $\xi \in H$ .

b) Réciproquement, soit $\mu$ une mesure sur $X$ telle que $\delta(\xi)\mu = \Delta_H(\xi)\mu$ pour tout $\xi \in H$ . Il existe une mesure $\lambda$ et une seule sur $X/H$ telle que $\mu = \lambda^\#$ .

C'est un cas particulier du no 1.

Définition 1

Les hypothèses et les notations étant celles de la prop. 4, $\lambda$ s'appelle le quotient de $\mu$ par $\beta$ et se note $\frac{\mu}{\beta}$ ou $\mu/\beta$ .

Cite 1

Cite Proposition 4

L'application $\lambda \to \lambda^\#$ de $\mathscr{M}(X/H)$ dans $\mathscr{M}(X)$ n'est autre que la transposée de l'application $f \to f^b$ de $\mathscr{K}(X)$ dans $\mathscr{K}(X/H)$ . Soit $\mathfrak{F}$ un filtre sur $\mathscr{M}(X/H)$ ; dire que $\lim_{\lambda,\mathfrak{F}} \lambda^\#(f) = 0$ pour toute $f \in \mathscr{K}(X)$ équivaut à dire que $\lim_{\lambda,\mathfrak{F}} \lambda(f') = 0$ pour toute $f' \in \mathscr{K}(X/H)$ ; l'application $\lambda \to \lambda^\#$ est donc, pour les topologies vagues, un isomorphisme de $\mathscr{M}(X/H)$ sur un sous-espace vectoriel de $\mathscr{M}(X)$ . Ce sous-espace est vaguement fermé, puisqu'il est l'ensemble des $\mu \in \mathscr{M}(X)$ telles que $\delta(\xi)\mu = \Delta_H(\xi)\mu$ pour tout $\xi \in H$ . Il est clair que les conditions $\lambda \geqslant 0$ et $\lambda^\# \geqslant 0$ sont équivalentes.

La formule (6) s'écrit, par analogie avec la notation usuelle pour les intégrales doubles

\int_X f(x)d\lambda^\#(x) = \int_{X/H} d\lambda(\dot{x}) \int_H f(x\xi)d\beta(\xi) \quad (\dot{x} = \pi(x)).

Il s'agit d'un abus de notations, l'intégrale $\int_H f(x\xi)d\beta(\xi)$ étant considérée comme fonction de $\dot{x}$ et non de $x$ ; cette manière d'écrire s'emploiera souvent par la suite quand elle ne pourra prêter à confusion.

Remarque 2

Soit $E$ un espace vectoriel localement convexe et soit $m$ une mesure vectorielle sur $X/H$ , à valeurs dans $E$ . L'application $f \to m(f^b)$ de $\mathscr{K}(X)$ dans $E$ est alors une mesure vectorielle sur $X$ , à valeurs dans $E$ , que nous noterons encore $m^\#$ . L'application $m \to m^\#$ est encore un isomorphisme de $\mathscr{L}(\mathscr{K}(X/H); E)$ sur un sous-espace vectoriel $A$ de $\mathscr{L}(\mathscr{K}(X); E)$ (si on munit ces espaces de la topologie de la convergence simple). De plus, comme l'application $f \to f^b$ est un morphisme strict surjectif, le sous-espace $A$ se compose exactement des mesures vectorielles $n$ sur $X$ qui sont nulles sur le noyau $N$ de l’application $f \to f^\flat$ . Pour que $n \in A$ , il est donc nécessaire et suffisant que les mesures scalaires $z' \circ n$ soient nulles sur $N$ pour tout $z' \in E'$ . On déduit alors de la prop. 3 que $n \in A$ si et seulement si l’on a

\delta(\xi)n = \Delta_H(\xi)n

pour tout

\xi \in H

Cite 1

Cite Proposition 3

3. Autre interprétation de $\lambda^\#$ .

Pour tout $x \in X$ , l’application $\xi \to x\xi$ de $H$ dans $X$ est propre (Top. Gén., chap. III, 3e éd., § 4, no 2, prop. 4), donc $\beta$ admet une mesure image dans $X$ par cette application, image qui est concentrée sur l’orbite $xH$ (chap. V, § 6, no 2, cor. 3 de la prop. 2); comme $\beta$ est invariante à gauche, cette mesure image ne dépend que de la classe $u = \pi(x)$ de $x$ dans $X/H$ , et sera notée $\beta_u$ . Par définition, pour $f \in \mathscr{K}(X)$ , on a

\int_X f(y)d\beta_u(y) = \int_H f(x\xi)d\beta(\xi) = f^\flat(u).

On voit donc que

(\varepsilon_u)^\# = \beta_u.

Lemme 2

Soit $f$ une fonction sur $X$ , à valeurs dans un espace topologique.* a) Si $f$ est une fonction numérique $\geq 0$ , on a, pour $x \in X$

\int_X^* f(y)d\beta_{\dot{x}}(y) = \int_H^* f(x\xi)d\beta(\xi) \quad (\dot{x} = \pi(x)).

b) Pour que $f$ soit $\beta_{\dot{x}}$ -mesurable, il faut et il suffit que la fonction $\xi \to f(x\xi)$ sur $H$ soit $\beta$ -mesurable. c) Supposons que $\mathbf{f}$ soit une fonction sur $X$ , à valeurs dans un espace de Banach ou dans $\mathbf{R}$ ; alors, pour que $\mathbf{f}$ soit $\beta_{\dot{x}}$ -intégrable (resp. essentiellement $\beta_{\dot{x}}$ -intégrable), il faut et il suffit que la fonction $\xi \to \mathbf{f}(x\xi)$ sur $H$ soit $\beta$ -intégrable (resp. essentiellement $\beta$ -intégrable), et on a alors

\int_X \mathbf{f}(y)d\beta_{\dot{x}}(y) = \int_H \mathbf{f}(x\xi)d\beta(\xi).

Cela résulte du chap. V, § 4, prop. 2, prop. 3 et th. 2.

Cite 4 · Cité par 1

Cite Proposition 2, V § 4, Proposition 3, V § 4, Théorème 2, V § 4, VI § 1. Intégration des fonctions vectorielles

Cité par Proposition 5

Puisque $f^b \in \mathscr{K}(X/H)$ pour $f \in \mathscr{K}(X)$ , la formule (8) prouve que l’application $u \to \beta_u$ de $X/H$ dans $\mathscr{M}(X)$ est vaguement continue, que la famille $(\beta_u)$ est $\lambda$ -adéquate quelle que soit la mesure positive $\lambda$ sur $X/H$ , et que

\lambda^* = \int_{X/H} \beta_u d\lambda(u)

ce qui fournit une nouvelle interprétation de $\lambda^*$ .

Proposition 5

Soit $\lambda$ une mesure positive sur $X/H$ .

Cite 4 · Cité par 6

Cite Proposition 4, V § 3, Proposition 5, V § 3, Théorème 1, V § 3, Lemme 2

Cité par Remarque 2, Corollaire, Proposition 6, Proposition 9, Théorème 4, Proposition 5, VIII § 5

a) Soit $f$ une fonction $\lambda^*$ -mesurable sur $X$ , à valeurs dans un espace topologique, constante hors d’une réunion dénombrable d’ensembles $\lambda^*$ -intégrables. Alors, l’ensemble des $\dot{x} \in X/H$ tels que la fonction $\xi \to f(x\xi)$ ne soit pas $\beta$ -mesurable est localement $\lambda$ -négligeable.

b) Soit $f$ une fonction $\lambda^*$ -mesurable $\geq 0$ sur $X$ , nulle hors d’une réunion dénombrable d’ensembles $\lambda^*$ -intégrables. Alors la fonction $\dot{x} \to \int^* f(x\xi)d\beta(\xi)$ sur $X/H$ est $\lambda$ -mesurable, et l’on a

\int_X^* f(x)d\lambda^*(x) = \int_{X/H}^* d\lambda(\dot{x}) \int_H^* f(x\xi)d\beta(\xi) \qquad (\dot{x} = \pi(x)).

c) Soit $\mathbf{f}$ une fonction $\lambda^*$ -intégrable sur $X$ , à valeurs dans un espace de Banach ou dans $\mathbf{R}$ . Alors l’ensemble des $\dot{x} \in X/H$ tels que $\xi \to \mathbf{f}(x\xi)$ ne soit pas $\beta$ -intégrable est $\lambda$ -négligeable ; la fonction $\mathbf{f}^b$ sur $X/H$ définie presque partout par la formule

\mathbf{f}^b(\dot{x}) = \int_H \mathbf{f}(x\xi)d\beta(\xi) \qquad (\dot{x} = \pi(x))

est $\lambda$ -intégrable, et l’on a

\int_{X/H} |\mathbf{f}^b|d\lambda = \int_X |\mathbf{f}|d\lambda^*

\int_{X/H} |\mathbf{f}^b|d\lambda \leq \int_X |\mathbf{f}|d\lambda^*.

d) Soit $f$ une fonction $\lambda^{\#}$ -mesurable sur $X$ , à valeurs dans un espace de Banach ou dans $\overline{\mathbf{R}}$ , et nulle hors d'une réunion dénombrable d'ensembles $\lambda^{\#}$ -intégrables. Alors, pour que $f$ soit $\lambda^{\#}$ -intégrable, il faut et il suffit que

\int_{X/H}^{*} d\lambda(\dot{x}) \int_{H}^{*} |f(x\xi)|\ d\beta(\xi) < +\infty \quad (\dot{x} = \pi(x)).

Compte tenu du lemme 2, a), b), c) résultent du chap. V, § 3, prop. 3, prop. 4 et th. 1 (à l’exception de (13) qui résulte de (12), car il est clair que $|f^{\flat}| \leq |f|^{\flat}$ ) ; d) résulte de b).

Proposition 6

Soit $\lambda$ une mesure positive sur $X/H$ . a) Soit $N$ une partie de $X/H$ . Pour que $N$ soit localement $\lambda$ -négligeable, il faut et il suffit que $\pi^{-1}(N)$ soit localement $\lambda^{\#}$ -négligeable. b) Soit $g$ une fonction sur $X/H$ , à valeurs dans un espace topologique. Pour que $g$ soit $\lambda$ -mesurable, il faut et il suffit que $g \circ \pi$ soit $\lambda^{\#}$ -mesurable. c) Soit $h$ une fonction sur $X/H$ à valeurs dans un espace de Banach ou dans $\overline{\mathbf{R}}$ . Pour que $h$ soit localement $\lambda$ -intégrable, il faut et il suffit que $h \circ \pi$ soit localement $\lambda^{\#}$ -intégrable, et l’on a alors $(h.\lambda)^{\#} = (h \circ \pi).\lambda^{\#}$ . Supposons $h \circ \pi$ localement $\lambda^{\#}$ -intégrable. Pour toute $f \in \mathscr{K}(X)$ , $f.(h \circ \pi)$ est $\lambda^{\#}$ -intégrable, donc (prop. 5) la fonction $(f.(h \circ \pi))^{\flat} = f^{\flat}.h$ est $\lambda$ -intégrable et l’on a

\int_{X/H} f^{\flat}.h d\lambda = \int_{X} f.(h \circ \pi) d\lambda^{\#}.

Cite 4 · Cité par 6

Cite Proposition 5, Proposition 2, Corollaire 1, V § 6, Proposition 10

Cité par Lemme 4, Remarque 1, Remarque 4, Corollaire 1, Corollaire 2, Proposition 9

Comme $f \to f^{\flat}$ est une application surjective de $\mathscr{K}(X)$ sur $\mathscr{K}(X/H)$ , cela montre que $h$ est localement $\lambda$ -intégrable et que

(h.\lambda)^{\#} = (h \circ \pi).\lambda^{\#}.

En particulier, si $\pi^{-1}(N)$ est localement $\lambda^{\#}$ -négligeable, $\varphi_N \circ \pi$ est localement $\lambda^{\#}$ -négligeable, donc $(\varphi_N.\lambda)^{\#} = (\varphi_N \circ \pi).\lambda^{\#} = 0$ , et par suite $\varphi_N.\lambda = 0$ et $N$ est localement $\lambda$ -négligeable. Maintenant, supposons que $g \circ \pi$ soit $\lambda^{\#}$ -mesurable. Soit $K'$ une partie compacte de X/H. Soit $f \in \mathscr{K}_+(X)$ , telle que $f^\flat = 1$ dans $K'$ (no 1, prop. 2), et soit $K = \mathrm{Supp}\, f$ ; on a $\pi(K) \supset K'$ . Il existe une partition de K formée d’un ensemble $\lambda^*$ -négligeable M et d’une suite $(K_n)$ d’ensembles compacts tels que $(g \circ \pi)|K_n$ soit continue pour tout n. Alors $g|\pi(K_n)$ est continue. Soit P l’ensemble des points de K n’appartenant pas à $\pi(K_1) \cup \pi(K_2) \cup \ldots$ ; alors $\pi^{-1}(P) \cap K$ est contenu dans M, donc est $\lambda^*$ -négligeable ; donc $f \cdot \varphi_{\pi^{-1}(P)}$ est $\lambda^*$ -négligeable ; on en déduit (prop. 5)

0 = \int_X f \cdot \varphi_{\pi^{-1}(P)} d\lambda^* = \int_{X/H} f^\flat \cdot \varphi_P d\lambda \geq \int_{X/H}^* \varphi_P d\lambda

donc P est $\lambda$ -négligeable, et g est $\lambda$ -mesurable.

Si N est localement $\lambda$ -négligeable, $\pi^{-1}(N)$ est localement $\lambda^*$ -négligeable (App. 2). Si g est $\lambda$ -mesurable, $g \circ \pi$ est $\lambda^*$ -mesurable (ibid.). Enfin, supposons h localement $\lambda$ -intégrable. Alors on sait déjà que $h \circ \pi$ est $\lambda^*$ -mesurable. Pour toute $f \in \mathscr{K}_+(X)$ , on a, d’après la prop. 5,

\int_X^* f(x)|h|(\pi(x)) d\lambda^*(x) = \int_{X/H}^* |h|(u)f^\flat(u) d\lambda(u) < + \infty

donc $h \circ \pi$ est localement $\lambda^*$ -intégrable.

Corollaire 1

Soient $\lambda, \lambda'$ deux mesures positives sur X/H. Pour que $\lambda'$ soit de base $\lambda$ , il faut et il suffit que ${\lambda'}^*$ soit de base $\lambda^*$ . Pour que $\lambda$ et $\lambda'$ soient équivalentes, il faut et il suffit que $\lambda^*$ et ${\lambda'}^*$ soient équivalentes.

Cite 1 · Cité par 3

Cite Proposition 6

Cité par Lemme 4, Remarque 4, Corollaire 2

La première assertion résulte de la prop. 6, a) et c). La deuxième résulte de la première.

Corollaire 2

Soient $\lambda$ une mesure positive sur X/H, et f une fonction numérique $\lambda^*$ -mesurable sur X. On suppose que, pour tout $\xi \in H$ , on ait $\delta(\xi)f = f$ localement $\lambda^*$ -presque partout. Alors il existe une fonction $\lambda$ -mesurable g sur X/H telle que $f = g \circ \pi$ localement $\lambda^*$ -presque partout.

Cite 3 · Cité par 1

Cite Proposition 4, Proposition 6, Corollaire 1

Cité par Lemme 3

En remplaçant f par $f/(1 + |f|)$ , on se ramène au cas où f est bornée, donc localement $\lambda^*$ -intégrable. Soit $\mu = f \cdot \lambda^*$ . L’hypothèse sur f entraîne que $\delta(\xi)\mu = f \cdot \delta(\xi)\lambda^* = \Delta_H(\xi)\mu$ pour tout $\xi \in H$ . Il existe alors (prop. 4) une mesure $\lambda'$ sur $X/H$ telle que $\mu = {\lambda'}^\#$ . D’après le cor. 1, il existe une fonction localement $\lambda$ -intégrable $g$ sur $X/H$ telle que $\lambda' = g.\lambda$ . D’après la prop. 6, on a $f.\lambda^\# = {\lambda'}^\# = (g \circ \pi).\lambda^\#$ , d’où $f = g \circ \pi$ localement $\lambda^\#$ -presque partout.

Corollaire 3

a) Soit $(\lambda_i)_{i \in I}$ une famille de mesures réelles sur $X/H$ . Pour que la famille $(\lambda_i)$ soit majorée dans $\mathscr{M}(X/H)$ , il faut et il suffit que la famille $(\lambda_i^\#)$ soit majorée dans $\mathscr{M}(X)$ , *et on a alors

\sup(\lambda_i^\#) = (\sup \lambda_i)^\#.

b) Soit $\lambda$ une mesure réelle sur $X/H$ . On a $(\lambda^+)^{\#} = (\lambda^\#)^+$ et $(\lambda^-)^{\#} = (\lambda^\#)^-$ .

Cité par 2

Cité par Remarque 3, Remarque 4

c) Soit $\lambda$ une mesure complexe sur $X/H$ . On a $|\lambda|^\# = |\lambda^\#|$ . Supposons la famille $(\lambda_i)$ majorée et posons $\mu = \sup \lambda_i$ . Puisque $\lambda \geq 0$ entraîne $\lambda^\# \geq 0$ , on a $\mu^\# \geq \lambda_i^\#$ pour tout $i$ ce qui montre que la famille $(\lambda_i^\#)$ est majorée et que

(\sup \lambda_i)^\# \geq \sup(\lambda_i^\#).

Réciproquement, supposons la famille $(\lambda_i^\#)$ majorée et soit $v = \sup (\lambda_i^\#)$ . Puisque $\delta(\xi)\lambda_i^\# = \Delta_H(\xi)\lambda_i^\#$ pour tout $\xi \in H$ , on a évidemment $\delta(\xi)v = \Delta_H(\xi)v$ , donc il existe une mesure $\mu' \in \mathscr{M}(X/H)$ telle que $v = {\mu'}^\#$ . Comme $\lambda^\# \geq 0$ entraîne $\lambda \geq 0$ , on a $\mu' \geq \lambda_i$ pour tout $i$ , ce qui montre que la famille $(\lambda_i)$ est majorée et que $v = {\mu'}^\# \geq (\sup \lambda_i)^\#$ , d’où

\sup (\lambda_i^\#) \geq (\sup \lambda_i)^\#

ce qui achève la démonstration de a). L’assertion b) en résulte aussitôt, puisque $\lambda^+$ par exemple n’est autre que $\sup(\lambda, 0)$ . Pour démontrer c), il suffit de remarquer que $|\lambda| = \sup \Re(\alpha \lambda)$ pour $\alpha$ nombre complexe de module 1, et d’autre part que $\Re(\mu^\#) = (\Re \mu)^\#$ pour toute $\mu \in \mathscr{M}(X/H)$ .

Remarque 1

La prop. 6 a) peut s’exprimer en disant que $\lambda$ est une mesure pseudo-image de $\lambda^\#$ par $\pi$ (chap. VI, § 3, no 2, déf. 1).

Cite 2

Cite Définition 1, VI § 3, Proposition 6

Remarque 2

Supposons $H$ compact et $\beta$ normalisée. Le saturé de toute partie compacte de $X$ est compact. Donc, si $f \in \mathscr{K}(X/H)$ , on a $f \circ \pi \in \mathscr{K}(X)$ ; et, pour toute mesure positive $\lambda$ sur $X/H$ , la prop. 5c) donne

\int_X (f \circ \pi)(x)d\lambda^*(x) = \int_{X/H} f(u)d\lambda(u).

Autrement dit, $\lambda$ est l’image de $\lambda^*$ par $\pi$ .

Cite 1 · Cité par 1

Cite Proposition 5

Cité par Proposition 13

Remarque 3

Le cor. 3 c) de la prop. 6 montre aussitôt que les résultats de ce n° restent valables dans le cas des mesures complexes (sauf ceux qui font intervenir l’intégrale supérieure).

Cite 1

Cite Corollaire 3

Remarque 4

Soit $m$ une mesure vectorielle sur $X/H$ à valeurs dans $E$ et soit $q$ une semi-norme semi-continue inférieurement sur $E$ . Pour que $m$ soit $q$ -majorable (chap. VI, § 2, n° 3, déf. 3), il faut et il suffit que $m^*$ le soit, et on a alors $q(m^*) = q(m)^*$ . Ceci résulte aussitôt des définitions et du cor. 3 a).

Soit d’autre part $\mu$ une mesure positive sur $X/H$ . Pour que $m$ soit scalairement de base $\mu$ , il faut et il suffit que $m^*$ soit scalairement de base $\mu^*$ : cela résulte du cor. 1.

Enfin, si $m$ est de base $\mu$ , de densité $f$ par rapport à $\mu$ (chap. VI, § 2, n° 4, déf. 4), alors $m^*$ est de base $\mu^*$ , de densité $f \circ \pi$ : cela résulte de la prop. 6 c).

Cite 5

Cite Définition 3, VI § 2, Corollaire 3, Corollaire 1, Définition 4, VI § 2, Proposition 6

4. Cas où $X/H$ est paracompact.

Si $X/H$ est paracompact, on va voir d’abord que les espaces vectoriels $\mathscr{K}^\chi(X)$ , pour $\chi$ variable, sont tous isomorphes entre eux, et en particulier isomorphes à $\mathscr{K}^1(X)$ .

Proposition 7

Supposons $X/H$ paracompact. Soit $\chi$ une représentation continue de $H$ dans $\mathbf{R}_+^*$ .

Cite 1 · Cité par 2

Cite Proposition 1

Cité par Théorème 2, Proposition 2, VII § 3

a) Il existe sur $X$ une fonction continue $r$ , à valeurs $> 0$ , telle que $r(x\xi) = \chi(\xi)r(x)$ quels que soient $x \in X$ et $\xi \in H$ .

b) L’application $g \to g/r$ est un isomorphisme de l’espace vectoriel $\mathscr{K}^\chi(X)$ sur l’espace vectoriel $\mathscr{K}^1(X)$ .

Appliquons la prop. 1 du n° 1 en prenant pour $f$ une fonction $\geqslant 0$ non identiquement nulle sur chaque orbite (c’est possible d’après le lemme 1 de l’Appendice 1) ; alors $r = f^\chi$ vérifie les propriétés de $a$ . L’assertion $b$ est évidente.

Proposition 8

Supposons $X/H$ paracompact. Il existe une fonction $h \geq 0$ continue dans $X$ , dont le support a une intersection compacte avec le saturé de toute partie compacte de $X$ , et telle que $h^b = 1$ . Pour une telle fonction, on a $g = (h . (g \circ \pi))^b$ quelle que soit la fonction $g$ continue dans $X/H$ .

Cite 1 · Cité par 5

Cite Proposition 1

Cité par § 2. Quotient d'un espace par un groupe ; espaces homogènes, Exercice 11, § 2, Corollaire, Remarque 2, Proposition 9

Appliquons la prop. 1 du n° 1, avec $\chi = 1$ , en prenant pour $f$ une fonction $\geq 0$ non identiquement nulle sur chaque orbite. On a $f^1(x) > 0$ en tout point $x$ de $X$ . Posons $h = f/f^1$ . Alors $h^1 = f^1/f^1 = 1$ , donc $h^b = 1$ . Si $g$ est une fonction continue sur $X/H$ , on a donc $(h . (g \circ \pi))^b = h^b . g = g$ .

Remarque 1

En particulier, soit $X$ un espace localement compact sur lequel opère à droite, continûment et proprement, un groupe discret $D$ ; supposons $X/D$ paracompact. Alors il existe sur $X$ une fonction continue $h \geq 0$ , dont le support a une intersection compacte avec le saturé de toute partie compacte de $X$ , et telle que $\sum_{d \in D} h(xd) = 1$ pour tout $x \in X$ (tous les termes de la somme étant nuls sauf un nombre fini d'entre eux).

Remarque 2

Conservons les hypothèses et les notations de la prop. 8. L’application $g \to h . (g \circ \pi)$ est une application continue de $\mathscr{K}(X/H)$ dans $\mathscr{K}(X)$ qui est inverse à droite de l’application $f \to f^b$ . Par suite, toute partie bornée (resp. compacte) de $\mathscr{K}(X/H)$ est l’image d’une partie bornée (resp. compacte) de $\mathscr{K}(X)$ . On en déduit aussitôt que l’application $\lambda \to \lambda^\#$ est encore un isomorphisme de $\mathscr{M}(X/H)$ sur un sous-espace vectoriel fermé de $\mathscr{M}(X)$ quand on munit ces espaces de la topologie de la convergence bornée (resp. compacte).

Cite 1

Cite Proposition 8

Proposition 9

On conserve les hypothèses et les notations de la prop. 8. Soit $\lambda$ une mesure positive sur $X/H$ .

Cite 4 · Cité par 3

Cite Proposition 8, Théorème 1, V § 3, Proposition 5, Proposition 6

Cité par Exercice 11, § 2, Corollaire, Remarque 3

a) Le couple $(\pi, h)$ est $\lambda^\#$ -adapté, et $\int_X h(x) \varepsilon_{\pi(x)} d\lambda^\#(x) = \lambda$ .

b) L’application $\pi$ est propre pour la mesure $h . \lambda^\#$ , et $\pi(h . \lambda^\#) = \lambda$ .

c) Soit $k$ une fonction sur $X/H$ , à valeurs dans un espace de Banach ou dans $\overline{\mathbf{R}}$ . Pour que $\mathbf{k}$ soit mesurable (resp. localement intégrable, essentiellement intégrable, intégrable) pour $\lambda$ , il faut et il suffit que $h . (\mathbf{k} \circ \pi)$ le soit pour $\lambda^*$ ; et, si $\mathbf{k}$ est essentiellement intégrable pour $\lambda$ , on a

\int_{X/H} \mathbf{k} d\lambda = \int_X h . (\mathbf{k} \circ \pi) d\lambda^*.

Soit $f \in \mathscr{K}(X/H)$ . Alors $h . (f \circ \pi) \in \mathscr{K}(X)$ et l’on a

\int_X h(x)f(\pi(x)) d\lambda^*(x) = \int_{X/H} f(\dot{x}) d\lambda(\dot{x}) \int_H h(x\xi) d\beta(\xi) = \int_{X/H} f(\dot{x}) d\lambda(\dot{x})

d’où a). L’assertion b) se démontre de même. Les assertions de c) concernant la mesurabilité, l’intégrabilité essentielle et la formule (14) s’obtiennent alors en appliquant les résultats du chap. V (§ 4, prop. 3, § 5, prop. 4, § 4, th. 2). Si $\mathbf{k}$ est $\lambda$ -intégrable, $h . (\mathbf{k} \circ \pi)$ est $\lambda^*$ -intégrable (chap. V, § 3, n° 4, th. 1). Si $h . (\mathbf{k} \circ \pi)$ est $\lambda^*$ -intégrable, la prop. 5 prouve que $(h . (\mathbf{k} \circ \pi))^b = h^b . \mathbf{k} = \mathbf{k}$ est $\lambda$ -intégrable. Si $\mathbf{k}$ est localement $\lambda$ -intégrable, $h . (\mathbf{k} \circ \pi)$ est localement $\lambda^*$ -intégrable (prop. 6). Enfin, supposons $h . (\mathbf{k} \circ \pi)$ localement $\lambda^*$ -intégrable; pour toute $f \in \mathscr{K}(X/H)$ , $h . (\mathbf{k} \circ \pi) . (f \circ \pi)$ est à support compact, et

|h . (\mathbf{k} \circ \pi) . (f \circ \pi)| \leq M |h . (\mathbf{k} \circ \pi)|

en posant $M = \sup |f|$ ; donc $h . ((\mathbf{k}f) \circ \pi)$ est $\lambda^*$ -intégrable, et par suite $\mathbf{k}f$ est $\lambda$ -intégrable d’après ce qu’on a déjà démontré; ceci prouve bien que $\mathbf{k}$ est localement $\lambda$ -intégrable.

Corollaire

L’application linéaire continue* $f \to f^b$ de $L^1(X, \lambda^*)$ dans $L^1(X/H, \lambda)$ définie par la prop. 5 est surjective.

Cite 3

Cite Proposition 5, Proposition 8, Proposition 9

Supposons d’abord $X/H$ paracompact et soit $h$ une fonction sur $X$ satisfaisant aux conditions de la prop. 8. Si $k$ est une fonction numérique essentiellement $\lambda$ -intégrable, $h . (k \circ \pi)$ est essentiellement $\lambda^*$ -intégrable, et évidemment $(h . (k \circ \pi))^b = k$ .

Dans le cas général, soit $u \in L^1(X/H, \lambda)$ . Il existe une fonction $f \in \mathscr{L}^1(X/H, \lambda)$ , de classe $u$ et nulle en dehors d’une réunion dénombrable d’ensembles compacts $K_n$ . Définissons par récurrence une suite d’ensembles ouverts relativement compacts $U_n$ de $X/H$ , tels que $U_{n+1} \supset K_n \cup \overline{U}_n$ , et soit $V$ la réunion des $U_n$ . Alors $V$ est une partie ouverte de $X/H$ , réunion dénombrable de parties compactes $\overline{U}_n$ , donc paracompacte (Top. gén., chap. I, 3e éd., § 9, no 10, th. 5). Posons $Y = \pi^{-1}(V)$ et soit $\lambda_V$ (resp. $\lambda_Y^\#$ ) la mesure induite par $\lambda$ (resp. $\lambda^\#$ ) sur $V$ (resp. $Y$ ). Il est clair que $Y/H$ s’identifie à $V$ (Top. gén., chap. I, 3e éd., § 3, prop. 10) et que $\lambda_Y^\#$ s’identifie à $(\lambda_V)^\#$ . De plus, $f$ est nulle en dehors de $V$ et appartient à $\mathscr{L}^1(V, \lambda_V)$ . Il existe donc $g \in \mathscr{L}^1(Y, \lambda_Y^\#)$ telle que $g^b = f$ presque partout sur $V$ . En prolongeant $g$ par 0 sur $X - Y$ , on obtient une fonction $g_1 \in \mathscr{L}^1(X, \lambda^\#)$ et il est clair que la classe de $g_1^b$ dans $L^1(X/H, \lambda)$ n’est autre que $u$ .

Remarque 3

Supposons $X/H$ paracompact et gardons les notations de la proposition 9. L’application $k \to h(k \circ \pi)$ de $L^1(X/H, \lambda)$ dans $L^1(X, \lambda^\#)$ est alors isométrique d’après (14) et est inverse à droite de l’application $f \to f^b$ de $L^1(X, \lambda^\#)$ sur $L^1(X/H, \lambda)$ .

Cite 1

Cite Proposition 9

5. Mesures quasi-invariantes sur un espace homogène.

Lemme 3

Soient $G$ un groupe localement compact, $\mu$ une mesure de Haar à gauche sur $G$ , $\nu$ et $\nu'$ deux mesures non nulles quasi-invariantes sur $G$ . Si, pour tout $s \in G$ , les densités de $\gamma(s)\nu$ par rapport à $\nu$ et de $\gamma(s)\nu'$ par rapport à $\nu'$ sont égales localement $\mu$ -presque partout, $\nu$ et $\nu'$ sont proportionnelles.

Cite 3 · Cité par 1

Cite Proposition 11, Corollaire 2, Proposition 13

Cité par Théorème 1

Ecrivons $\nu = \rho . \mu$ , $\nu' = \rho' . \mu$ où $\rho, \rho'$ sont des fonctions localement $\mu$ -intégrables sur $G$ et partout non nulles ( $§ 1$ , no 9, prop. 11). Pour tout $s \in G$ , on a

\gamma(s)\nu = (\gamma(s)\rho) . \mu, \qquad \gamma(s)\nu' = (\gamma(s)\rho') . \mu,

et l’hypothèse entraîne que $\rho^{-1} . \gamma(s)\rho = {\rho'}^{-1} . \gamma(s)\rho'$ localement $\mu$ -presque partout. Posons $\sigma = \rho'/\rho$ , qui est une fonction $\mu$ -mesurable sur $G$ . Pour tout $s \in G$ , on a $\gamma(s)\sigma = \sigma$ localement $\mu$ -presque partout. Donc $\sigma$ est égale à une constante localement μ-presque partout, d’après le cor. 2 de la prop. 6 appliqué avec X = H = G.

Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe fermé de G. Considérons l’espace homogène G/H des classes à gauche suivant H, sur lequel G opère continûment à gauche. Nous allons montrer qu’il existe une classe et une seule de mesures quasi-invariantes non nulles sur G/H.

Remarquons que H opère sur G continûment et proprement par translations à droite ; et l’espace quotient, qui n’est autre que G/H, est paracompact (Top. Gén., chap. III, 3e éd., § 4, no 6, prop. 13). On peut ainsi appliquer les résultats des nos 1 à 4, avec X = G. On a donc des applications $f \to f^b$ de $\mathscr{K}(G)$ sur $\mathscr{K}(G/H)$ , et $\lambda \to \lambda^\#$ de $\mathscr{M}(G/H)$ dans $\mathscr{M}(G)$ (une fois fixée une mesure de Haar à gauche $\beta$ dans H). Le fait que G opère à gauche dans G/H donne lieu à une propriété supplémentaire :

(15)\quad \gamma_{G/H}(s) \cdot f^b = (\gamma_G(s) \cdot f)^b \quad (s \in G,\ f \in \mathscr{K}(G))

(16)\quad (\gamma_{G/H}(s) \cdot \lambda)^\# = \gamma_G(s) \cdot \lambda^\# \quad (s \in G,\ \lambda \in \mathscr{M}(G/H)).

En effet, pour tout $x \in G$ , on a

(\gamma_{G/H}(s) \cdot f^b)(\pi(x)) = f^b(s^{-1}\pi(x)) = f^b(\pi(s^{-1}x))

= \int_H f(s^{-1}x\xi)d\beta(\xi) = \int_H (\gamma_G(s)f)(x\xi)d\beta(\xi) = (\gamma_G(s)f)^b(\pi(x))

d’où la formule (15), qui entraîne la formule (16).

Lemme 4

Soient $\lambda$ une mesure $\neq 0$ sur $G/H$ et $\mu$ une mesure de Haar à gauche sur $G$ . Les propriétés suivantes sont équivalentes :

Cite 3 · Cité par 1

Cite Proposition 6, Proposition 11, VII § 1, Corollaire 1

Cité par Théorème 1

a) $\lambda$ est quasi-invariante par $G$ ; b) pour qu’une partie $A$ de $G/H$ soit localement $\lambda$ -négligeable, il faut et il suffit que $\pi^{-1}(A)$ soit localement $\mu$ -négligeable ; c) la mesure $\lambda^\#$ est équivalente à $\mu$ .

Supposons qu’il en soit ainsi, et soit $\lambda^\# = \rho \cdot \mu$ , $\rho$ étant une fonction localement $\mu$ -intégrable partout non nulle. Alors, pour tout $s \in G$ , la densité $\theta_s$ de $\gamma_{G/H}(s)\lambda$ par rapport à $\lambda$ est telle que

\theta_s(\pi(x)) = \frac{\rho(s^{-1}x)}{\rho(x)}

localement $\mu$ -presque partout sur $G$ .

c) $\Rightarrow$ b) : cela résulte aussitôt de la prop. 6 a).

b) $\Rightarrow$ a) : si la propriété b) est vérifiée, l’ensemble des parties de $G/H$ localement $\lambda$ -négligeables est invariant par $G$ , donc $\lambda$ est quasi-invariante par $G$ .

a) $\Rightarrow$ c) : supposons $\lambda$ quasi-invariante par $G$ ; pour tout $s \in G$ , $\lambda$ et $\gamma_{G/H}(s)\lambda$ sont équivalentes, donc $\lambda^\#$ et

\gamma_G(s) \cdot \lambda^\# = (\gamma_{G/H}(s) \cdot \lambda)^\#

sont équivalentes (cor. 1 de la prop. 6) ; comme $\lambda^\# \neq 0$ , $\lambda^\#$ est équivalente à $\mu$ (§ 1, no 9, prop. 11).

En outre, pour tout $s \in G$ , on a

(\theta_s \circ \pi) \cdot \lambda^\# = (\theta_s \cdot \lambda)^\# = (\gamma_{G/H}(s)\lambda)^\# = \gamma_G(s)\lambda^\#

= (\gamma_G(s)\rho) \cdot \mu = \frac{\gamma_G(s)\rho}{\rho} \cdot \lambda^\#

d’où (17).

L’équivalence de a) et b) entraîne d’abord le résultat d’unicité déjà annoncé, et même un résultat plus précis :

Théorème 1

Soient $G$ un groupe localement compact, $H$ un sous-groupe fermé de $G$ .

Cite 2

Cite Lemme 3, Lemme 4

a) Deux mesures quasi-invariantes non nulles sur $G/H$ sont équivalentes ; les parties de $G/H$ localement négligeables pour ces mesures sont celles dont l’image réciproque dans $G$ sont localement négligeables pour une mesure de Haar.

b) Soient $\lambda, \lambda'$ deux mesures quasi-invariantes non nulles sur $G/H$ . Si, pour tout $s \in G$ , les densités de $\gamma_{G/H}(s)\lambda$ par rapport à $\lambda$ et de $\gamma_{G/H}(s)\lambda'$ par rapport à $\lambda'$ sont égales localement presque partout pour $\lambda$ (ou $\lambda'$ ), $\lambda$ et $\lambda'$ sont proportionnelles.

a) résulte aussitôt du lemme 4. Soient $\lambda$ et $\lambda'$ deux mesures quasi-invariantes non nulles vérifiant la condition de b). Alors, pour tout $s \in G$ , les densités de $\gamma_G(s)\lambda^\#$ par rapport à $\lambda^\#$ et de $\gamma_G(s)\lambda'^\#$ par rapport à $\lambda'^\#$ sont égales localement μ-presque partout, donc (lemme 3) $\lambda^\#$ et $\lambda'^\#$ sont proportionnelles, donc λ et λ' sont proportionnelles.

D'autre part, le lemme 4 ramène la recherche des mesures quasi-invariantes non nulles sur G/H à celle des mesures sur G équivalentes à la mesure de Haar et de la forme $\lambda^\#$ . On a à ce sujet le lemme suivant :

Lemme 5

Soient μ une mesure de Haar à gauche sur G, et ρ une fonction localement μ-intégrable. Pour que ρ.μ soit de la forme $\lambda^\#$ , il faut et il suffit que, pour tout ξ ∈ H, on ait

\rho(x\xi) = \frac{\Delta_H(\xi)}{\Delta_G(\xi)} \rho(x)

localement μ-presque partout sur G.

Cite 1

Cite Proposition 4

Dire que ρ.μ est de la forme $\lambda^\#$ revient à dire que, pour tout ξ ∈ H, on a δ(ξ)(ρ.μ) = Δ_H(ξ)ρ.μ (prop. 4). Or

\delta(\xi)(\rho.\mu) = (\delta(\xi)\rho) . (\delta(\xi)\mu) = \Delta_G(\xi)(\delta(\xi)\rho) . \mu,

d'où le lemme.

Nous pouvons maintenant établir le résultat d'existence annoncé, et même un résultat plus précis :

Théorème 2

Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe fermé de G, μ une mesure de Haar à gauche sur G, β une mesure de Haar à gauche sur H.

Cite 1 · Cité par 2

Cite Proposition 7

Cité par Remarque 2, Proposition 3

a) Il existe des fonctions ρ continues > 0 sur G telles que

\rho(x\xi) = \frac{\Delta_H(\xi)}{\Delta_G(\xi)} \rho(x) \text{ quels que soient } x \in G \text{ et } \xi \in H.

b) Etant donnée une telle fonction ρ, on peut former la mesure λ = (ρ.μ)/β sur G/H, et λ est une mesure positive non nulle quasi-invariante par G.

c) Pour s, x dans G, ρ(sx)/ρ(x) ne dépend que de s et π(x), donc définit une fonction χ continue > 0 sur G × (G/H) telle que

\chi(s, \pi(x)) = \frac{\rho(sx)}{\rho(x)}.

Alors on a

(20) $\gamma_{G/H}(s)\lambda = \chi(s^{-1}, .) \cdot \lambda$ pour tout $s \in G$ .

a) résulte de la prop. 7. b) résulte des lemmes 5 et 4. c) résulte de (17).

Remarque 1

On déduit de la remarque 1 du n° 3 que les mesures quasi-invariantes non nulles sur $G/H$ ne sont autres que les mesures pseudo-images par $\pi$ d'une mesure de Haar sur $G$ .

Remarque 2

Si $G$ est un groupe de Lie, nous verrons plus tard qu'on peut choisir la fonction $\rho$ du th. 2 indéfiniment différentiable.

Dans les conditions du th. 2, certains résultats des n°s 3 et 4 se spécialisent ainsi (compte tenu du chap. V, § 4, th. 2 et prop. 2 pour passer des propriétés relatives à $\mu$ aux propriétés relatives à $\rho \cdot \mu$ ):

a) Soit $f$ une fonction $\mu$ -mesurable sur $G$ , à valeurs dans un espace topologique, constante hors d'une réunion dénombrable d'ensembles $\mu$ -intégrables ; alors l'ensemble des $\dot{x} \in G/H$ tels que la fonction $\xi \to f(x\xi)$ ne soit pas $\beta$ -mesurable est localement $\lambda$ -négligeable.

b) Soit $f$ une fonction $\mu$ -mesurable $\geqslant 0$ sur $G$ , nulle hors d'une réunion dénombrable d'ensembles $\mu$ -intégrables. Alors la fonction $\dot{x} \to \int_H^* f(x\xi)d\beta(\xi)$ sur $G/H$ est $\lambda$ -mesurable et on a

\int_G^* f(x)\rho(x)d\mu(x) = \int_{G/H}^* d\lambda(\dot{x}) \int_H^* f(x\xi)d\beta(\xi) \quad (\dot{x} = \pi(x)).

c) Soit $\mathbf{f}$ une fonction $\mu$ -intégrable sur $G$ , à valeurs dans un espace de Banach ou dans $\overline{\mathbf{R}}$ . Alors l'ensemble des $\dot{x} \in G/H$ tels que $\xi \to \mathbf{f}(x\xi)$ ne soit pas $\beta$ -intégrable est $\lambda$ -négligeable ; la fonction $\dot{x} \to \int_H \mathbf{f}(x\xi)d\beta(\xi)$ est $\lambda$ -intégrable, et

\int_G \mathbf{f}(x)\rho(x)d\mu(x) = \int_{G/H} d\lambda(\dot{x}) \int_H \mathbf{f}(x)\xi d\beta(\xi).

d) Il existe sur $G$ une fonction continue $h \geqslant 0$ , dont le support a une intersection compacte avec le saturé KH de toute partie compacte K de G, et telle que $\int_{\mathbf{H}} h(x\xi)d\beta(\xi) = 1$ pour tout $x \in G$ . Pour qu'une fonction $g$ sur $G/H$ soit mesurable (resp. localement intégrable, essentiellement intégrable, intégrable) pour $\lambda$ , il faut et il suffit que $h . (g \circ \pi)$ le soit pour $\mu$ ; et, quand $g$ est essentiellement intégrable pour $\lambda$ , on a

\int_{G/H} g(u)d\lambda(u) = \int_G h(x)g(\pi(x))\rho(x)d\mu(x).

Cite 3

Cite Théorème 2, Proposition 2, V § 4, Théorème 2, V § 4

6. Mesures relativement invariantes sur un espace homogène.

Soient toujours G un groupe localement compact, H un sous-groupe fermé, $\beta$ une mesure de Haar à gauche sur H.

Lemme 6

Soient $\lambda$ une mesure sur $G/H$ , $\chi$ une représentation continue de G dans $\mathbf{C}^*$ . Les propriétés suivantes sont équivalentes :

Cite 1 · Cité par 2

Cite Corollaire 1, VII § 1

Cité par Proposition 13, Théorème 3

a) $\lambda$ est relativement invariante sur $G/H$ de multiplicateur $\chi$ ; b) $\lambda^*$ est relativement invariante sur G de multiplicateur à gauche $\chi$ ; c) $\lambda^*$ est de la forme $a\chi.\mu$ ( $a \in \mathbf{C}$ ).

La condition a) signifie que, pour tout $s \in G$ , on a

\gamma_{G/H}(s)\lambda = \chi(s)^{-1}\lambda ;

ceci équivaut à $(\gamma_{G/H}(s)\lambda)^* = \chi(s)^{-1}\lambda^*$ , c'est-à-dire à

\gamma_G(s)\lambda^* = \chi(s)^{-1}\lambda^* .

D'où l'équivalence de a) et b). L'équivalence de b) et c) résulte du § 1, no 8, cor. 1 de la prop. 10.

Théorème 3

Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe fermé de G, $\mu$ (resp. $\beta$ ) une mesure de Haar à gauche sur G (resp. H), $\chi$ une représentation continue de G dans $\mathbf{C}^*$ .

Cite 2 · Cité par 6

Cite Lemme 6, Proposition 4

Cité par § 2. Quotient d'un espace par un groupe ; espaces homogènes, Proposition 10, Corollary 2, VII § 2, Exercice 9, § 3, Exemple 8, VII § 3, VIII § 5. L’espace des sous-groupes fermés

a) Pour qu'il existe sur $G/H$ une mesure non nulle relativement invariante par G et de multiplicateur $\chi$ , il faut et il suffit que $\chi(\xi) = \Delta_H(\xi)/\Delta_G(\xi)$ pour tout $\xi \in H$ .

b) Cette mesure est alors unique à un facteur constant près ; plus précisément, elle est proportionnelle à $(\chi \cdot \mu)/\beta$ .

Pour qu’il existe sur $G/H$ une mesure non nulle relativement invariante par $G$ de multiplicateur $\chi$ , il faut et il suffit (lemme 6) que $\chi \cdot \mu$ soit de la forme $\lambda^*$ , donc (n° 2, prop. 4) que $\delta(\xi)(\chi \cdot \mu) = \Delta_H(\xi)(\chi \cdot \mu)$ pour tout $\xi \in H$ . Cette condition s’écrit aussi $\chi(\xi)\chi \cdot \Delta_G(\xi)\mu = \Delta_H(\xi)\chi \cdot \mu$ , c’est-à-dire

\chi(\xi) = \Delta_H(\xi)/\Delta_G(\xi),

pour tout $\xi \in H$ . D’où a). L’assertion b) résulte aussitôt du lemme 6 et du fait que l’application $\lambda \to \lambda^*$ est injective.

On verra au § 3 (n° 3, exemple 4) des exemples très simples où la représentation $\xi \to \Delta_H(\xi)/\Delta_G(\xi)$ ne se prolonge pas en une représentation continue de $G$ dans $\mathbf{C}^*$ . Dans ce cas, il n’existe donc aucune mesure complexe non nulle sur $G/H$ relativement invariante par $G$ .

Corollaire 1

Pour qu’il existe sur $G/H$ une mesure positive non nulle relativement invariante par $G$ , il faut et il suffit qu’il existe une représentation continue de $G$ dans $\mathbf{R}_+^*$ prolongeant la représentation $\xi \to \Delta_H(\xi)/\Delta_G(\xi)$ .

Cité par 1

Cité par Remarque, VII § 3

On notera que cette condition est remplie lorsque $H$ est unimodulaire.

Corollaire 2

Pour qu’il existe sur $G/H$ une mesure positive non nulle invariante par $G$ , il faut et il suffit que $\Delta_G$ coïncide avec $\Delta_H$ sur $H$ .

Cité par 1

Cité par Corollaire 3

Corollaire 3

On suppose que $H$ est unimodulaire et qu’il existe sur $G/H$ une mesure positive bornée non nulle $\nu$ relativement invariante par $G$ . Alors $\nu$ est invariante, et $G$ est unimodulaire.

Cite 3 · Cité par 1

Cite VII § 1. Construction d'une mesure de Haar, Proposition 2, VII § 1, Corollaire 2

Cité par Proposition 4, VIII § 5

Soit $\chi$ le multiplicateur de $\nu$ . Pour tout $s \in G$ , $\nu$ et $\gamma(s)\nu$ ont même masse totale finie (§ 1, n° 1, formule (6)) ; comme $\gamma(s)\nu = \chi(s)^{-1}\nu$ , on a $\chi(s) = 1$ . Donc $\nu$ est invariante. D’après le cor. 2, $\Delta_G(s) = 1$ pour tout $s \in H$ . Soit $G'$ l’ensemble des $t \in G$ tels que $\Delta_G(t) = 1$ . C’est un sous-groupe fermé distingué de $G$ contenant $H$ . Soit $\pi$ l’application canonique de $G/H$ sur

G/G'. Alors $\pi(v)$ est une mesure positive bornée non nulle invariante par G. Donc la mesure de Haar à gauche du groupe G/G, est bornée, de sorte que G/G' est compact ( $§ 1, \mathrm{n}^{\circ} 2, \mathrm{prop.}\ 2$ ). Par suite l'image de G par $\Delta_G$ est un sous-groupe compact de $\mathbf{R}_+^*$ ; ce sous-groupe est réduit à $\{1\}$ , donc $\Delta_G = 1$ sur tout G.

7. Mesure de Haar sur un groupe quotient.

Proposition 10

Soient G un groupe localement compact, G' un sous-groupe distingué fermé, G'' le groupe G/G', $\pi$ l'application canonique de G sur G/G', $\alpha, \alpha', \alpha''$ des mesures de Haar à gauche sur G, G', G''.

Cite 1 · Cité par 7

Cite Théorème 3

Cité par Corollaire, VII § 1, Exercice 13, § 2, Proposition 11, Proposition 14, Proposition 6, Lemme 7, VII § 3, Example 5, VII § 3

a) En multipliant au besoin $\alpha$ par un facteur constant, on a $\alpha'' = \alpha / \alpha'$ . En particulier, si $f \in \mathscr{K}(G)$ ,

\int_G f(x)d\alpha(x) = \int_{G''} d\alpha''(\dot{x}) \int_{G'} f(x\xi)d\alpha'(\xi) \qquad (\dot{x} = \pi(x)).

b) On a $\Delta_G(\xi) = \Delta_{G'}(\xi)$ pour tout $\xi \in G'$ ; en particulier, si G est unimodulaire, G' l'est aussi.

c) Le noyau de la représentation $\Delta_G$ de G dans $\mathbf{R}_+^*$ est le plus grand sous-groupe distingué fermé unimodulaire de G.

En appliquant le th. 3 du n° 6 avec $\chi = 1$ (et sachant qu'ici il existe une mesure sur G/G' invariante par G, à savoir $\alpha''$ ), on obtient a) et b); c) résulte aussitôt de b).

Proposition 11

On conserve les notations de la prop. 10. Soit u un automorphisme de G tel que $u(G') = G'$ . Soient $u'$ la restriction de u à G', et $u''$ l'automorphisme de G'' déduit de u par passage aux quotients. Alors

\operatorname{mod}_G(u) = \operatorname{mod}_{G'}(u') \operatorname{mod}_{G''}(u'').

Cite 1 · Cité par 2

Cite Proposition 10

Cité par Lemme 3, Corollaire

En effet, si $\alpha'' = \alpha / \alpha'$ , on a $u''(\alpha'') = u(\alpha) / u'(\alpha')$ , c'est-à-dire

\operatorname{mod}_{G''}(u'')^{-1} \alpha'' = \operatorname{mod}_G(u)^{-1} \alpha / \operatorname{mod}_{G'}(u')^{-1} \alpha' = \frac{\operatorname{mod}_{G'}(u')}{\operatorname{mod}_G(u)} (\alpha / \alpha')

= \frac{\operatorname{mod}_{G'}(u')}{\operatorname{mod}_G(u)} \alpha'',

d'où la proposition.

Corollaire

Pour tout $x \in G$ , on a

\Delta_G(x) = \Delta_{G/G'}(\dot{x}) \operatorname{mod}(i_x)

en désignant par $\dot{x}$ l’image canonique de $x$ dans $G/G'$ et par $i_x$ l’automorphisme $s \to x^{-1}sx$ de $G'$ .

Cite 2

Cite VII § 1. Construction d'une mesure de Haar, Proposition 11

Ceci résulte de la prop. 11, et de la formule (33) du § 1, no 4.

8. Une propriété de transitivité.

Soit $X$ un espace localement compact dans lequel un groupe localement compact $H$ opère à droite, continûment et proprement, par $(x, \xi) \to x\xi$ ( $x \in X, \xi \in H$ ). Soit $H'$ un sous-groupe fermé de $H$ ; alors $H'$ opère à droite, continûment et proprement, dans $X$ . Nous noterons $\pi, \pi', p$ les applications canoniques de $X$ sur $X/H$ , de $X$ sur $X/H'$ , et de $H$ sur $H/H'$ .

Soient $\beta, \beta'$ des mesures de Haar à gauche sur $H, H'$ ; on suppose que $\Delta_H$ et $\Delta_{H'}$ coïncident sur $H'$ ; on peut donc former la mesure $\beta/\beta'$ sur $H/H'$ , invariante à gauche par $H$ (no 6, th. 3). Soit d’autre part $\mu$ une mesure positive sur $X$ telle que

\delta(\xi)\mu = \Delta_H(\xi)\mu

pour $\xi \in H$ ; on peut donc former les mesures $\mu/\beta$ sur $X/H$ et $\mu/\beta'$ sur $X/H'$ (no 2, prop. 4). Nous allons écrire $\mu/\beta'$ comme l’intégrale, par rapport à $\mu/\beta$ , d’une famille de mesures sur $X/H'$ indexées par les points de $X/H$ . Lorsque $H' = \{e\}$ , on retrouvera la situation du no 3.

L’application $(x, \xi) \to \pi'(x\xi)$ de $X \times H$ dans $X/H'$ est continue; comme $\pi'(x\xi) = \pi'(x\xi\xi')$ pour tout $\xi' \in H'$ , cette application définit par passage au quotient une application continue de $X \times (H/H')$ dans $X/H'$ ; d’où, pour chaque $x$ fixé dans $X$ , une application partielle $\omega_x$ de $H/H'$ dans $X/H'$ , déduite par passage au quotient de l’application $\psi_x : \xi \to x\xi$ de $H$ dans $X$ . Notons que $\psi_{x\xi} = \psi_x \circ \gamma_H(\xi)$ , donc que $\omega_{x\xi} = \omega_x \circ \gamma_{H/H'}(\xi)$ pour tout $\xi \in H$ .

Lemme 7

Soient K une partie compacte de $X/H'$ , et L une partie compacte de $X$ . Alors* $\bigcup_{x \in L} \omega_x^{-1}(K)$ *est relativement compact dans $H/H'$ .

Cite 3

Cite Théorème 1, III § 4, Lemme 1, VII § 1, Théorème 2, V § 4

Soit $K_1$ une partie compacte de $X$ telle que $\pi'(K_1) = K$ . Soit $K_2$ l’ensemble des $\xi \in H$ tels que $L\xi$ rencontre $K_1$ . Alors $K_2$ est compact (Top. Gén., chap. III, 3e éd., § 4, no 5, th. 1).

Soit $\xi \in H$ tel que $p(\xi) \in \bigcup_{x \in L} \omega_x^{-1}(K)$ . Il existe donc un $x \in L$ tel que $\omega_x(p(\xi)) \in K$ , autrement dit tel que $\pi'(x\xi) \in K$ . Puisque $\pi'(K_1) = K$ , il existe $\xi' \in H'$ tel que $x\xi\xi' \in K_1$ . Alors $\xi\xi' \in K_2$ , donc $p(\xi) = p(\xi\xi') \in p(K_2)$ . On a ainsi montré que $\bigcup_{x \in L} \omega_x^{-1}(K) \subset p(K_2)$ .

Ce lemme montre d’abord que l’application $\omega_x$ est propre. On peut donc former la mesure $\omega_x(\beta/\beta')$ sur $X/H'$ , qui est concentrée sur $\omega_x(H/H') = \pi'(\psi_x(H)) = \pi'(xH)$ . Si $f \in \mathscr{K}(X/H')$ , le lemme 7, et le § 1, no 1, lemme 1 montrent que la fonction $x \to \langle f, \omega_x(\beta/\beta') \rangle$ est continue dans $X$ ; en outre, $\langle f, \omega_x(\beta/\beta') \rangle$ est nul quand Supp $f$ ne rencontre pas $\pi'(xH)$ , autrement dit quand $\pi(x)$ n’appartient pas à l’image canonique de Supp $f$ dans $X/H$ .

Par ailleurs, si $\xi \in H$ , on a

\omega_{x\xi}(\beta/\beta') = \omega_x(\gamma_{H/H'}(\xi)(\beta/\beta')) = \omega_x(\beta/\beta').

L’application $x \to \omega_x(\beta/\beta')$ de $X$ dans $\mathscr{M}(X/H')$ définit donc par passage au quotient une application $u \to (\beta/\beta')_u$ de $X/H$ dans $\mathscr{M}(X/H')$ . Ce qui précède montre que, pour toute $f \in \mathscr{K}(X/H')$ , l’application $u \to \langle f, (\beta/\beta')_u \rangle$ est continue à support compact. Par suite, l’application $u \to (\beta/\beta')_u$ est une famille vaguement continue et $(\mu/\beta)$ *-adéquate de mesures sur* $X/H'$ , l’ensemble d’indices étant $X/H$ .

Soient $x \in X$ , et $u = \pi(x) \in X/H$ . Soit $f$ une fonction sur $X/H'$ , à valeurs dans un espace de Banach ou dans $\overline{\mathbf{R}}$ . D’après le chap. V, § 4, th. 2, pour que $f$ soit $(\beta/\beta')_u$ -intégrable, il faut et il suffit que la fonction $p(\xi) \to f(\omega_x(p(\xi))) = f(\pi'(x\xi))$ sur $H/H'$ soit $(\beta/\beta')$ -intégrable, et l’on a alors

(21)\quad \int_{X/H'} f(u') d(\beta/\beta')_u(u') = \int_{H/H'} f(\pi'(x\xi)) d(\beta/\beta')(\dot{\xi}) \quad (\dot{\xi} = p(\xi)).

On a des propriétés analogues pour la mesurabilité, l’intégrale supérieure et l’intégrale essentielle.

Proposition 12. — On a

(22)\quad \int_{X/H} (\beta/\beta')_u d(\mu/\beta)(u) = \mu/\beta'.

Soit $f \in \mathscr{K}(X)$ , et soit $f^b \in \mathscr{K}(X/H')$ , définie par

f^b(\pi'(x)) = \int_{H'} f(x\xi') d\beta'(\xi').

Il suffit de prouver (cf. n° 2) que $f^b$ a même intégrale par rapport aux deux membres de (22). Or, $\langle \mu/\beta', f^b \rangle = \langle \mu, f \rangle$ . D’autre part,

\left\langle \int_{X/H} (\beta/\beta')_u d(\mu/\beta)(u), f^b \right\rangle = \int_{X/H} \langle (\beta/\beta')_u, f^b \rangle d(\mu/\beta)(u).

Or, soient $x \in X$ et $u = \pi(x)$ . On a

\langle (\beta/\beta')_u, f^b \rangle = \langle \omega_x(\beta/\beta'), f^b \rangle = \int_{H/H'} f^b(\omega_x(\dot{\xi})) d(\beta/\beta')(\dot{\xi})

= \int_{H/H'} f^b(\pi'(x\xi)) d(\beta/\beta')(\dot{\xi})

= \int_{H/H'} d(\beta/\beta')(\dot{\xi}) \int_{H'} f(x\xi\xi') d\beta'(\xi')

= \int_H f(x\xi) d\beta(\xi).

Donc

\left\langle \int_{X/H} (\beta/\beta')_u d(\mu/\beta)(u), f^\flat \right\rangle = \int_{X/H} d(\mu/\beta)(u) \int_H f(x\xi) d\beta(\xi) = \langle \mu, f \rangle

ce qui prouve la proposition.

Corollaire 1

a) Soit $\mathbf{f}$ une fonction sur $X/H'$ , à valeurs dans un espace de Banach ou dans $\overline{\mathbf{R}}$ , intégrable pour $\mu/\beta'$ . Il existe une partie $(\mu/\beta)$ -négligeable $N$ de $X/H$ ayant la propriété suivante : si $x \in X$ est tel que $\pi(x) \notin N$ , la fonction $\mathbf{f} \circ \omega_x$ sur $H/H'$ , c'est-à-dire la fonction $\dot{\xi} \to \mathbf{f}(\pi'(x\xi))$ , est intégrable pour $\beta/\beta'$ ; l'intégrale $\int_{H/H'} \mathbf{f}(\pi'(x\xi)) d(\beta/\beta')(\dot{\xi})$ ne dépend que de $\dot{x} = \pi(x)$ , et est une fonction $(\mu/\beta)$ -intégrable de $\dot{x}$ ; et l'on a

\int_{X/H'} \mathbf{f} d(\mu/\beta') = \int_{X/H} d(\mu/\beta)(\dot{x}) \int_{H/H'} \mathbf{f}(\pi'(x\xi)) d(\beta/\beta')(\dot{\xi}).

b) Soit $f$ une fonction $\geqslant 0$ sur $X/H'$ , mesurable pour $\mu/\beta'$ et nulle hors d'une réunion dénombrable d'ensembles $(\mu/\beta')$ -intégrables. Alors $\pi(x) \to \int_{H/H'}^* f(\pi'(x\xi)) d(\beta/\beta')(\dot{\xi})$ est $(\mu/\beta)$ -mesurable, et l'on a

\int_{X/H'}^* f d(\mu/\beta') = \int_{X/H}^* d(\mu/\beta)(\dot{x}) \int_{H/H'}^* f(\pi'(x\xi)) d(\beta/\beta')(\dot{\xi}).

c) Soit $\mathbf{f}$ une fonction sur $X/H'$ à valeurs dans un espace de Banach ou dans $\overline{\mathbf{R}}$ , mesurable pour $\mu/\beta'$ et nulle hors d'une réunion dénombrable d'ensembles $(\mu/\beta')$ -intégrables. Alors, pour que $\mathbf{f}$ soit $(\mu/\beta')$ -intégrable, il suffit que

\int_{X/H}^* d(\mu/\beta)(\dot{x}) \int_{H/H'}^* |\mathbf{f}(\pi'(x\xi))| d(\beta/\beta')(\dot{\xi}) < +\infty.

Corollaire 2

Soient $G$ un groupe localement compact, $A$ et $B$ des sous-groupes fermés de $G$ tels que $A \supset B$ . On suppose qu'il existe, sur l'espace homogène $G/B$ des classes à gauche suivant $B$ , une mesure positive non nulle $\alpha$ invariante par $G$ et bornée.

a) L’image canonique de $\alpha$ dans $G/A$ est une mesure positive non nulle, invariante par $G$ , et bornée.

b) $\Delta_G$ coïncide avec $\Delta_A$ sur $A$ et avec $\Delta_B$ sur $B$ .

c) Il existe, sur l’espace homogène $A/B$ des classes à gauche de $A$ suivant $B$ , une mesure positive non nulle invariante par $A$ et bornée.

L’assertion a) est immédiate. L’assertion b) résulte de a) et du no 6, cor. 2 du th. 3. D’après b), $\Delta_A$ coïncide avec $\Delta_B$ sur $B$ , et on peut donc appliquer les résultats du présent numéro en y faisant $X = G, H = A, H' = B$ . La fonction 1 sur $G/B$ est $\alpha$ -intégrable. D’après le a) du cor. 1, la fonction 1 sur $A/B$ est intégrable pour $\beta/\beta', \beta$ et $\beta'$ désignant des mesures de Haar à gauche de $A$ et $B$ ; donc $\beta/\beta'$ est bornée.

9. Construction de la mesure de Haar d’un groupe à partir des mesures de Haar de certains sous-groupes.

Soient $G$ un groupe localement compact, $X$ et $Y$ deux sous-groupes fermés de $G$ tels que $\Omega = XY$ contienne un voisinage $U$ de $e$ . Alors $\Omega$ est ouvert dans $G$ ; car, quels que soient $x_0 \in X$ et $y_0 \in Y$ , on a $XY = (x_0X)(Yy_0) \supset x_0Uy_0$ , et $x_0Uy_0$ est un voisinage de $x_0y_0$ ; donc $\Omega$ est un voisinage de chacun de ses points.

Lorsque $G$ est un groupe de Lie d’algèbre de Lie $g$ , la condition imposée à $X$ et $Y$ est satisfaite si les sous-algèbres correspondant à $X$ et $Y$ ont pour somme $g$ .

Le groupe $X \times Y$ opère continûment à gauche dans $G$ par la loi $(x, y).s = xsy^{-1}$ ( $x \in X, y \in Y, s \in G$ ). Soit $Z = X \cap Y$ . Le stabilisateur de $e$ dans $X \times Y$ est le sous-groupe $Z_0$ de $X \times Y$ formé des couples $(z, z)$ , où $z \in Z$ , sous-groupe qui est canoniquement isomorphe à $Z$ . Donc l’ensemble $\Omega$ s’identifie à l’espace homogène des classes à gauche $(X \times Y)/Z_0$ ; plus précisément, l’application $(x, y) \to xy^{-1}$ de $X \times Y$ sur $\Omega$ définit par passage au quotient une bijection continue de $(X \times Y)/Z_0$ sur $\Omega$ . Nous supposerons que cette application est un homéo-morphisme. (Il en est ainsi notamment si G est dénombrable à l'infini : cf. App. 1).

Proposition 13

Supposons en outre Z compact. Soient $\mu_G, \mu_X, \mu_Y$ des mesures de Haar à gauche sur G, X, Y, et $\Lambda$ la restriction de $\Delta_G$ à Y. Alors la restriction $\mu$ de $\mu_G$ à $\Omega$ est, à un facteur constant près, l'image de $\mu_X \otimes (\Lambda^{-1} \cdot \mu_Y)$ par l'application $(x, y) \to xy^{-1}$ de $X \times Y$ sur $\Omega$ (application qui est propre). Pour $x \in X, \ y \in Y$ , on a

\gamma((x, y))\mu = \delta(y)\gamma(x)\mu = \Delta_G(y)\mu.

Identifiant

\Omega

à l'espace homogène

(X \times Y)/Z_0

et choisissant une mesure de Haar convenable sur

Z_0

, on voit que

\mu^\#

est le produit de la mesure de Haar à gauche de

X \times Y

, à savoir

\mu_X \otimes \mu_Y

, par la fonction

(x, y) \to \Delta_G(y)^{-1}

(n° 6, lemme 6). D'autre part,

\mu

est, à un facteur constant près, l'image de

\mu^\#

par l'application canonique de

X \times Y

sur

\Omega

(n° 3, Remarque 2).

Cite 2 · Cité par 5

Cite Lemme 6, Remarque 2

Cité par Lemme 3, Corollaire, Proposition 14, Lemme 7, VII § 3, Proposition 7, VII § 3

Corollaire

Soit $f$ une fonction définie dans $\Omega$ , à valeurs dans un espace de Banach ou dans $\overline{\mathbf{R}}$ . Pour que $f$ soit $\mu$ -intégrable, il faut et il suffit que la fonction $(x, y) \to f(xy)\Delta_G(y)\Delta_Y(y)^{-1}$ soit $(\mu_X \otimes \mu_Y)$ -intégrable ; on a alors

(23) \quad \int_{\Omega} f(\omega)d\mu(\omega) = a \iint_{X \times Y} f(xy)\Delta_G(y)\Delta_Y(y)^{-1}d\mu_X(x)d\mu_Y(y),

où

a

est une constante

> 0

indépendante de

f

. D'après la prop. 13, et le chap. V, § 4, n° 4, th. 2, pour que

f

soit

\mu

-intégrable, il faut et il suffit que la fonction

(x, y) \to f(xy^{-1})

soit intégrable pour

\mu_X \otimes (\Lambda^{-1} \cdot \mu_Y)

, ou encore que la fonction

(x, y) \to f(xy^{-1})\Delta_G(y)^{-1}

soit intégrable pour

\mu_X \otimes \mu_Y

, ou encore que la fonction

(x, y) \to f(xy)\Delta_G(y)\Delta_Y(y)^{-1}

soit intégrable pour

\mu_X \otimes \mu_Y

. La formule (23) résulte d'un raisonnement analogue.

Cite 2

Cite Théorème 2, V § 4, Proposition 13

Proposition 14

Supposons que les conditions de la prop. 13 soient remplies et en outre que Y soit distingué. a) La restriction de $\mu_G$ à $\Omega$ est, à un facteur constant près, l'image de $\mu_X \otimes \mu_Y$ par l'application $(x, y) \to xy$ de $X \times Y$ sur $\Omega$ .

Cite 2 · Cité par 3

Cite Proposition 13, Proposition 10

Cité par Remarque, Lemma 5, VII § 3, Exemple 4, VII § 3

b) On a, pour $x \in X$ et $y \in Y$ ,

\Delta_G(xy) = \Delta_X(x)\Delta_Y(y)\mathrm{mod}\,(i_x)

en désignant par $i_x$ l’automorphisme $v \to x^{-1}vx$ de $Y$ .

On a $\Delta_G = \Delta_Y$ sur $Y$ (prop. 10 b)), donc a) résulte de (23). Soient $x_0 \in X,\ y_0 \in Y$ . Notons $p$ l’application $(x, y) \to xy$ de $X \times Y$ sur $\Omega$ . Comme

xy(x_0y_0)^{-1} = xx_0^{-1}(x_0yy_0^{-1}x_0^{-1}) = xx_0^{-1}i_{x_0^{-1}}(yy_0^{-1}),

on a

\Delta_G(x_0y_0)p(\mu_X \otimes \mu_Y) = \delta(x_0y_0)p(\mu_X \otimes \mu_Y)

= p(\delta(x_0)\mu_X \otimes i_{x_0^{-1}}\delta(y_0)\mu_Y) = p(\Delta_X(x_0)\mu_X \otimes \Delta_Y(y_0)(\mathrm{mod}\, i_{x_0})\mu_Y)

= \Delta_X(x_0)\Delta_Y(y_0)(\mathrm{mod}\, i_{x_0})p(\mu_X \otimes \mu_Y)

d’où b).

Remarque

La prop. 14 s’applique en particulier quand G est produit semi-direct topologique de X par Y (Top. Gén., chap. III, 3e éd., § 2, n° 10). Dans ce cas, $Z = \{e\}$ et $\Omega = G$ . Comme $yx = xi_x(y)$ pour $x \in X,\ y \in Y$ , $\mu_G$ est aussi, à un facteur constant près, l’image de $(\mathrm{mod}\, i_x)\mu_X \otimes \mu_Y$ par l’application $(x, y) \to yx$ de $X \times Y$ dans G.

Cite 2

Cite III § 2. Support d'une mesure, Proposition 14

10. Intégration dans un domaine fondamental.

Soient X un espace localement compact, H un groupe discret opérant à droite continûment et proprement dans X. Soit $\pi$ l’application canonique de X sur X/H. Pour tout $x \in X$ , on notera $H_x$ le stabilisateur de $x$ dans H ; c’est un sous-groupe fini de H (Top. gén., chap. III, 3e éd., § 4, n° 2, prop. 4) ; on notera $n(x)$ son ordre. Pour tout $s \in H$ , on a $H_{xs} = s^{-1}H_x s$ , donc $n(xs) = n(x)$ . Il existe un voisinage ouvert U de $x$ tel que $U \cap Us = \varnothing$ pour $s \notin H_x$ (loc. cit., n° 4, démonstration de la prop. 8) ; pour $y \in U$ , on a $H_y \subset H_x$ ; donc la fonction $n$ sur X est semi-continue supérieurement. Lorsque X est dénombrable à l’infini, H est dénombrable ; en effet, soit $(K_1, K_2, \ldots)$ un recouvrement de X par une suite de parties compactes, et soit x_0 \in X ; l'ensemble des s \in H tels que sx_0 \in K_i est fini (loc. cit., n° 5, th. 1), d'où notre assertion.

Définition 2

Soit F \subset X. On dit que F est un domaine fondamental (pour H) si la restriction de \pi à F est une bijection de F sur X/H (autrement dit si F est un système de représentants pour la relation d'équivalence définie par H).

Lemme 8

Soit F un domaine fondamental. Pour tout x \in X, on a

\sum_{s \in H} \varphi_{F_s}(x) = n(x).

Cité par 3

Cité par Proposition 15, Théorème 4, Lemme 7, VII § 3

Comme \varphi_{F_s}(xt) = \varphi_{F_{st^{-1}}}(x) quels que soient s et t dans H, les deux membres de (24) restent invariants quand on remplace x par xt. On peut donc supposer que x \in F. Alors on a les équivalences

\varphi_{F_s}(x) = 1 \Leftrightarrow x \in Fs \Leftrightarrow xs^{-1} \in F \Leftrightarrow xs^{-1} = x \Leftrightarrow s \in H_x

d'où (24).

Proposition 15

On suppose X dénombrable à l'infini. Soit \mu une mesure \geqslant 0 sur X. Soit F un domaine fondamental tel que Fs soit \mu-mesurable pour tout s \in H. Soit f une fonction \mu-intégrable sur X, à valeurs dans un espace de Banach ou dans \mathbf{R}. Alors la famille des \int_{Fs} n(x)^{-1}f(x)d\mu(x) (s \in H) est sommable, et l'on a

\int_X f(x)d\mu(x) = \sum_{s \in H} \int_{Fs} n(x)^{-1}f(x)d\mu(x).

Cite 2 · Cité par 1

Cite Théorème 2, IV § 4, Lemme 8

Cité par Exercice 28, § 1

Si A est une partie finie de H, on a

\left| \sum_{s \in A} n^{-1}f \varphi_{F_s} \right| \leq n^{-1} |f| \sum_{s \in A} \varphi_{F_s} \leq |f|

d'après le lemme 8. Le lemme 8 prouve aussi que \sum_{s \in A} n^{-1}f \varphi_{F_s} converge simplement vers f suivant l'ensemble filtrant croissant

Théorème 4

Soient X un espace localement compact dénombrable à l'infini, H un groupe discret opérant à droite continûment et proprement dans X, π l'application canonique de X sur X/H, μ une mesure positive sur X invariante par H, β la mesure de Haar normalisée de H, et λ = μ/β. Soit F un domaine fondamental μ-mesurable.

Cite 4 · Cité par 2

Cite Proposition 5, Lemme 8, Proposition 3, V § 4, Théorème 2, V § 4

Cité par Corollaire, Exemple, VIII § 5

a) Le couple (π, n^{-1}φ_F) est μ-adapté, et

\int_X n(x)^{-1} \varphi_F(x) \varepsilon_{\pi(x)} d\mu(x) = \lambda.

b) L'application π est propre pour n^{-1}φ_F · μ, et π(n^{-1}φ_F · μ) = λ.

c) Soit k une fonction sur X/H. Pour que k soit λ-mesurable (resp. λ-intégrable), il faut et il suffit que n^{-1}φ_F(k ∘ π) soit μ-mesurable (resp. μ-intégrable); et, si k est λ-intégrable, on a

\int_{X/H} k d\lambda = \int_F n^{-1}(k \circ \pi) d\mu.

On a μ = λ#. Soit f ∈ $\mathscr{K}_+$ (X/H). Alors n^{-1}φ_F(f ∘ π) est μ-mesurable ≥ 0, et l'on a d'après la prop. 5 b) du no 3

\int_X^* n(x)^{-1} \varphi_F(x)f(\pi(x)) d\mu(x) = \int_{X/H}^* f(\dot{x}) d\lambda(\dot{x}) \int_H^* n(x\xi)^{-1} \varphi_F(x\xi) d\beta(\xi)

et $\int_H^* n(x\xi)^{-1} \varphi_F(x\xi) d\beta(\xi) = n(x)^{-1} \sum_{\xi \in H} \varphi_F(x\xi) = 1$ d'après le lemme 8. Donc $n^{-1}\varphi_F.(f \circ \pi)$ est μ-intégrable et

\int_X n(x)^{-1} \varphi_F(x)f(\pi(x)) d\mu(x) = \int_{X/H} f(\dot{x}) d\lambda(\dot{x})

Ceci prouve a). L'assertion b) se démontre de même. L'assertion c) se déduit de b) et du chap. V, § 4, prop. 3 et th. 2.

Corollaire

On conserve les hypothèses et les notations du th. 4. Soit F' un second domaine fondamental μ-mesurable.

Cite 1

Cite Théorème 4

Soit $u$ une fonction sur $X$ , à valeurs dans un espace de Banach ou dans $\overline{\mathbf{R}}$ , invariante par $H$ . On suppose que $u$ est $\mu$ -intégrable dans $F$ . Alors, $u$ est $\mu$ -intégrable dans $F'$ , et

\int_F u(x)d\mu(x) = \int_{F'} u(x)d\mu(x).

Comme $u$ et $n$ sont invariantes par $H$ , il existe une fonction $v$ sur $X/H$ telle que $v \circ \pi$ coïncide avec $nu$ sur $F$ et sur $F'$ . Alors $n^{-1}\varphi_F(v \circ \pi) = \varphi_F u$ , $n^{-1}\varphi_{F'}(v \circ \pi) = \varphi_{F'} u$ . D’après l’hypothèse $n^{-1}\varphi_F(v \circ \pi)$ est $\mu$ -intégrable. D’après le th. 4, $v$ est $\lambda$ -intégrable, $\varphi_{F'} u$ est $\mu$ -intégrable, et l’on a

\int_F u d\mu = \int_{X/H} v d\lambda = \int_{F'} u d\mu.

Pour l’existence de domaines fondamentaux $\mu$ -mesurables, cf. exerc. 13.

Exercices

See the exercises for § 2.