Exercice 13, § 2

Soient G un groupe compact, $\mu$ une mesure de Haar sur G, $u$ un endomorphisme de G tel que $u(G)$ soit un sous-groupe ouvert de G et le noyau $u^{-1}(e)$ (noté $G_u$) un sous-groupe fini de G.

a) Montrer qu’il existe un nombre réel $h(u) > 0$ et un voisinage ouvert U de e dans G tel que, pour tout ouvert $V \subset U$, $u(V)$ soit ouvert dans G et $\mu(u(V)) = h(u) \mu(V)$ (cf. § 1, no 7, cor. de la prop. 9).

b) Montrer que l’on a $h(u) = \mathrm{Card}(G/u(G))/\mathrm{Card}(G_u)$ (calculer de deux manières $\mu(u(G))$ en utilisant a) et la prop. 10 du no 7).