Bài tập 13, § 2

Cho $G$ là một nhóm compact, $\mu$ là một độ đo Haar trên $G$, $u$ là một tự đồng cấu của $G$ sao cho $u(G)$ là một nhóm con mở của $G$ và hạt nhân $\overline{u}(e)$ (được ký hiệu là $G_u$) là một nhóm con hữu hạn của $G$.

a) Chứng minh rằng tồn tại một số thực $h(u) > 0$ và một lân cận mở U của e trong G sao cho, với mọi tập mở $V \subset U$, $u(V)$ là mở trong G và $\mu(u(V)) = h(u)\mu(V)$ (xem §1, No. 7, Hệ quả của Mệnh đề 9).

b) Chứng minh rằng $h(u) = \mathrm{Card}(G/u(G))/\mathrm{Card}(G_u)$ (tính $\mu(u(G))$ theo hai cách, sử dụng a) và Mệnh đề 10 của No. 7).