a) Với mọi $x \in X$, hàm $\xi \mapsto f(x\xi)$ trên H thuộc $\mathscr{K}(H)$; ta đặt

b) Hàm $f^\chi$ là liên tục, bằng không ngoài SH, và thỏa mãn $f^\chi(x\xi) = \chi(\xi)f^\chi(x)$.

c) Nếu g là một hàm liên tục nhận giá trị thực trên X và thỏa mãn $g(x\xi) = \chi(\xi)g(x)$, thì $(fg)^\chi = f^1g$ ($f^1$ được cho bởi công thức (1) với $\chi$ được thay bởi biểu diễn $\xi \mapsto 1$ của H trong $\mathbf{R}_+^*$).

d) Nếu $\eta \in \mathbf{H}$, thì $(\delta(\eta)f)^{\chi} = \chi(\eta)\Delta_{\mathbf{H}}(\eta)^{-1}f^{\chi}$.

Cho $x_0 \in X$ và cho $V$ là một lân cận compact của $x_0$ trong X. Tập hợp các $\xi \in \mathbf{H}$ sao cho $V\xi$ giao với S cũng chính là tập hợp các $\xi \in \mathbf{H}$ sao cho $V\xi$ giao với $S \cap VH$, do đó compact trong $\mathbf{H}$ vì $S \cap VH$ là compact và $\mathbf{H}$ tác động chính quy trong X (GT, III, §4, No. 5, Th. 1); khi đó Bổ đề 1 của §1, No. 1 chứng minh a) và tính liên tục của $f^{\chi}$. Phần còn lại của b) hiển nhiên. Cuối cùng, c) và d) suy ra từ các phép tính sau:

Tính tuyến tính là hiển nhiên. Rõ ràng là $f^{\chi} \geqslant 0$ nếu $f \geqslant 0$. Khi đó chỉ cần áp dụng bổ đề sau:

Cho I là một dạng tuyến tính tương đối bị chặn (Ch. II, §2, No. 2) trên $\mathscr{K}^{\chi}(X)$. Khi đó $f \mapsto I(f^{\chi})$ là một dạng tuyến tính tương đối bị chặn trên $\mathscr{K}(X)$, tức là một độ đo $\mu_{I}$ trên $X$. Ánh xạ $I \mapsto \mu_{I}$ là đơn ánh theo Mệnh đề 2. Các độ đo $\mu_{I}$ trên $X$ thu được như vậy có thể đặc trưng như sau:

a) Tồn tại một dạng tuyến tính tương đối bị chặn I trên $\mathscr{K}^\chi(X)$ sao cho $I(f^\chi) = \mu(f)$ với mọi $f \in \mathscr{K}(X)$. b) $\delta(\xi)\mu = \chi(\xi)^{-1} \Delta_H(\xi)\mu$ với mọi $\xi \in H$. c) Với mọi $f, g$ trong $\mathscr{K}(X)$,

(2)

d) Nếu $f \in \mathscr{K}(X)$ sao cho $f^\chi = 0$, thì $\mu(f) = 0$.

a) $\Rightarrow$ b): Nếu $\mu(f) = I(f^\chi)$ thì, xét đến Mệnh đề 1 d),

do đó $\delta(\xi)\mu = \chi(\xi)^{-1} \Delta_H(\xi)\mu$.

b) $\Rightarrow$ c): Giả sử giả thiết b) được thỏa mãn. Chú ý rằng các hàm $(x, \xi) \mapsto f(x)g(x\xi)$ và $(x, \xi) \mapsto f(x\xi)g(x)$ trên $X \times H$ là liên tục và có giá compact (vì $H$ tác động đúng trên $X$); điều này đã được thiết lập, Định lý 2 của Ch. III, §4, No. 1 cho phép ta viết:

điều này chứng minh c).

c) $\Rightarrow$ d): Nếu c) được kiểm chứng và nếu $f^\chi = 0$, thì $\mu(f \cdot g^1) = 0$ với mọi $g \in \mathscr{K}(X)$, do đó $\mu(f) = 0$ bằng cách chọn $g \in \mathscr{K}(X)$ sao cho $g^1 = 1$ trên $\mathrm{Supp}\, f$ (điều này có thể thực hiện được nhờ Mệnh đề 2 áp dụng với $\chi = 1$).

d) $\Rightarrow$ a): Nếu điều kiện d) được thỏa mãn, tồn tại một dạng tuyến tính I trên $\mathscr{K}^\chi(X)$ sao cho $\mu(f) = I(f^\chi)$ với $f \in \mathscr{K}(X)$, và dạng này bị chặn tương đối nhờ Mệnh đề 2.

b) Ngược lại, cho $\mu$ là một độ đo trên $X$ sao cho $\delta(\xi)\mu = \Delta_H(\xi)\mu$ với mọi $\xi \in H$. Tồn tại duy nhất một độ đo $\lambda$ trên $X/H$ sao cho $\mu = \lambda^\#$.

Đây là trường hợp riêng của No. 1, Mệnh đề 3.

a) Nếu $f$ là một hàm số thực $\geq 0$ thì, với $x \in X$,

b) Để $f$ khả đo được theo $\beta_{\dot{x}}$, cần và đủ là hàm $\xi \mapsto f(x\xi)$ trên H khả đo được theo $\beta$.

c) Giả sử rằng $f$ là một hàm trên X, nhận giá trị trong một không gian Banach hoặc trong $\overline{\mathbf{R}}$; khi đó, để $f$ tích phân được theo $\beta_{\dot{x}}$ (tương ứng gần như tích phân được theo $\beta_{\dot{x}}$), cần và đủ là hàm $\xi \mapsto f(x\xi)$ trên H tích phân được theo $\beta$ (tương ứng gần như tích phân được theo $\beta$), trong trường hợp đó $\int_X f(y)\, d\beta_{\dot{x}}(y) = \int_H f(x\xi)\, d\beta(\xi)$.

Điều này suy ra từ Ch. V, §4, Mệnh đề 2, Mệnh đề 3 và Định lý 2.

Vì $f^\flat \in \mathscr{K}(X/H)$ đối với $f \in \mathscr{K}(X)$, công thức (8) chứng minh rằng ánh xạ $u \mapsto \beta_u$ từ $X/H$ vào $\mathscr{M}(X)$ là liên tục yếu, rằng họ $(\beta_u)$ là $\lambda$-thích hợp$^1$ đối với mọi độ đo dương $\lambda$ trên $X/H$, và rằng

điều đó đem lại một cách diễn giải mới cho $\lambda^\#$.

$^1$ Theo nghĩa của lần xuất bản thứ nhất của Ch. V, do đó a fortiori theo nghĩa của lần thứ hai (cf. chú thích cho Ví dụ của Ch. VI, §1, No. 1).

a) Cho $f$ là một hàm khả đo được theo $\lambda^\#$ trên $X$, nhận giá trị trong một không gian tôpô, hằng ngoài một hợp đếm được các tập hợp khả tích theo $\lambda^\#$. Khi đó, tập hợp các $\dot{x} \in X/H$ sao cho hàm $\xi \mapsto f(x\xi)$ không khả đo được theo $\beta$ là địa phương không đáng kể theo $\lambda$.

b) Cho $f$ là một hàm khả đo được theo $\lambda^\#$, $\geq 0$, trên X, bằng không ngoài một hợp đếm được các tập hợp khả tích theo $\lambda^\#$. Khi đó, hàm $\dot{x} \mapsto \int^* f(x\xi) d\beta(\xi)$ trên $X/H$ là khả đo được theo $\lambda$, và

c) Cho $f$ là một hàm $\lambda^\#$-khả tích trên $X$, nhận giá trị trong một không gian Banach hoặc trong $\overline{\mathbf{R}}$. Khi đó, tập hợp các $\dot{x} \in X/H$ sao cho $\xi \mapsto f(x\xi)$ không $\beta$-khả tích là $\lambda$-bỏ qua được; hàm $f^b$ trên $X/H$ được xác định gần như mọi nơi bởi công thức

là $\lambda$-khả tích, và

và

d) Cho $f$ là một hàm $\lambda^\#$-khả đo trên $X$, nhận giá trị trong một không gian Banach hoặc trong $\overline{\mathbf{R}}$, và bằng không ngoài một hợp đếm được các tập $\lambda^\#$-khả tích. Khi đó, để $f$ là $\lambda^\#$-khả tích, điều kiện cần và đủ là

Xét đến Bổ đề 2, các khẳng định a), b) và c) suy ra từ Ch. V, §3, Mệnh đề 4, Mệnh đề 5 và Định lý 1 (trừ (13), điều này suy ra từ (12) vì hiển nhiên là $|f^b| \leq |f|^b$); d) suy ra từ b).

a) Cho $N$ là một tập con của $X/H$. Để $N$ là địa phương $\lambda$-bỏ qua được, điều kiện cần và đủ là $\pi^{-1}(N)$ là địa phương $\lambda^\#$-bỏ qua được.

b) Cho g là một hàm trên X/H, nhận giá trị trong một không gian tôpô. Để g là $\lambda$-khả đo, điều kiện cần và đủ là $g \circ \pi$ là $\lambda^\#$-khả đo.

c) Cho h là một hàm trên X/H, nhận giá trị trong một không gian Banach hoặc trong $\overline{\mathbf{R}}$. Để h là địa phương $\lambda$-khả tích, điều kiện cần và đủ là $h \circ \pi$ là địa phương $\lambda^\#$-khả tích, trong trường hợp đó $(h \cdot \lambda)^\# = (h \circ \pi) \cdot \lambda^\#$.

Giả sử $h \circ \pi$ là địa phương $\lambda^\#$-khả tích. Với mọi $f \in \mathscr{K}(X)$, $f \cdot (h \circ \pi)$ là $\lambda^\#$-khả tích, do đó (Mệnh đề 5) hàm $(f \cdot (h \circ \pi))^b = f^b \cdot h$ là $\lambda$-khả tích và

Vì $f \mapsto f^b$ là một ánh xạ toàn ánh từ $\mathscr{K}(X)$ lên $\mathscr{K}(X/H)$, điều này cho thấy rằng h là địa phương $\lambda$-khả tích và rằng

Đặc biệt, nếu $\pi^{-1}(N)$ là địa phương $\lambda^\#$-không đáng kể, thì $\varphi_N \circ \pi$ là địa phương $\lambda^\#$-không đáng kể, do đó $(\varphi_N \cdot \lambda)^\# = (\varphi_N \circ \pi) \cdot \lambda^\# = 0$, suy ra $\varphi_N \cdot \lambda = 0$ và N là địa phương $\lambda$-không đáng kể. Giả sử bây giờ rằng $g \circ \pi$ là $\lambda^\#$-đo được. Cho K' là một tập con compact của X/H. Cho $f \in \mathscr{K}_+(X)$ sao cho $f^b = 1$ trên K' (No. 1, Mệnh đề 2), và đặt $K = \operatorname{Supp} f$; ta có $\pi(K) \supset K'$. Tồn tại một phân hoạch của K gồm một tập $\lambda^\#$-không đáng kể M và một dãy $(K_n)$ các tập compact sao cho $(g \circ \pi)|K_n$ liên tục với mọi n. Khi đó $g|_{\pi(K_n)}$ liên tục. Đặt P là tập các điểm của K' không thuộc $\pi(K_1) \cup \pi(K_2) \cup \ldots$; khi đó $\pi^{-1}(P) \cap K$ được chứa trong M, nên là $\lambda^\#$-không đáng kể; do đó $f \cdot \varphi_{\pi^{-1}(P)}$ là $\lambda^\#$-không đáng kể; suy ra (Mệnh đề 5)

do đó P là $\lambda$-không đáng kể, và g là $\lambda$-đo được.

Nếu N là địa phương $\lambda$-không đáng kể, thì $\pi^{-1}(N)$ là địa phương $\lambda^\#$-không đáng kể (Chương V, §6, No. 6, Hệ quả 1 của Mệnh đề 10). Nếu g là $\lambda$-đo được, thì $g \circ \pi$ là $\lambda^\#$-đo được (ibid.). Cuối cùng, giả sử h là địa phương $\lambda$-khả tích. Khi đó ta đã biết rằng $h \circ \pi$ là $\lambda^\#$-đo được. Với mọi $f \in \mathscr{K}_+(X)$, theo Mệnh đề 5,

do đó $h \circ \pi$ là địa phương $\lambda^\#$-khả tích.

Mệnh đề đầu suy ra từ Mệnh đề 6, a) và c). Mệnh đề thứ hai suy ra từ mệnh đề đầu.

Thay $f$ bằng $f/(1+|f|)$, ta quy về trường hợp $f$ bị chặn, do đó khả tích địa phương theo $\lambda^\#$. Đặt $\mu = f \cdot \lambda^\#$. Giả thiết về $f$ suy ra rằng $\delta(\xi)\mu = f \cdot \delta(\xi)\lambda^\# = \Delta_H(\xi)\mu$ với mọi $\xi \in H$. Khi đó tồn tại (Mệnh đề 4) một độ đo $\lambda'$ trên $X/H$ sao cho $\mu = {\lambda'}^\#$. Theo Hệ quả 1, tồn tại một hàm khả tích địa phương theo $\lambda$ $g$ trên $X/H$ sao cho $\lambda' = g \cdot \lambda$. Theo Mệnh đề 6, $f \cdot \lambda^\# = {\lambda'}^\# = (g \circ \pi) \cdot \lambda^\#$, do đó $f = g \circ \pi$ địa phương $\lambda^\#$-hầu khắp nơi.

c) Cho $\lambda$ là một độ đo phức trên $X/H$. Khi đó $|\lambda|^\# = |\lambda^\#|$.

Giả sử họ $(\lambda_\iota)$ bị chặn trên và đặt $\mu = \sup \lambda_\iota$. Vì $\lambda \geq 0$ suy ra $\lambda^\# \geq 0$, ta có $\mu^\# \geq \lambda_\iota^\#$ với mọi $\iota$, điều này cho thấy rằng họ $(\lambda_\iota^\#)$ bị chặn trên và rằng

Ngược lại, giả sử họ $(\lambda_\iota^\#)$ bị chặn trên và đặt $\nu = \sup(\lambda_\iota^\#)$. Vì $\delta(\xi)\lambda_\iota^\# = \Delta_H(\xi)\lambda_\iota^\#$ với mọi $\xi \in H$, hiển nhiên $\delta(\xi)\nu = \Delta_H(\xi)\nu$, do đó tồn tại một độ đo $\mu' \in \mathscr{M}(X/H)$ sao cho $\nu = {\mu'}^\#$. Vì $\lambda^\# \geq 0$ suy ra $\lambda \geq 0$, ta có $\mu' \geq \lambda_\iota$ với mọi $\iota$, điều này cho thấy họ $(\lambda_\iota)$ bị chặn trên và rằng $\nu = {\mu'}^\# \geq (\sup \lambda_\iota)^\#$, do đó

điều đó hoàn tất chứng minh của a). Mệnh đề b) sau đó suy ra ngay vì, chẳng hạn, $\lambda^+$ chẳng qua là $\sup(\lambda, 0)$. Để chứng minh c), chỉ cần nhận xét rằng $|\lambda| = \sup \mathscr{R}(\alpha \lambda)$ trên các số phức $\alpha$ có giá trị tuyệt đối bằng 1, và mặt khác rằng $\mathscr{R}(\mu^\#) = (\mathscr{R}\mu)^\#$ với mọi $\mu \in \mathscr{M}(X/H)$.

a) Trên $X$ tồn tại một hàm liên tục $r$, nhận các giá trị $> 0$, sao cho $r(x\xi) = \chi(\xi)r(x)$ với mọi $x \in X$ và $\xi \in H$.