(i) G là tương đối compact trong End(E); (ii) G là tương đối compact trong Aut(E); (iii) G bất biến một dạng Hermit dương không suy biến$^1$ trên E.

(iii) $\Rightarrow$ (i): Giả sử rằng $G$ bất biến một dạng Hermit dương không suy biến $\Psi$. Cho $(e_1, \ldots, e_n)$ là một cơ sở trực chuẩn đối với $\Psi$ (Alg., Ch. IX, § 6, No. 1, Hệ quả 1 của Định lý 1). Với mọi $u \in G$, cho $(u_{ij})$ là ma trận của nó đối với $(e_i)$. Với mọi $j$, ta có $\sum_{i=1}^n |u_{ij}|^2 = 1$, do đó $|u_{ij}| \leq 1$ với mọi $i$ và $j$, điều này chứng minh (i).

(i) $\Rightarrow$ (ii): Điều này suy ra từ GT, X, § 3, No. 5, Hệ quả của Định lý 4, có tính đến sự kiện rằng tôpô của $\mathrm{End}(E)$ là tôpô hội tụ compact.

(ii) $\Rightarrow$ (iii): Giả sử bao đóng $\overline{G}$ của $G$ trong $\mathrm{Aut}(E)$ là compact. Cho $\Phi$ là một dạng Hermit dương không suy biến trên $E$. Nếu trường vô hướng là $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$, việc cho $\Phi$ làm cho $E$ trở thành một không gian Hilbert hữu hạn chiều, và điều kiện (iii) sẽ suy ra từ bổ đề sau:

$^1$ Non dégénérée; trong EVT, thuật ngữ này được thay bằng séparante, sau đó được dịch là "phân tách" (TVS, V, § 1, No. 1).

Cho $\alpha$ là một độ đo Haar trên K. Với mọi $x, y$ trong F, ánh xạ $s \mapsto (U(s)x|U(s)y)$ là liên tục. Đặt

Điều này là hiển nhiên rằng $\varphi(x, y)$ là một dạng song tuyến tính Hermit trên F. Vì tập các tự đồng cấu $U(s)$ là compact trong $\mathscr{L}_s(F; F)$, tồn tại một hằng số M sao cho $\|U(s)\| \leq M$ với mọi $s \in K$. Với mọi $x \in F$, do đó ta có

do đó suy ra các bất đẳng thức

điều này cho thấy rằng $\varphi$ là dương và không suy biến, và rằng chuẩn $\varphi(x, x)^{1/2}$ là tương đương với chuẩn $\|x\|$. Cuối cùng, với mọi $t \in K$,

Khi trường vô hướng là $\mathbf{H}$, ta lập luận hoàn toàn như trước bằng cách thay thế ở mọi nơi hàm $s \mapsto (U(s)x|U(s)y)$ bởi hàm $s \mapsto \Phi(sx, sy)$ xác định trên G, với các giá trị trong $\mathbf{H}$. Điều này hoàn thành chứng minh của mệnh đề.

Ta ngay lập tức quy về trường hợp $n = 1$. Vì nhóm cộng $\mathbf{R}$ đẳng cấu với nhóm nhân $\mathbf{R}_+^*$, mệnh đề khi đó là một hệ quả ngay lập tức của Mệnh đề 7 của §2, No. 4.

a) Tồn tại một ánh xạ liên tục f của X vào V sao cho $f(xv) = f(x) + v$ với mọi $x \in X$ và $v \in V$.

b) Nếu f là một ánh xạ thỏa mãn các điều kiện của a), thì ánh xạ $x \mapsto (\pi(x), f(x))$ là một phép đồng phôi của X lên $B \times V$.

Mệnh đề a) suy ra từ Mệnh đề 2 trong đó g được lấy là ánh xạ đồng nhất của V. Cho f là một ánh xạ thỏa mãn các điều kiện của a). Ánh xạ $x \mapsto x \cdot (-f(x))$ của X vào X là liên tục, và là hằng trên mỗi quỹ đạo, do đó có dạng $\varphi \circ \pi$, trong đó $\varphi$ là một ánh xạ liên tục của B vào X; với mọi $b \in B$, $\pi(\varphi(b)) = b$. Các ánh xạ $x \mapsto (\pi(x), f(x))$ của X vào $B \times V$ và $(b, v) \mapsto \varphi(b) \cdot v$ của $B \times V$ vào X là nghịch đảo của nhau, vì $\varphi(\pi(x)) \cdot f(x) = x \cdot (-f(x)) \cdot (f(x)) = x$, $\pi(\varphi(b) \cdot v) = \pi(\varphi(b)) = b$, và, nếu $b = \pi(y)$, thì

Vì các ánh xạ này liên tục, chúng là các đồng phôi.

là bất biến dưới tác động của $G$.

Thật vậy, với mọi $t \in G$,

a) Có một nhóm con đóng $L$ của $G$ sao cho $G$ là tích nửa trực tiếp tôpô của $L$ và $H$.

b) Nếu $M$ là một nhóm con compact của $G$, có một phần tử $x \in H$ sao cho $x^{-1}Mx \subset L$.

c) Mọi nhóm con compact của $G$ đều được chứa trong một nhóm con compact cực đại.

d) Các nhóm con compact cực đại của $G$ là các nhóm con là các ảnh của $L$ qua các tự đẳng cấu nội của $G$.

Cho $\pi$ là đồng cấu chính tắc của $G$ lên $K = G/H$. Bằng phép chuyển qua thương, ánh xạ $(s, h) \mapsto shs^{-1}$ từ $G \times H$ vào $H$ xác định một ánh xạ liên tục $(\sigma, h) \mapsto \sigma \cdot h$ từ $K \times H$ vào $H$ sao cho $shs^{-1} = \pi(s) \cdot h$. Ta sẽ đồng nhất $H$ với $\mathbf{R}^n$ (và do đó sẽ sử dụng, tùy trường hợp, hoặc ký hiệu nhân hoặc ký hiệu cộng cho luật nhóm trong $H$). Theo Hệ quả của Mệnh đề 2, tồn tại một ánh xạ liên tục $f$ từ $G$ vào $H$ sao cho $f(xh) = f(x) + h$ với $x \in G, h \in H$. Với mọi $x \in G$, đặt $p(x) = x \cdot (-f(x))$, điều này chỉ phụ thuộc vào lớp kề của $x$ đối với $H$. Đặt

Ta thấy rằng nếu $F(x, y) = 0$ với mọi $x, y$ trong $G$, thì $p(G) = L$ là một nhóm con của $G$ giao với mỗi lớp kề của $H$ tại một và chỉ một điểm. Vì $p$ liên tục, khi đó $G$ là tích nửa trực tiếp tôpô của $L$ và $H$ (GT, III, §2, No. 10).

Bây giờ, với mọi $h, h' \in H$,

Do đó $F$ xác định, bằng phép chuyển qua các thương, một ánh xạ liên tục $\varphi$ từ $K \times K$ vào $H$.

Mặt khác, với mọi $x, y, z$ trong $G$, ta có

do đó, với mọi $x', y', z'$ trong $K$,

Ta hãy lấy tích phân theo $z'$ bằng độ đo Haar chuẩn hóa $\alpha$ của $K$. Đặt $\psi(x') = \int \varphi(z', x')\, d\alpha(z')$, $\psi$ là một hàm liên tục trên K, và (nhận thấy rằng các phép toán của K trong $\mathbf{R}^n$ tôn trọng cấu trúc không gian vectơ của $\mathbf{R}^n$ theo GT, VII, §2, No. 1, Mệnh đề 1), ta thu được

Nói cách khác, đặt $k - \psi \circ \pi$, là một hàm liên tục trên $G$,

(2)

So sánh (1) và (2), ta thấy rằng nếu thay $f$ bởi hàm liên tục $f + k$ (vẫn giữ nguyên tính chất $f(xh) = f(x) + h$), thì $F$ được thay bởi 0 và, như ta đã thấy trước đó, điều này hoàn tất chứng minh của a).

Với mọi $g \in G$, gọi $l_g$ (tương ứng $h_g$) là phần tử duy nhất của L (tương ứng H) sao cho $g = h_g l_g$. Nếu $h_1 \in H$ và $g \in G$, thì

do đó $h_g h_1 = h_g + l_g h_1 l_g^{-1}$. Với mọi $g \in G$, gọi $\psi_g$ là ánh xạ của H vào chính nó được xác định bởi

Ta thấy rằng ánh xạ $(g, h_1) \mapsto \psi_g(h_1)$ của $G \times H$ vào H là liên tục và làm cho H thành một không gian thuần nhất đối với G, trong đó nhóm ổn định của gốc là L. Ngoài ra, ta nhận thấy rằng khi H được đồng nhất với $\mathbf{R}^n$, $\psi_g$ là một ánh xạ afin của H vào chính nó. Với điều này, cho M là một nhóm con compact của G; theo Bổ đề 2, tồn tại một $x \in H$ sao cho $\psi_m(x) = x$ với mọi $m \in M$. Với $y \in H$, $\psi_y$ là phép tịnh tiến với vectơ $y$; suy ra rằng với mọi $m \in M$, $\psi_{x^{-1}} \circ \psi_m \circ \psi_x$ biến gốc của H thành chính nó, do đó $x^{-1}mx \in L$. Điều này chứng minh rằng $x^{-1}Mx \subset L$, do đó b).

Cho $L'$ là một nhóm con đóng của G chứa L. Khi đó $L'$ là tích nửa trực tiếp tôpô của L và $L' \cap H$. Nếu $L'$ compact, thì $L' \cap H$ compact nên thu về một điểm (GT, IV, §2, No. 2, Hệ quả 1 của Định lý 2), do đó $L' = L$. Điều này chứng minh rằng L là một nhóm con compact cực đại của G; do đó điều tương tự cũng đúng với các nhóm con là các ảnh của L qua các tự đẳng cấu nội của G. Các khẳng định c) và d) của Mệnh đề 3 khi đó là các hệ quả ngay lập tức của b).

Đặt $L = G \times \mathbf{R}$ và gọi M là tập hợp các $(\xi, -u(\xi))$, trong đó $\xi$ chạy trên H. Hiển nhiên M là một nhóm con chuẩn đóng của L. Đặt $L' = L/M$ và gọi $\pi$ là ánh xạ chính tắc của L lên $L'$. Nhóm con của L sinh bởi M và R là H × R, do đó là đóng; vì vậy π(R) là một nhóm con đóng N của L'. Hạn chế ρ của π lên R là một biểu diễn song ánh liên tục của R lên N. Bổ đề 2 của Phụ lục 1 chứng minh rằng ρ là song liên tục. Ngoài ra, $L'/N$ đẳng cấu với $L/(H \times R) = G/H$, nên là compact. Theo Mệnh đề 3, và xét đến sự kiện rằng N nằm trong tâm của L', L' là tích của N với một nhóm con khác. Do đó tồn tại một biểu diễn liên tục của L' lên N thu hẹp trên N thành ánh xạ đồng nhất. Vì vậy tồn tại một biểu diễn liên tục v của L vào R là tầm thường trên M và thu hẹp trên R thành ánh xạ đồng nhất. Với ξ ∈ H, ta có $v((\xi, 0)) = v((\xi, - u(\xi))(e, u(\xi))) = u(\xi)$, điều này hoàn tất chứng minh.

Cho C là một tập compact sao cho G = CH. Nếu cần, phóng đại C, ta có thể giả sử rằng C sinh ra G và rằng G = ĈH. Khi đó C^2 là compact và được phủ bởi các Ĉs (s ∈ H), là các tập mở. Vì vậy tồn tại $s_1, ..., s_n$ trong H sao cho $C^2 \subset \hat{C}s_1 \cup ... \cup \hat{C}s_n$. Gọi Γ là nhóm con của H sinh bởi các $s_i$. Khi đó $C^2 \subset C\Gamma$. Bằng quy nạp, suy ra rằng $C^n \subset C\Gamma$ với mọi n, do đó $G = C\Gamma$. Mọi phần tử của H có thể được viết dưới dạng ab với a ∈ C, b ∈ Γ, do đó a ∈ H, do đó $a \in C \cap H$. Vì vậy H được sinh bởi $C \cap H$ và các $s_i$, tức là bởi một tập compact.

Thật vậy, cho d ∈ D. Ảnh của G qua ánh xạ liên tục $x \mapsto xdx^{-1}$ là một tập con liên thông của D, do đó thu về $\{d\}$, điều này chứng minh rằng xd = dx với mọi x ∈ G.

Nhóm G địa phương đẳng cấu với K (GT, III, §2, No. 6, Mệnh đề 19), do đó là compact địa phương; vì nó liên thông, nó được sinh bởi một lân cận compact của e. Theo các Bổ đề 3 và 4, D là một nhóm Abel sinh hữu hạn, do đó đẳng cấu với một nhóm $\mathbf{Z}^r \times D_1$ với D_1 hữu hạn (A, VII, §4, No. 7, Định lý 3). Giả sử rằng r > 0. Khi đó tồn tại một biểu diễn f của D lên $\mathbf{Z}$. Theo Mệnh đề 4, f có thể được mở rộng thành một biểu diễn liên tục g của G trong R. Qua phép chuyển sang thương, g xác định một biểu diễn liên tục $g'$ của $K$ trong $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$; vì $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ là Abel, hạt nhân của $g'$ chứa nhóm con giao hoán tử của K, do đó $g'$ là tầm thường; nói cách khác, $g(G) \subset \mathbf{Z}$. Vì G liên thông, suy ra rằng $g(G) = \{0\}$, điều này là vô lý vì $f(D) = \mathbf{Z}$. Vậy $r = 0$ và D là hữu hạn. Do đó G là compact (GT, III, §4, No. 1, Hệ quả 2 của Mệnh đề 2).

Một ánh xạ như vậy hiển nhiên là một biểu diễn liên tục của $\mathbf{GL}(n, K)$ trong $\mathbf{C}^*$. Ngược lại, giả sử rằng $\psi$ là một biểu diễn liên tục của $\mathbf{GL}(n, K)$ trong $\mathbf{C}^*$. Với $x \in K^*$, đặt

và $\chi(x) = \psi(\widetilde{x})$. Khi đó, với mọi ma trận $X \in \mathbf{GL}(n, K)$, ta có $(\det X^{-1}) \sim \cdot X \in \mathbf{SL}(n, K)$. Vì $\mathbf{SL}(n, K)$ là nhóm giao hoán tử của $\mathbf{GL}(n, K)$ (A, III, §8, No. 9, Hệ quả của Mệnh đề 17), $\psi((\det X^{-1}) \sim \cdot X) = 1$, do đó

Điều này đã được thiết lập, Hệ quả 1 của Mệnh đề 10 của §1, No. 8 chứng minh rằng các độ đo bất biến tương đối trên $\mathbf{GL}(n, K)$, sai khác một nhân tử hằng, là các độ đo có dạng trong đó $\chi$ là một biểu diễn liên tục của $K^*$ trong $\mathbf{C}^*$.

Ví dụ 2. — Nhóm affine. Với mọi $X \in \mathbf{GL}(n, K)$ và mọi $x \in K^n$, đặt $(X, x)$ là ánh xạ tuyến tính affine $\xi \mapsto X\xi + x$ trong $K^n$. Tập hợp các $(X, x)$ là nhóm affine $G$ của $K^n$ (A, II, §9, No. 4). Tập hợp $T$ các phép tịnh tiến là một nhóm con chuẩn đóng của $G$, đẳng cấu chính tắc với $K^n$; mặt khác, $\mathbf{GL}(n, K)$ là một nhóm con đóng của $G$, và $G$ là tích nửa trực tiếp của $\mathbf{GL}(n, K)$ và $T = K^n$. Trang bị cho $G$ tôpô (địa phương compact) sao cho $G$ là tích nửa trực tiếp tôpô của $\mathbf{GL}(n, K)$ và $T$ (GT, III, §2, No. 10). Ta có

Mặt khác, nếu $X \in \mathbf{GL}(n, K)$ và $x \in T$ thì, với mọi $\xi \in K^n$, do đó tự đẳng cấu $(1, x) \mapsto (X, 0)(1, x)(X, 0)^{-1}$ của $T$ có môđun $\mod(\det X)$ (§1, No. 10, Prop. 15). Theo Ví dụ 1 và §2, No. 9, Nhận xét, độ đo là một độ đo Haar trái trên $G$. Mặt khác, theo Mệnh đề 14 của §2, No. 9, hay

Do đó, một độ đo Haar phải trên $G$ được cho bởi

Ví dụ 3. — Nhóm tam giác ngặt.

Cho $[1, n]$ là tập hợp các số nguyên $m$ sao cho $1 \leq m \leq n$. Cho $J$ là một tập con của $[1, n] \times [1, n]$ thỏa mãn các điều kiện sau: 1) nếu $(i, j) \in J$ thì $i < j$; 2) nếu $(i, j) \notin J$ thì, với mọi số nguyên $k$ sao cho $i < k < j$, ít nhất một trong hai cặp $(i, k)$ và $(k, j)$ không thuộc $J$.

Cho $T_J$ là tập hợp các ma trận $Z = (z_{ij})_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n}$ với các phần tử trong $K$, sao cho $z_{ii} = 1$, và $z_{ij} = 0$ nếu $i \neq j$ và $(i, j) \notin J$. Đây là một tập con đóng của $\mathbf{GL}(n, K)$. Ánh xạ $Z \mapsto (z_{ij})_{(i, j) \in J}$ là một phép đồng phôi của $T_J$ lên $K^s$ (trong đó $s$ là số phần tử của $J$). Nếu $Z' = (z'_{ij}) \in T_J$, thì $Z'Z = (z''_{ij})$ với

do đó $Z'Z \in T_J$. Nếu $T_J$ được đồng nhất với $K^s$, thì ánh xạ $Z \mapsto Z'Z$ (với $Z'$ cố định) được đồng nhất với một ánh xạ affine, và định thức của nó là 1, như thấy được bằng cách sắp thứ tự các cặp $(i, j) \in J$ theo thứ tự từ điển và áp dụng bổ đề sau:

**Bổ đề 6. — Cho $L$ là một tập hợp hữu hạn được sắp thứ tự toàn phần. Với mỗi $\lambda \in L$, cho $V_\lambda$ là một môđun tự do có số chiều hữu hạn trên một vành giao hoán $k$; với $\lambda, \mu$ trong $L$ sao cho $\lambda \leq \mu$, cho $f_{\lambda \mu} \in \mathrm{Hom}_k(V_\mu, V_\lambda)$. Khi đó ánh xạ tuyến tính

từ $\prod_{\lambda \in L} V_\lambda$ vào $\prod_{\lambda \in L} V_\lambda$, có định thức $\prod_{\lambda \in L} \det f_{\lambda \lambda}$.

Ta quy ngay về trường hợp $L$ là một khoảng của các số nguyên, và khi đó bổ đề suy ra từ A, III, §8, No. 6, công thức (31).

Nếu $Z \in T_J$, khi đó ta thấy rằng tồn tại $Z' \in T_J$ sao cho $Z'Z = I_n$, do đó $Z' = Z^{-1}$. Vậy, $T_J$ là một nhóm con đóng của $\mathbf{GL}(n, K)$. Mặt khác, Mệnh đề 15 của §1, No. 10 cho thấy rằng độ đo

là một độ đo Haar trái trên $T_J$. Bằng cách tính $ZZ'$ ta thấy theo cùng cách rằng độ đo này là một độ đo Haar phải trên $T_J$.

Có một kết quả tương tự nếu, trong định nghĩa của $T_J$, vai trò của các hàng và các cột được hoán đổi.

Khi $J$ là tập hợp các cặp $(i, j)$ sao cho $i < j$, nhóm $T_J$ được gọi là nhóm tam giác ngặt trên cấp $n$ trên $K$, và được ký hiệu là $T_1(n, K)$. Chuyển vị của nó được gọi là nhóm tam giác ngặt dưới.