Phụ lục i

*Bổ đề 1. — Cho X là một không gian compact địa phương, R là một quan hệ tương đương mở trong X, sao cho không gian thương X/R là paracompact; gọi π là ánh xạ chính tắc của X lên X/R. Tồn tại một hàm thực liên tục F ≥ 0 trên X sao cho:

a) F không đồng nhất bằng không trên bất kỳ lớp tương đương nào đối với R;

b) với mọi tập con compact K của X/R, giao của $\overline{\pi}(K)$ với Supp F là compact.

Với mỗi điểm $u \in X/R$ hãy gắn một hàm $f_u \in \mathscr{K}_+(X)$ sao cho $f_u$ không đồng nhất bằng không trên $\overline{\pi}(u)$; gọi $\Omega_u$ là tập mở các điểm tại đó $f_u > 0$; do đó $u \in \pi(\Omega_u)$. Vì $\pi$ là một ánh xạ mở, các $\pi(\Omega_u)$ tạo thành một phủ mở của X/R. Tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương $(U_\iota)_{\iota \in I}$, mịn hơn phủ bởi các $\pi(\Omega_u)$, rồi theo (GT, IX, §4, No. 3, Prop. 3) một phân hoạch đơn vị $(g_\iota)_{\iota \in I}$ trên X/R phụ thuộc vào phủ $(U_\iota)$. Với mọi $\iota \in I$, chọn một $u_\iota$ sao cho $U_\iota \subset \pi(\Omega_{u_\iota})$. Hàm $F_\iota = (g_\iota \circ \pi) \cdot f_{u_\iota}$ thuộc $\mathscr{K}(X)$ và có giá được chứa trong $\overline{\pi}(U_\iota)$. Do đó các giá của các $F_\iota$ tạo thành một họ hữu hạn địa phương, nên ta có thể định nghĩa một hàm liên tục $F \geq 0$ trên X bằng cách đặt $F = \sum_{\iota \in I} F_\iota$.

Với mọi $u \in X/R$, tồn tại một $\iota$ sao cho $g_\iota(u) > 0$ và do đó $u \in U_\iota$; tiếp theo, tồn tại một $x \in \Omega_{u_\iota}$ sao cho $\pi(x) = u$; khi đó $f_{u_\iota}(x) > 0$ và $g_\iota(\pi(x)) > 0$, do đó $F_\iota(x) > 0$ và a fortiori $F(x) > 0$; điều này chứng tỏ rằng F có tính chất a). Cuối cùng, cho K là một tập con compact của X/R. Tồn tại một tập con hữu hạn J của I sao cho, với $\iota \in I - J$, ta

Giống như TG, IX, §4, n° 4, mệnh đề 5 (vắng mặt trong GT).

có $U_\ell \cap K = \varnothing$, do đó $\overline{\pi}^{-1}(K) \cap \mathrm{Supp}\ F_\ell = \varnothing$. Khi đó tập hợp