App. 1. · Intégration

Appendice 1

Lemme 1

Soient X un espace localement compact, R une relation d'équivalence ouverte dans X, telle que l'espace quotient X/R soit paracompact ; soit π l'application canonique de X sur X/R. Il existe une fonction F ≥ 0 continue dans X telle que :

a) F n'est identiquement nulle sur aucune classe suivant R ; b) pour toute partie compacte K de X/R, l'intersection de π^{-1}(K) avec Supp F est compacte.

A tout point u ∈ X/R, associons une fonction f_u ∈ \mathscr{K}_+(X) telle que f_u ne soit pas identiquement nulle sur π^{-1}(u) ; soit Ω_u l'ensemble ouvert des points où f_u > 0 ; on a donc u ∈ π(Ω_u). Comme π est une application ouverte, les π(Ω_u) forment un recouvrement ouvert de X/H. Il existe un recouvrement ouvert (U_i)_{i∈I} localement fini, plus fin que le recouvrement par les π(Ω_u), puis (Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 4, n° 3, prop. 3) une partition de l'unité (g_i)_{i∈I} sur X/H subordonnée au recouvrement (U_i). Pour tout i ∈ I, choisissons un u_i tel que U_i ⊂ π(Ω_{u_i}). La fonction F_i = (g_i ∘ π) · f_{u_i} appartient à \mathscr{K}(X) et a son support contenu dans π^{-1}(U_i). Les supports des F_i forment donc une famille localement finie, de sorte qu'on définit une fonction continue F ≥ 0 sur X en posant F = $\sum_{i\in I} F_i$ . Pour tout u ∈ X/R, il existe un i tel que g_i(u) > 0 donc u ∈ U_i ; puis il existe un x ∈ Ω_{u_i} tel que π(x) = u ; alors f_{u_i}(x) > 0 et g_i(π(x)) > 0, donc

F_i(x) > 0 et a fortiori F(x) > 0 ; ceci prouve que F possède la propriété a). Enfin, soit K une partie compacte de X/R. Il existe une partie finie J de I telle que, pour i \in I - J, on ait U_i \cap K = \varnothing, donc $\pi^{-1}(K) \cap \mathrm{Supp}\ F_i = \varnothing$ . Alors

\pi^{-1}(K) \cap \mathrm{Supp}\ F = \pi^{-1}(K) \cap \left( \bigcup_{i \in I} \mathrm{Supp}\ F_i \right)

= \pi^{-1}(K) \cap \left( \bigcup_{i \in J} \mathrm{Supp}\ F_i \right)

est compact.

Lemme 2

Soient G un groupe localement compact dénombrable à l'infini, M un espace de Baire. Supposons que G opère à gauche continûment et transitiivement dans M. Pour tout x \in M, soit H_x le stabilisateur de x dans G, de sorte que l'application s \to sx de G sur M définit par passage au quotient une bijection continue $\varphi_x$ de G/H_x sur M. Alors $\varphi_x$ est un homéomorphisme de G/H_x sur M (autrement dit (Top. gén., chap. III, 3e éd., § 2, n° 5) M est un espace homogène topologique).

Soit $x_0 \in M$ . Il suffit de prouver (loc. cit., prop. 15) que l'application $s \to sx_0$ transforme tout voisinage V de e dans G en un voisinage de $x_0$ dans M. Soit W un voisinage compact symétrique de e tel que $W^2 \subset V$ . Par hypothèse, G est réunion d'une suite d'ensembles compacts, donc d'une suite de translatés $(s_n W)$ de W. Alors M est réunion de la suite d'ensembles compacts $(s_n Wx_0)$ . Comme M est un espace de Baire, il existe un indice n tel que $s_n Wx_0$ admette un point intérieur $s_n wx_0$ ( $w \in W$ ). Par suite, $x_0$ est point intérieur de

w^{-1} s_n^{-1} (s_n Wx_0) = w^{-1} Wx_0 \subset Vx_0,

de sorte que $Vx_0$ est un voisinage de $x_0$ dans M.