a) Si N ⊂ B est localement ν-négligeable, $\pi^{-1}(N)$ est localement μ-négligeable.

b) Si f est une fonction ν-mesurable sur B (à valeurs dans un espace topologique), $f \circ \pi$ est μ-mesurable sur X.

Soit K une partie compacte de X. Il s’agit de prouver que $\pi^{-1}(N) \cap K$ est μ-négligeable et que la restriction de $f \circ \pi$ à K est μ-mesurable. Or K est réunion d’un ensemble μ-négligeable et d’une suite de parties compactes $K_n$ telles que $\pi|K_n$ soit continue. Il suffit de montrer que $\pi^{-1}(N) \cap K_n$ est μ-négligeable et que la restriction de $f \circ \pi$ à $K_n$ est μ-mesurable. On supposera donc désormais que $\pi|K$ est continue. Alors $\pi(K) = K'$ est compact. Comme $\pi^{-1}(N) \cap K = \pi^{-1}(N \cap K') \cap K$, et que $N \cap K'$ est ν-négligeable, on supposera désormais que N est ν-négligeable. Alors N est contenu dans un ensemble ν-négligeable $N'$, intersection dénombrable d’ensembles ouverts (chap. IV, § 4, no 6, cor. 2 du th. 4). Comme π est μ-mesurable, $\pi^{-1}(N')$ est $\mu$-mesurable (chap. IV, § 5, n° 5, prop. 8), donc $\pi^{-1}(N') \cap K$ est $\mu$-intégrable, et l’on a (chap. V, § 3, n° 4, th. 1)

Or, si $b \notin N'$, $\pi^{-1}(N') \cap K$ est $\lambda_b$-négligeable puisque $\lambda_b$ est concentrée sur $\pi^{-1}(b)$ par hypothèse. Donc $\mu(\pi^{-1}(N') \cap K) = 0$. A fortiori, $\pi^{-1}(N) \cap K$ est $\mu$-négligeable et l’on a bien prouvé a). D’autre part, il existe une partition de $K'$ formée d’un ensemble $\nu$-négligeable $M$ et d’une suite $(K'_n)$ d’ensembles compacts tels que $f|_{K'_n}$ soit continue. Alors la restriction de $f \circ \pi$ à chaque ensemble $\pi^{-1}(K) \cap K'_n$ est continue, et $\pi^{-1}(M) \cap K$ est $\mu$-négligeable d’après a), donc la restriction de $f \circ \pi$ à $K$ est bien $\mu$-mesurable.