Phụ lục ii

Bổ đề 1. — Cho X, B là hai không gian địa phương compact, π là một ánh xạ từ X vào B, ν là một độ đo dương trên B. Cho b ↦ λb (b ∈ B) là một họ ν-thích hợp các độ đo dương trên X sao cho, với mọi b ∈ B, độ đo λ_b tập trung trên $\overline{\pi}(b)$. Đặt $\mu = \int \lambda_b d\nu(b)$, và giả sử ánh xạ π là μ-đo được.

a) Nếu N ⊂ B là địa phương ν-không đáng kể, thì $\overline{\pi}(N)$ là địa phương μ-không đáng kể. b) Nếu f là một hàm ν-đo được trên B (nhận giá trị trong một không gian tôpô), thì $f \circ \pi$ là μ-đo được trên X.

Cho K là một tập con compact của X. Ta phải chứng minh rằng $\overline{\pi}(N) \cap K$ là μ-không đáng kể và hạn chế của $f \circ \pi$ lên K là μ-đo được. Bây giờ, K là hợp của một tập μ-không đáng kể và một dãy các tập con compact $K_n$ sao cho $\pi|K_n$ liên tục. Chỉ cần chỉ ra rằng $\overline{\pi}(N) \cap K_n$ là μ-không đáng kể và hạn chế của $f \circ \pi$ lên $K_n$ là μ-đo được. Vì vậy từ đây ta có thể giả sử rằng $\pi|K$ là liên tục. Khi đó $\pi(K) = K'$ là compact. Vì $\overline{\pi}(N) \cap K = \overline{\pi}(N \cap K') \cap K$ và $N \cap K'$ là ν-không đáng kể, từ đây ta có thể giả sử rằng N là ν-không đáng kể. Khi đó N được chứa trong một tập ν-không đáng kể $N'$ là một giao đếm được của các tập mở (Ch. IV, §4, No. 6, Hệ quả 2 của Định lý 4). Vì $\pi$ là μ-đo được, $\overline{\pi}(N')$ là μ-đo được (Ch. IV, §5, No. 5, Mệnh đề 7), do đó $\overline{\pi}(N') \cap K$ là μ-khả tích, và (Ch. V, §3, No. 4, Định lý 1)

*Xem Ch. V, §6, No. 6, Hệ quả 1 của Mệnh đề 10; ấn bản thứ hai của Ch. V chưa có khi Ch. VII được xuất bản.

Bây giờ, nếu $b \notin N'$, thì $\pi^{-1}(N') \cap K$ là $\lambda_b$-không đáng kể vì $\lambda_b$ tập trung trên $\pi^{-1}(b)$ theo giả thiết. Do đó $\mu(\pi^{-1}(N') \cap K) = 0$. A fortiori, $\pi^{-1}(N) \cap K$ là $\mu$-không đáng kể và a) quả thật đã được chứng minh. Mặt khác, tồn tại một phân hoạch của $K'$ gồm một tập hợp $\nu$-không đáng kể $M$ và một dãy $(K'_n)$ các tập hợp compắc sao cho $f|_{K'_n}$ liên tục. Khi đó hạn chế của $f \circ \pi$ trên mỗi tập hợp $\pi^{-1}(K) \cap K'_n$ là liên tục, và $\pi^{-1}(M) \cap K$ là $\mu$-không đáng kể theo a), do đó hạn chế của $f \circ \pi$ trên $K$ quả thật là $\mu$-đo được.

Bài tập