Bài tập 11, § 2

Cho G là một nhóm compact địa phương, H là một nhóm con đóng của G, $\lambda$ là một độ đo Haar trái trên G; giả sử rằng tồn tại trên G/H một độ đo $\mu$ bất biến dưới G sao cho $\lambda = \mu^\#$ và $\mu(G/H) < +\infty$. Cho $\nu$ là một độ đo dương khác không trên G/H sao cho $\nu(G/H) < +\infty$. Cuối cùng, cho $h$ là một hàm trên $G$ có các tính chất của No. 4, Mệnh đề 8.

a) Cho $A$ là một tập con Borel của $G/H$. Chứng minh rằng

(sử dụng Mệnh đề 9 a) của No. 4).

b) Cho $A_i$ ($1 \leq i \leq n$) là các tập con Borel của $G/H$ và, với mỗi $i$, cho $b_i = \sup_{s \in G} \nu(s^{-1}A_i)$. Chứng minh rằng tồn tại hai chỉ số phân biệt $i, j$ sao cho

(lập luận như trong §1, Bài tập 28 a)).