Exercice 11, § 2

Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe fermé de G, $\lambda$ une mesure de Haar à gauche sur G ; on suppose qu’il existe sur $G/H$ une mesure $\mu$ invariante par G telle que $\lambda = \mu^{\#}$ et que $\mu(G/H) < +\infty$. Soit $\nu$ une mesure positive non nulle sur $G/H$ telle que $\nu(G/H) < +\infty$. Soit enfin $h$ une fonction sur G ayant les propriétés du n° 4, prop. 8.

a) Soit A une partie borélienne de $G/H$. Montrer que l’on a

(utiliser la prop. 9 a) du n° 4).

b) Soient $A_i$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) des parties boréliennes de $G/H$, et pour tout $i$, soit $b_i = \sup_{s \in G} \nu(s^{-1}A_i)$. Montrer qu’il existe deux indices $i, j$ distincts tels que

(raisonner comme dans le § 1, exerc. 28 a)).