Trong phần còn lại của tiết này, ta ký hiệu bằng $\Gamma$ tập hợp các độ đo dương $\neq 0$ trên G thỏa mãn các điều kiện của Bổ đề 1, và với mọi $\alpha \in \Gamma$ ta ký hiệu bằng $H_\alpha$ nhóm con đóng của G là giá đỡ của $\alpha$.

Nếu cần, thay $\Phi$ bằng một bộ lọc mịn hơn, ta có thể giả sử rằng $s$ là một giới hạn của $\xi \mapsto t_\xi$ đối với $\Phi$; theo Bổ đề 1, $\delta(t_\xi)\alpha(\xi) = \alpha(\xi)$ với mọi $\xi \in E$, và kết luận suy ra từ tính liên tục của ánh xạ $(u, \lambda) \mapsto \delta(u)\lambda$ trên $G \times \mathscr{M}_+(G)$ (§ 3, No. 3, Mệnh đề 13).

Để chứng minh Mệnh đề 1, theo Bổ đề 1, chỉ cần chỉ ra rằng nếu một bộ lọc $\Psi$ trên $\Gamma$ hội tụ một cách mơ hồ đến một độ đo $\alpha_0 \neq 0$ và nếu $s$ thuộc giá đỡ của $\alpha_0$, thì $\delta(s)\alpha_0 = \alpha_0$. Thật vậy, với mọi lân cận $V$ của $s$ trong $G$, tồn tại một $M \in \Psi$ sao cho, với mọi $\alpha \in M$, ta có $V \cap H_\alpha \neq \varnothing$, theo Bổ đề 2. Với mọi lân cận $V$ của $s$ và mọi $\alpha \in \Gamma$, hãy lấy $t_{V,\alpha}$ là một điểm của $V \cap H_\alpha$ nếu $V \cap H_\alpha \neq \varnothing$, và là bất kỳ điểm nào của $H_\alpha$ trong trường hợp ngược lại; nếu $\Theta$ là bộ lọc tiết diện của bộ lọc các lân cận của $s$, và $\Phi$ là bộ lọc tích $\Theta \times \Psi$, thì theo điều trên, $s$ là một điểm tụ của $(V, \alpha) \mapsto t_{V,\alpha}$ đối với $\Phi$. Mặt khác, vì ánh xạ $(V, \alpha) \mapsto \alpha$ có giới hạn $\alpha_0$ đối với $\Phi$, mệnh đề suy ra từ Bổ đề 3.

Tập $\Gamma_\varphi$ là giao của $\Gamma$ với siêu phẳng của $\mathscr{M}(G)$ được tạo bởi các $\alpha$ sao cho $\int \varphi(x)\,d\alpha(x) = 1$; vì siêu phẳng này đóng mơ hồ trong $\mathscr{M}(G)$ và không chứa 0, suy ra từ Mệnh đề 1 rằng $\Gamma_\varphi$ đóng mơ hồ trong $\mathscr{M}(G)$. Do đó chỉ cần chứng minh rằng với mọi tập con compact $K$ của $G$, ta có $\sup_{\alpha \in \Gamma_\varphi} \alpha(K) < +\infty$ (Ch. III, §1, No. 9, Mệnh đề 15). Bây giờ, cho $U$ là lân cận mở của $e$ trong $G$ được xác định bởi bất đẳng thức $\varphi(x) > \varphi(e)/2$; vì $1 = \int \varphi(x)\,d\alpha(x) \geq \int_U \varphi(x)\,d\alpha(x)$ đối với $\alpha \in \Gamma_\varphi$, ta thấy rằng, khi đặt $c = 2/\varphi(e)$, ta có $\alpha(U) \leq c$ với mọi $\alpha \in \Gamma_\varphi$. Cho $V$ là một lân cận mở đối xứng của $e$ trong $G$ sao cho $V^2 \subset U$; hãy chứng minh rằng $\alpha(Vx) \leq c$ với mọi $x \in G$ và mọi $\alpha \in \Gamma_\varphi$. Thật vậy, quan hệ này là tầm thường nếu $Vx$ không giao với giá đỡ $H_\alpha$ của $\alpha$; nếu, ngược lại, tồn tại một $h \in Vx \cap H_\alpha$, thì $h = vx$ với một $v \in V$, do đó

và vì $\delta(h)\alpha = \alpha$, suy ra rằng $\alpha(Vx) \leq \alpha(Uh) = \alpha(U) \leq c$. Bây giờ lấy $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một dãy các điểm của $K$ sao cho các $Vx_i$ tạo thành một phủ của $K$; suy ra từ điều trên rằng $\alpha(K) \leq \sum_{i=1}^n \alpha(Vx_i) \leq nc$ với mọi $\alpha \in \Gamma_\varphi$; Q.E.D.

Vì ánh xạ $\alpha \mapsto \langle \varphi, \alpha \rangle$ liên tục mơ hồ, chỉ cần nhận xét rằng $\langle \varphi, \alpha \rangle \neq 0$ với mọi độ đo $\alpha \in \Gamma$, vì $e$ thuộc giá đỡ $H_\alpha$ của $\alpha$ và $\varphi(e) > 0$.

Với mọi $\alpha \in \Gamma^0$ và mọi hàm $f \in \mathscr{K}(G)$, đặt

trong đó tích chập được lấy tương ứng với độ đo Haar phải $\mu$ và trong đó ta dùng đến thực tế là $\dot{\alpha} = \alpha$ (§ 4, No. 4, công thức (11)). Ta biết (Ch. VII, §2, No. 1, Prop. 2) rằng ánh xạ $f \mapsto f_\alpha$ của $\mathscr{K}_+(G)$ vào $\mathscr{K}_+(Q_\alpha)$ là toàn ánh; do đó, theo (2),

trong đó ta đã đặt

Để chứng minh mệnh đề, chỉ cần chỉ ra rằng, cho trước $f \in \mathscr{H}_+(G)$, ánh xạ $\alpha \mapsto \|f_\alpha\|$ là liên tục theo tôpô mơ hồ. Bây giờ, gọi K là giá đỡ của f; hàm $f * \alpha$ có giá đỡ được chứa trong $KH_\alpha$ và bất biến phải dưới $H_\alpha$; do đó

Suy ra kết luận từ thực tế rằng ánh xạ $\alpha \mapsto f * \alpha$ của $\mathscr{M}_+(G)$, được trang bị tôpô mơ hồ, vào $\mathscr{C}(G)$, được trang bị tôpô hội tụ trên các tập compact, là liên tục (§ 4, No. 2, Nhận xét 1).

Nhắc lại rằng nếu, với một độ đo $\alpha \in \Gamma^0$, $\|\mu_\alpha\|$ là hữu hạn, thì G tất yếu là đơn môđula (Ch. VII, §2, No. 6, Hệ quả 3 của Th. 3).

Với mọi độ đo $\alpha \in \Gamma^0(G)$, nhắc lại (Ch. VII, §2, No. 3, Prop. 5) rằng hàm

được xác định $\mu_\alpha$-gần khắp trên $Q_\alpha$, khả tích theo $\mu_\alpha$, và

Xét theo Mệnh đề 4, chỉ cần chứng minh rằng, trong $\Gamma^0(g)$, $\alpha \mapsto \|\mu_\alpha\|$ là nửa liên tục trên. Cố định một độ đo $\alpha \in \Gamma^0(g)$, và cho $K$ là một tập con compact của $G$. Có một hàm liên tục trên $Q_\alpha$ với giá compact, nhận các giá trị trong $[0, 1]$, bằng 1 trên tập compact $\pi_\alpha(K)$; vì ánh xạ $f \mapsto f_\alpha$ của $\mathscr{H}_+(G)$ vào $\mathscr{H}_+(Q_\alpha)$ là toàn ánh (Ch. VII, §2, No. 1, Mệnh đề 2), suy ra tồn tại một hàm $f \in \mathscr{H}_+(G)$ sao cho

Vì $\beta \mapsto f * \beta$ là một ánh xạ liên tục từ $\mathscr{M}_+(G)$, được trang bị tôpô mơ hồ, vào $\mathscr{C}(G)$ được trang bị tôpô hội tụ compact (§ 4, No. 2, Nhận xét 1), ta thấy rằng với mọi $\varepsilon > 0$, tập $U_\varepsilon$ gồm các $\beta \in \Gamma^0(G)$ sao cho

là một lân cận mở của $\alpha$ trong $\Gamma^0(g)$; với mọi $\beta \in U_\varepsilon$, khi đó, nhờ công thức (2), Cho một số $\varepsilon > 0$, ta chọn một hàm $h \in \mathscr{K}_+(G)$ sao cho $\int_G |g(x) - h(x)|\, d\mu(x) \leq \varepsilon$, và trong phần trên lấy $K = \mathrm{Supp}(h)$. Với mọi $\beta \in \Gamma^0(g)$, theo giả thiết $g_\beta(\dot{x}) \geq 1$ hầu khắp (đối với $\mu_\beta$) trên $Q_\beta$, do đó nhờ (4); vì $h$ bằng không ngoài $K$, và a fortiori ngoài $KH_\beta$, suy ra rằng kết hợp kết quả này với (5), ta thấy rằng khi $\beta \in U_\varepsilon$, và điều đó hoàn tất chứng minh.

Vì, cho $g \in \mathscr{K}_+(G)$ là một hàm sao cho $g(x) \geq 1/c$ với $x \in KV$. Với mọi $x \in K$,

cho $\alpha$ thỏa mãn các điều kiện của mệnh đề; hơn nữa, vì $\pi_\alpha(K) = Q_\alpha$, nên $\alpha \in \Gamma^0(g)$, do đó suy ra hệ quả.

Với $a \in A$ và $\alpha \in N_A$,

và vì $\pi_\alpha(A) = Q_\alpha$, nên $N_A \subset \Gamma^0(\varphi_A)$, và do đó hệ quả suy ra từ Mệnh đề 5.

(i) Tập $\Sigma^0$ của các nhóm con đóng đơn môđula của G là đóng trong $\Sigma$ (nên compact).

(ii) Nếu G được sinh bởi một lân cận compact của e, thì tập $\Sigma_c^0$ của các nhóm con đóng đơn môđula H của G sao cho không gian thương $G/H$ là compact, là mở trong $\Sigma^0$ (nên là địa phương compact).

(iii) Với mọi lân cận mở U tương đối compact của e trong G, tập $D_U$ của các nhóm con rời rạc H của G sao cho $H \cap U = \{e\}$ là đóng trong $\Sigma^0$ (nên compact).

Suy ra từ Mệnh đề 3 của No. 1 rằng $\Sigma$ đẳng cấu tôpô với $\Gamma_\varphi$, nên compact theo Mệnh đề 2 của No. 1. Hơn nữa, ở đầu No. 2 đã nhận xét rằng tập $\Gamma^0$ các độ đo $\alpha \in \Gamma$ sao cho $H_\alpha$ là đơn môđula là đóng trong $\Gamma$; vì $\Gamma^0$ ổn định qua các phép vị tự với tỉ số $> 0$, ảnh $\Sigma^0$ của $\Gamma^0$ trong $\Sigma$ là một tập con đóng của $\Sigma$, điều này chứng minh (i).

Tính chất (ii) sẽ là hệ quả của mệnh đề sau:

Với các ký hiệu của Mệnh đề 5 của No. 2, ta có, với $g \in \mathscr{K}_+(G)$,

Vì, nếu K là giá đỡ của $g$, thì quan hệ $\int g(xs)\, d\alpha(s) \geq 1$ với mọi $x \in G$ suy ra $KH_\alpha = G$, do tích phân hiển nhiên bằng không trên phần bù của $KH_\alpha$, do đó $G/H_\alpha = \pi_\alpha(K)$ là compact. Cho một độ đo $\alpha \in \Gamma_c^0$, vì thế chỉ cần định nghĩa một hàm $g \in \mathscr{K}_+(G)$ sao cho $\Gamma^0(g)$ là một lân cận của $\alpha$ trong $\Gamma^0$. Vì $G/H_\alpha$ là compact và ánh xạ chính tắc $f \mapsto f_\alpha$ của $\mathscr{K}_+(G)$ vào $\mathscr{K}_+(G/H_\alpha)$ là toàn ánh (Ch. VII, §2, No. 2), nên tồn tại một hàm $g \in \mathscr{K}_+(G)$ sao cho $\int g(xs)\, d\alpha(s) = 2$ với mọi $x \in G$. Cho K là giá đỡ (compact) của $g$, L là một lân cận compact đối xứng của $e$ trong G sinh ra G; vì ánh xạ $\beta \mapsto g * \beta$ của $\mathscr{M}_+(G)$ vào $\mathscr{C}(G)$ là liên tục mờ (§ 4, No. 2, Nhận xét 1), nên tồn tại một lân cận $W$ của $\alpha$ trong $\Gamma^0$ sao cho

với mọi $\beta \in W$ và $x \in LK$. Vì vế thứ nhất của (7) bằng không ngoài $KH_\beta$, nên điều kiện $\beta \in W$ suy ra

từ đó suy ra, bằng quy nạp theo $n$, rằng $L^n K \subset KH_\beta$ với mọi số nguyên $n > 0$; vì L sinh ra G, nên ta có $G = KH_\beta$ với mọi độ đo $\beta \in W$, điều đó chứng minh rằng $W \subset \Gamma_c^0$. Mặt khác, vì vế thứ nhất của (7) bất biến phải dưới $H_\beta$, nên bất đẳng thức (7) cũng đúng với $x \in LKH_\beta = G$; do đó $W \subset \Gamma^0(g)$, điều đó chứng minh mệnh đề.

Sau cùng, (iii) sẽ là hệ quả của mệnh đề sau:

Vì $D_U$ là ảnh của $N_U$ qua ánh xạ liên tục chính tắc $\Gamma \to \Sigma$, nên mệnh đề (iii) của Định lý 1 sẽ suy ra ngay từ Mệnh đề 7 a).

Để chứng minh Mệnh đề 7, ta nhận thấy rằng $N_U$ có thể được định nghĩa như là tập con của $\Gamma^0$ gồm các $\alpha$ sao cho cả hai

Bây giờ, nếu $A$ là compact (resp. open and relatively compact) trong $G$, thì ánh xạ $\alpha \mapsto \alpha(A)$ của $\mathscr{M}_+(G)$ vào $\mathbf{R}$ là nửa liên tục trên (resp. nửa liên tục dưới) đối với tôpô mơ hồ (Ch. IV, §4, No. 4, Hệ quả 3 của Mệnh đề 5 và loc. cit., §1, No. 1, Mệnh đề 4); do đó ta thấy rằng $N_U$ là một tập con đóng của $\Gamma^0$. Hơn nữa, cho $\varphi \in \mathscr{K}_+(G)$ là một hàm sao cho $\varphi(e) = 1$ và $\varphi(x) = 0$ trên $G - U$; hiển nhiên là $\int \varphi(x) d\alpha(x) = 1$ với mọi $\alpha \in N_U$; Mệnh đề 2 của No. 1 do đó cho thấy rằng $N_U$ là một tập compact, điều này chứng minh a). Mặt khác, hãy cho $V$ là một lân cận mở compact tương đối của $e$ trong $G$ sao cho $\overline{V} \subset U$, và cho $\varphi \in \mathscr{K}_+(G)$, với giá được chứa trong $U$ và sao cho $\varphi(x) = 1$ trên $V$. Khi đó $\alpha(\varphi) = 1$ với $\alpha \in N_U$, do đó tồn tại một lân cận $W$ của $\alpha$ trong $N$ sao cho $\beta(\varphi) < 2$ với $\beta \in W$; khi đó hiển nhiên là $W \subset N_V$, do đó $N_V$ là một lân cận của $N_U$. Vì các $N_U$ phủ $N$, điều này chứng minh b). Cuối cùng, mọi tập con compact $M$ của $N$ đều được chứa trong một hợp hữu hạn các tập $N_{U_i}$ ($1 \leq i \leq n$), và vì $\bigcup_i N_{U_i} \subset N_U$, với $U = \bigcap_i U_i$, điều này chứng minh c).

Ta có $D_c = D \cap \Sigma_c^0$, do đó (iii) là hệ quả của (i), và ĐL. 1 (ii) của No. 3.

Với các ký hiệu của No. 3, Mệnh đề 7, để chứng minh (i) và (ii), chỉ cần chứng minh rằng:

Bây giờ, nếu $\Gamma_d$ là tập các độ đo Haar trên các nhóm con rời rạc của $G$, thì $D$ đồng phôi một cách chính tắc với không gian các quỹ đạo của nhóm các phép đồng dạng trong $\Gamma_d$ với tỉ số $> 0$ (GT, I, §5, No. 2, Prop. 4). Vì vậy chỉ cần chứng minh rằng ánh xạ chính tắc $\alpha \mapsto (\alpha(\{e\}), \alpha/\alpha(\{e\}))$ của $\Gamma_d$ lên $\mathbf{R}_+^* \times \mathbf{N}$ là một đồng phôi, điều này sẽ suy ra từ bổ đề sau:

Cho ta xét một độ đo $\alpha \in \Gamma_d$; cho $V_0$ là một lân cận mở tương đối compact của $e$ trong $G$ sao cho $H_\alpha \cap V_0 = \{e\}$ và sao cho không có nhóm con hữu hạn nào của $G$ được chứa trong $V_0$ mà không thu gọn về $e$. Cho $V$ là một lân cận compact đối xứng của $e$ sao cho $V^3 \subset V_0$, và cho $U$ là một lân cận đối xứng của $e$ sao cho $U^2 \subset V$. Cho $\varphi$ (tương ứng $\psi$) là một hàm trong $\mathscr{H}_+(G)$, với giá trị trong $[0, 1]$, bằng 1 trên $V^3$ (tương ứng tại điểm $e$) và có giá đỡ được chứa trong $V_0$ (tương ứng trong $U$). Tập các độ đo $\beta \in \Gamma_d$ sao cho $|\beta(\varphi) - \alpha(\varphi)| \leq \varepsilon$ và $|\beta(\psi) - \alpha(\psi)| \leq \varepsilon$ là một lân cận $W$ của $\alpha$. Ta sẽ chứng minh rằng, nếu lấy $\varepsilon$ đủ nhỏ, thì $H_\beta \cap V = \{e\}$ với mọi $\beta \in W$; khi đó suy ra $\beta(\psi) = \beta(\{e\})$, do đó $|\beta(\{e\}) - \alpha(\{e\})| \leq \varepsilon$, và điều này sẽ chứng minh bổ đề.

Chỉ cần chứng minh rằng, với $\beta \in W$,

Thật vậy, giả sử mệnh đề này đã được thiết lập: khi đó, với $x$ và $y$ trong $V \cap H_\beta$, ta có $xy^{-1} \in V^2 \cap H_\beta$; nhưng, nhờ (8), điều này suy ra $xy^{-1} \in V \cap H_\beta$; nói cách khác, $V \cap H_\beta$ là một nhóm con của $G$, điều này hiển nhiên là rời rạc và compact, suy ra hữu hạn; nhưng khi đó, do cách chọn $V_0$, suy ra thật vậy $V \cap H_\beta = \{e\}$.

Ta lập luận phản chứng và giả sử rằng tồn tại một phần tử $z$ của $V^2 - V$ thuộc $H_\beta$; do cách chọn $U$ và $V$, ta có $\psi(sz^{-1}) + \psi(s) \leq \varphi(s)$ trong $G$, quan hệ $z \notin U^2$ suy ra $Uz \cap U = \varnothing$. Vì

suy ra $2\beta(\psi) \leq \beta(\varphi) \leq \alpha(\varphi) + \varepsilon$; nhưng ta cũng có

và theo cách dựng $\alpha(\varphi) = \alpha(\psi) = \alpha(\{e\})$. Vì thế ta đi đến mâu thuẫn khi lấy $\varepsilon < \alpha(\{e\})/3$. Q.E.D.

Nói một cách hình tượng, một nhóm $G$ thỏa mãn điều kiện (L) được nói là không có các nhóm con hữu hạn tùy ý nhỏ. Có thể chứng minh rằng mọi nhóm Lie đều thỏa mãn điều kiện (L); nhưng điều kiện này không đặc trưng cho các nhóm Lie; chẳng hạn, nhóm nhân của các số nguyên p-adic đồng dư với 1 mod p thỏa mãn (L).*

(i) Tồn tại một lân cận mở $U$ của $e$ trong $G$ sao cho $H_\alpha \cap U = \{e\}$ với mọi $\alpha \in A$.

(ii) Tồn tại một hằng số $k$ sao cho $\mu_\alpha(G/H_\alpha) \leq k$ với mọi $\alpha \in A$.

Nếu $A \subset N_c$ tương đối compact trong $N_c$ thì nó a fortiori cũng vậy trong $N$, và do đó tính cần thiết của các điều kiện (i) và (ii) suy ra từ No. 3, Props. 6 và 7 (không giả thiết $G$ là Abel). Ngược lại, giả sử rằng $A \subset N_c$ thỏa mãn các điều kiện này; nếu $\overline{A}$ là bao đóng của $A$ trong $N$, thì $\overline{A}$ compact nhờ No. 3, Prop. 7; hơn nữa, vì $\alpha \mapsto \| \mu_\alpha \|$ là nửa liên tục dưới trên $\Gamma^0$ đối với tôpô mơ hồ (No. 2, Prop. 4), điều kiện (ii) suy ra rằng ta cũng có $\| \mu_\alpha \| \leq k$ với mọi $\alpha \in \overline{A}$. Bây giờ, vì $G$ là Abel, $\mu_\alpha = \mu/\alpha$ là một độ đo Haar trên nhóm $G/H_\alpha$, và do đó $G/H_\alpha$ compact với mọi $\alpha \in \overline{A}$ (Ch. VII, §1, No. 2, Prop. 2). Điều này có nghĩa là $\overline{A} \subset N_c$, do đó $A$ tương đối compact trong $N_c$.

Cho $D_c$ là tập hợp các nhóm con rời rạc $H$ của $G$ sao cho $G/H$ là compact, và, với mọi $H \in D_c$, đặt $v(H)$ là khối lượng toàn phần $\mu_\alpha(G/H)$, trong đó $\mu_\alpha$ là độ đo thương của $\mu$ theo độ đo Haar chuẩn hóa $\alpha$ của $H$. Để một tập con $A$ của không gian $D_c$ là tương đối compact trong $D_c$, cần và đủ là nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

(i) Tồn tại một lân cận mở $U$ của $e$ trong $G$ sao cho $H \cap U = \{e\}$ với mọi $H \in A$.

(ii) Tồn tại một hằng số $k$ sao cho $v(H) \leq k$ với mọi $H \in A$.

Xét đến Mệnh đề 9, điều này suy ra ngay từ sự kiện rằng $D_c$ là ảnh của $N_c$ qua song ánh chính tắc của $N$ lên $D$, và từ sự kiện rằng, dưới các giả thiết đã nêu, song ánh này là một đồng phôi (No. 4, Mệnh đề 8).