Ta có thể giả sử rằng $\mu \geqslant 0$. Cho $F \in \mathscr{K}_+(\mathbf{G} \times \mathbf{X})$. Khi đó

Bây giờ, hàm $(s, x) \mapsto F(s, x)\chi(s, x)$ có giá compact và là $(\mu \otimes \beta)$-đo được. Theo Ch. V, §8, No. 3, Prop. 7, đẳng thức trên chứng minh rằng hàm này là $(\mu \otimes \beta)$-khả tích và rằng

Điều này đồng thời chứng minh cả hai khẳng định của Bổ đề 1.

Ta có thể giả sử rằng $f \geqslant 0$ và $\mu \geqslant 0$. Cho $h \in \mathscr{K}_+(\mathbf{X})$. Ta phải chứng minh rằng hàm $(s, x) \mapsto h(sx)$ là khả tích thiết yếu đối với $\mu \otimes (f \cdot \beta) = (1 \otimes f) \cdot (\mu \otimes \beta)$ (Ch. V, §8, No. 5, Prop. 10), tức là $\iint^\bullet h(sx)f(x)\varphi_K(s) d\mu(s) d\beta(x) < +\infty$ (Ch. V, §5, No. 3, Prop. 3); rõ ràng chỉ cần chứng minh rằng tồn tại một $a > 0$ sao cho với mọi tập con compact $K$ của $\mathbf{G}$,

Theo Bổ đề 1, Bây giờ, hàm $(s, x) \mapsto h(x)f(s^{-1}x)\varphi_K(s)\chi(s^{-1}, x)$ là $(\mu \otimes \beta)$-đo được (Bổ đề 1) và có giá compact. Do đó biểu thức trên bằng (Ch. V, §8, No. 3, Prop. 7)

trong đó S ký hiệu giá của h. Do đó suy ra mệnh đề.

Cho $h \in \mathscr{H}(X)$. Vì $\mu$ và f có thể lấy tích chập, hàm $(s, x) \mapsto h(sx)f(x)$ về bản chất là $(\mu \otimes \beta)$-khả tích. Theo Bổ đề 1, hàm $(s, x) \mapsto h(x)f(s^{-1}x)\chi(s^{-1}, x)$ về bản chất là $(\mu \otimes \beta)$-khả tích. Theo giả thiết (i) hoặc (ii) của mệnh đề, do đó suy ra hàm này là $(\mu \otimes \beta)$-khả tích; vì, trong trường hợp thứ nhất, nó liên tục và ta áp dụng Mệnh đề 3 của Ch. V, §1, No. 1, còn trong trường hợp thứ hai, nó bằng không ngoài một hợp đếm được các tập compact, và ta áp dụng Mệnh đề 7, 2) của No. 2, loc. cit. Theo định lý Lebesgue–Fubini,

hàm $x \mapsto g(x) = \int f(s^{-1}x)\chi(s^{-1}, x)\, d\mu(s)$ hơn nữa khả tích địa phương theo $\beta$. Do đó ta thấy rằng

do đó $g = \mu *_{\beta} f$.

Bây giờ giả sử rằng $\mu$ được mang bởi hợp S của một dãy các tập compact. Hàm

về bản chất là $(\mu \otimes \beta)$-khả tích, và bằng không ngoài một hợp đếm được các tập compact, do đó là $(\mu \otimes \beta)$-khả tích. Vì $\mu = \varphi_S \cdot \mu$, lập luận kết thúc như trên.

Ta biết rằng $\mu$ và $f$ là nhân chập được (§3, No. 2, Prop. 8 (i)). Mặt khác, với các ký hiệu của §2, ta có

vì $\mathscr{C}(X)$ là đầy đủ. Đặc biệt, với mọi $x \in X$, Điều này, kết hợp với Prop. 2 (i), và §2, No. 6, chứng minh (ii). Cuối cùng, nếu $f \in \mathscr{K}(X)$ thì $\mu * (f \cdot \beta)$ có giá đỡ compact (§3, No. 2, Prop. 9), do đó $\mu *_{\beta} f \in \mathscr{K}(X)$. Thật vậy, xét biểu diễn liên tục $U$ của $G$ trong phần hoàn thành $\mathscr{K}(X)^{\sim}$ thu được bằng cách mở rộng theo tính liên tục các toán tử liên tục $\gamma_\chi(s)$ trong $\mathscr{K}(X)$ (§ 2, No. 1, Nhận xét 3). Gọi $S$ là giá đỡ của $\mu$. Các hàm $\gamma_\chi(s)f$, với $s \in S$, có giá đỡ được chứa trong một tập compact cố định $K$. Tập hợp $\mathscr{K}(X, K)$ là một không gian con tuyến tính đầy đủ của $\mathscr{K}(X)$. Do đó $U(\mu)f \in \mathscr{K}(X)$. Như trước đây ta thấy rằng $U(\mu)f = \mu *^\beta f$, và (iii) lại suy ra từ § 2, No. 6.

(i) $\mu$ và $f$ là nhân chập được đối với $\beta$.

(ii) Công thức (3) của No. 1 xác định với mọi $x \in X$ một tích nhân chập $\mu *^\beta f$ là liên tục.

(iii) Ánh xạ $(\mu, f) \mapsto \mu *^\beta f$ từ $\mathscr{M}(G) \times \mathscr{K}(X)$ vào $\mathscr{C}(X)$ là nửa liên tục đều đối với các tập con bị chặn của $\mathscr{M}(G)$ và các tập con compact của $\mathscr{K}(X)$ được chứa trong một không gian con $\mathscr{K}(X, L)$ nào đó (trong đó $L$ là một tập compact biến thiên của $X$).

Ta biết rằng $\mu$ và $f$ là nhân chập được (§ 3, No. 2, Prop. 8 (ii)), và rõ ràng rằng các tích phân xuất hiện trong (3) tồn tại với mọi $x \in X$. Gọi $K$ và $L$ là hai tập con compact của $X$. Tồn tại một tập con compact $H$ của $G$ sao cho các quan hệ $x \in K$ và $s^{-1}x \in L$ kéo theo $s \in H$; lấy $\varphi \in \mathscr{K}_+(G)$ với $\varphi(s) = 1$ với $s \in H$. Khi đó, với $f \in \mathscr{K}(X, L)$ và $x \in K$,

Do đó $\int f(s^{-1}x)\chi(s^{-1}, x)\, d\mu(s)$ là một hàm liên tục của $x$ và xác định một tích chập $\mu *^\beta f \in \mathscr{C}(X)$. Hơn nữa, ánh xạ $\mu \mapsto \varphi \cdot \mu$ của $\mathscr{M}(G)$ vào $\mathscr{C}'(G)$ là liên tục đối với các tôpô hội tụ compact. Mệnh đề 3 (iii) do đó suy ra rằng ánh xạ $(\mu, f) \mapsto \mu *^\beta f$ của $\mathscr{M}(G) \times \mathscr{K}(X, L)$ vào $\mathscr{C}(X)$ là, với mọi tập con compact $L$ của $X$, nửa liên tục đối với các tập con compact của $\mathscr{K}(X, L)$. Đặc biệt, ánh xạ $(\mu, f) \mapsto \mu *^\beta f$ của $\mathscr{M}(G) \times \mathscr{K}(X)$ vào $\mathscr{C}(X)$ là liên tục riêng. Vì $\mathscr{K}(X)$ là không gian thùng, ánh xạ này là nửa liên tục đối với các tập con bị chặn của $\mathscr{M}(G)$ (TVS, III, § 5, No. 3, Mệnh đề 6).

¹Đối với một hàm $f$, biểu thức "$f \in L^\infty(X, \beta)$" là một sự lạm dụng ký hiệu, biểu thị rằng, tùy theo ngữ cảnh, ký hiệu $f$ được hiểu hoặc như một hàm hoặc như lớp tương đương của một hàm. Đặc biệt, ký hiệu $\mu *^\beta f$ có thể chỉ hoặc một hàm được xác định địa phương $\beta$-hầu khắp nơi, hoặc lớp tương đương của một hàm như vậy đối với quan hệ đẳng thức địa phương $\beta$-hầu khắp nơi.

(iii) Nếu hơn nữa, $f \in \mathscr{C}^\infty(X)$ (resp. $\overline{\mathscr{K}(X)}$), thì công thức (3) của No. 1 xác định với mọi $x$ một tích nhân chập $\mu *^\beta f$ thuộc $\mathscr{C}^\infty(X)$ (resp. $\mathscr{K}(X)$).

(iv) *Nếu $f \in \mathscr{K}(X)$, thì tích nhân chập $\mu *^\beta f$ được xác định bởi (3) chính là phần tử $\gamma_\chi(\mu)f$ được xác định bởi biểu diễn liên tục $\gamma_\chi$ của $G$ trong $\overline{\mathscr{K}(X)}$.

Đẳng thức $\chi(st, x) = \chi(s, tx)\chi(t, x)$ kéo theo ngay rằng $\rho(st) \leq \rho(s)\rho(t)$. Mặt khác, $\rho$ là nửa liên tục dưới, vì nó là bao trên của các hàm liên tục.

Cho $\mu \in \mathscr{M}^\rho(G)$. Theo Mệnh đề 1 của No. 1, $\mu$ và 1 là nhân chập được với nhau; Mệnh đề 2 (i) chỉ ra rằng $(|\mu| *^\beta 1)(x) \leq \int_G \rho(s) d|\mu|(s)$ địa phương $\beta$-hầu khắp nơi. Do đó, nếu $f$ là $\beta$-đo được và $|f| \leq 1$, thì $\mu$ và $f$ là nhân chập được với nhau và $N_\infty(\mu *^\beta f) \leq \int \rho(s) d|\mu|(s)$. Hơn nữa, $\mu *^\beta f$ được cho địa phương hầu khắp nơi bởi công thức (3) của No. 1, vì điều kiện (iii) của Mệnh đề 2 của No. 1 được thỏa mãn. Điều này suy ra (ii).

Giả sử $f$ liên tục và bị chặn bởi 1 về giá trị tuyệt đối. Rõ ràng là các tích phân xuất hiện trong (3) tồn tại với mọi $x \in X$. Ta chứng minh rằng chúng phụ thuộc liên tục vào $x$. Ta có thể giả sử $\mu \geq 0$. Cho $x_0 \in X$ và $\varepsilon > 0$. Cho $K$ là một tập con compact của $G$ sao cho $\int_{G - K} \rho(s) d\mu(s) \leq \varepsilon$. Tồn tại một lân cận $V$ của $x_0$ trong $X$ sao cho $x \in V$ kéo theo

với $s \in K$. Khi đó, với $x \in V$,

do đó mệnh đề của chúng ta. Giả sử thêm rằng $f \in \overline{\mathscr{K}(X)}$. Cho $H$ là một tập con compact của $X$ sao cho $|f(y)| \leq \varepsilon$ với $y \notin H$. Cho $x \notin KH$. Khi đó $s^{-1}x \notin H$ với $s \in K$, do đó

điều này hoàn tất chứng minh của (iii).

Cuối cùng, nếu $f \in \mathscr{K}(X)$ thì, vì $\varepsilon_x \in \mathscr{M}^1(X)$ với mọi $x \in X$, ta có

do đó $\gamma_\chi(\mu)f$ là tích chập $\mu *^\beta f$ được định nghĩa bởi (3).

Ta có

theo §2, No. 5, công thức (5). Mặt khác, ánh xạ $s \mapsto \gamma_\chi(s)f$ của $G$ vào $L^p(X, \beta)$ là liên tục (§2, No. 5, Mệnh đề 9). Do đó ánh xạ này là $\mu$-khả tích. Đặt Ta có $\|g\|_p \leq (\int \rho^{1/q}(s) d|\mu|(s)) \|f\|_p$. Áp dụng các nhận xét trước cho $|f|$, ta thấy rằng ánh xạ $s \mapsto \varepsilon_s * |f|$ của $G$ vào $L^p(X, \beta)$ là $\mu$-khả tích, do đó, với mọi $h \in \mathscr{H}(X)$, ánh xạ $s \mapsto \langle h, \varepsilon_s * (|f| \cdot \beta) \rangle$ là $\mu$-khả tích. Mệnh đề 7 của §1, No. 5 khi đó chứng minh rằng $\mu$ và $f \cdot \beta$ là chập được. Hơn nữa, và tích phân cuối cùng này bằng $\langle h, \mu * (f \cdot \beta) \rangle$ theo Mệnh đề 7 của §1, No. 5. Vì vậy ta thấy rằng $g$ là một tích chập của $\mu$ và $f$. Tích chập này được cho địa phương $\beta$-hầu khắp nơi bởi (3), theo Mệnh đề 2 và Nhận xét theo sau nó.

2Đối với một hàm $f$, biểu thức " $f \in L^p(X, \beta)$ " là một lạm dụng ký hiệu, có nghĩa là, tùy theo ngữ cảnh, ký hiệu $f$ được hiểu hoặc là một hàm được xác định $\beta$-hầu khắp nơi, hoặc là lớp tương đương của một hàm như vậy đối với quan hệ đẳng thức $\beta$-hầu khắp nơi. Như vậy $f \in L^p$ có thể biểu diễn hoặc $f \in \mathscr{L}^p$ hoặc $\dot{f} \in L^p$.

Do một lạm dụng ký hiệu, thường một trong các hàm $g$ của mệnh đề được ký hiệu là $\mu *^\beta f$, điều này cho phép viết

Nếu $X$ là đếm được tại vô cùng, kiểu ký hiệu này hơn nữa hoàn toàn được biện minh.

Điều này suy ra từ các Mệnh đề 5 và 6 và tính kết hợp của tích chập.

Vì $g(s, x)$ khả tích đối với $\mu \otimes \nu$, hàm $f(sx)$ là khả tích bản chất đối với $(\chi \cdot \check{\mu}) \otimes \nu$ và $f$ là khả tích bản chất đối với $(\chi \cdot \check{\mu}) * \nu$. Theo định lý Lebesgue–Fubini, $\mu *_{\beta} f = \int g(s, x) d\mu(s)$ là $\nu$-khả tích và