On peut supposer $\mu \geqslant 0$. Soit $F \in \mathscr{H}_+(G \times X)$. On a

Or, la fonction $(s, x) \to F(s, x)\chi(s, x)$ est à support compact et $(\mu \otimes \beta)$-mesurable. D’après le chap. V, § 8, n° 1, prop. 4, l’égalité précédente prouve que cette fonction est $(\mu \otimes \beta)$-intégrable et que

Ceci prouve à la fois les deux assertions du lemme 1.

On peut supposer $f \geqslant 0$ et $\mu \geqslant 0$. Soit $h \in \mathscr{K}_+(X)$. Il s’agit de prouver que la fonction $(s, x) \to h(sx)$ est essentiellement intégrable pour $\mu \otimes (f.\beta) = (1 \otimes f).(\mu \otimes \beta)$ (chap. V, § 8, n° 3, prop. 6), c’est-à-dire que $\int^* h(sx)f(x)d\mu(s)d\beta(x) < +\infty$ (chap. V, § 5, n° 3, prop. 2); il suffira évidemment de prouver qu’il existe $a > 0$ tel que pour toute partie compacte $K$ de $G$, on ait

D’après le lemme 1,

Or la fonction $(s, x) \to h(x)f(s^{-1}x)\varphi_K(s)\chi(s^{-1}, x)$ est $(\mu \otimes \beta)$-mesurable (lemme 1) et à support compact. L’expression précédente est donc égale (chap. V, § 8, n° 1, prop. 4) à

Si $\mu$ et $f$ sont convolables, la fonction $s \to f(s^{-1}x) \chi(s^{-1}, x)$ est essentiellement $\mu$-intégrable sauf pour un ensemble localement $\beta$-négligeable de valeurs de $x$, et l'on a localement $\beta$-presque partout

(3)

Soit $h \in \mathscr{H}(X)$. Puisque $\mu$ et $f$ sont convolables, la fonction $(s, x) \to h(sx)f(x)$ est essentiellement $(\mu \otimes \beta)$-intégrable. D'après le lemme 1, la fonction $(s, x) \to h(x)f(s^{-1}x) \chi(s^{-1}, x)$ est essentiellement $(\mu \otimes \beta)$-intégrable. Sous les hypothèses (i) ou (ii) de l'énoncé, on en déduit que cette fonction est $(\mu \otimes \beta)$-intégrable ; car, dans le premier cas, elle est continue et on applique la prop. 2 du chap. V, § 2, no 1, et dans le second cas, elle est nulle hors d'une réunion dénombrable d'ensembles compacts, et on applique la prop. 3, loc. cit. D'après le théorème de Lebesgue-Fubini,

la fonction $x \to g(x) = \int f(s^{-1}x)\chi(s^{-1}, x)d\mu(s)$ étant en outre localement $\beta$-intégrable. On voit donc que

d'où $g = \mu *^\beta f$.

Supposons maintenant $\mu$ portée par la réunion S d'une suite d'ensembles compacts. La fonction

est essentiellement $(\mu \otimes \beta)$-intégrable, et nulle hors d'une réunion dénombrable d'ensembles compacts, donc $(\mu \otimes \beta)$-intégrable. Comme $\mu = \varphi_S.\mu$, le raisonnement se termine comme précédemment.

(i) $\mu$ et $f$ sont convolables relativement à $\beta$.

(ii) La formule (3) du n° 1 définit pour tout $x \in X$ un produit de convolution $\mu *_{\beta} f$ qui est continu et n’est autre que l’élément $\gamma_x(\mu)f$ défini par la représentation continue $\gamma_x$ de $G$ dans $C(X)$; de plus, l’application $(\mu, f) \to \mu *_{\beta} f$ est hypocontinue relativement aux parties équicontinues de $C'(G)$ et aux parties compactes de $C(X)$.

(iii) Si de plus $f \in \mathscr{K}(X)$ le produit $\mu *_{\beta} f$ de (ii) appartient à $\mathscr{K}(X)$ et l’application $(\mu, f) \to \mu *_{\beta} f$ est hypocontinue relativement aux parties équicontinues de $C'(G)$ et aux parties compactes de $\mathscr{K}(X)$.

On sait que $\mu$ et $f$ sont convolables (§ 3, n° 2, prop. 8 (i)). D’autre part, avec les notations du § 2, on a

puisque $C(X)$ est quasi-complet. En particulier, pour tout $x \in X$, on a

Ceci, joint à la prop. 2, et au § 2, n° 6, prouve (ii). Enfin, si $f \in \mathscr{K}(X)$, $\mu * (f.\beta)$ est à support compact (§ 3, n° 2, prop. 9), donc $\mu *_{\beta} f \in \mathscr{K}(X)$. Considérons la représentation continue $U$ de $G$ dans le complété $\mathscr{K}(X)^{\hat{}}$ obtenue en prolongeant par continuité les opérateurs $\gamma_x(s)$ continus dans $\mathscr{K}(X)$ (§ 2, n° 1, Remarque 3). Soit $S$ le support de $\mu$. Les fonctions $\gamma_x(s)f$, pour $s \in S$, ont leur support contenu dans un ensemble compact fixe $K$. L’ensemble $\mathscr{K}(X, K)$ est un sous-espace vectoriel complet de $\mathscr{K}(X)$. Donc $U(\mu)f \in \mathscr{K}(X)$. On voit alors comme précédemment que $U(\mu)f = \mu *_{\beta} f$, et (iii) résulte encore du § 2, n° 6.

(i) $\mu$ et $f$ sont convolables relativement à $\beta$.

(ii) La formule (3) du n° 1 définit pour tout $x \in X$ un produit de convolution $\mu *_{\beta} f$ qui est continu.

(iii) L’application $(\mu, f) \to \mu *_{\beta} f$ de $\mathscr{M}(G) \times \mathscr{K}(X)$ dans $\mathscr{C}(X)$ est hypocontinue relativement aux parties bornées de $M(G)$ et aux parties compactes de $\mathscr{K}(X)$ qui sont contenues dans un sous-espace $\mathscr{K}(X, L)$ (où $L$ est une partie compacte variable de $X$).

On sait que $\mu$ et $f$ sont convolables ($§ 3$, no 2, prop. 8 (ii)), et il est clair, que les intégrales figurant dans (3) existent pour tout $x \in X$. Soient $K$ et $L$ deux parties compactes de $X$. Il existe une partie compacte $H$ de $G$ telle que les relations $x \in K$ et $s^{-1}x \in L$ entraînent $s \in H$; soit $\varphi \in \mathscr{K}_+(G)$, telle que $\varphi(s) = 1$ pour $s \in H$. On a, pour $f \in \mathscr{K}(X, L)$ et $x \in K$ :

Par suite $\int f(s^{-1}x)\chi(s^{-1}, x)d\mu(s)$ est fonction continue de $x$ et définit un produit de convolution $\mu *^\beta f \in \mathscr{C}(X)$. De plus, l’application $\mu \to \varphi \cdot \mu$ de $M(G)$ dans $\mathscr{C}'(G)$ est continue pour les topologies de la convergence compacte. La prop. 3 (iii) entraîne donc que l’application $(\mu, f) \to \mu *^\beta f$ de $M(G) \times \mathscr{K}(X, L)$ dans $\mathscr{C}(X)$ est, pour toute partie compacte $L$ de $X$, hypocontinue relativement aux parties compactes de $\mathscr{K}(X, L)$. En particulier, l’application $(\mu, f) \to \mu *^\beta f$ de $M(G) \times \mathscr{K}(X)$ dans $\mathscr{C}(X)$ est séparément continue. Comme $\mathscr{K}(X)$ est tonnelé, cette application est hypocontinue relativement aux parties bornées de $M(G)$ (Esp. vect. top., chap. III, § 4, no 2, prop. 6).

(iii) Si de plus $f \in \mathscr{C}^{\infty}(X)$ (resp. $\mathscr{K}(X)$), la formule (3) du n° 1 définit pour tout $x$ un produit de convolution $\mu *_{\beta} f$ qui appartient à $\mathscr{C}^{\infty}(X)$ (resp. $\mathscr{K}(X)$).

(iv) Si $f \in \mathscr{K}(X)$, alors le produit de convolution $\mu *_{\beta} f$ défini par (3) n’est autre que l’élément $\gamma_{x}(\mu)f$ défini par la représentation continue $\gamma_{x}$ de $G$ dans $\mathscr{K}(X)$.

L’identité $\chi(st, x) = \chi(s, tx)\chi(t, x)$ entraîne aussitôt que $\rho(st) \leq \rho(s)\rho(t)$. D’autre part, $\rho$ est semi-continue inférieurement comme enveloppe supérieure de fonctions continues.

Soit $\mu \in \mathscr{M}^{o}(G)$. D’après la prop. 1 du n° 1, $\mu$ et 1 sont convolables ; la prop. 2 montre que $(|\mu| *_{\beta} 1)(x) \leq \int_{G} \rho(s)d|\mu|(s)$ localement $\beta$-presque partout. Donc, si $f$ est $\beta$-mesurable et si $|f| \leq 1$, $\mu$ et $f$ sont convolables et $N_{\infty}(\mu *_{\beta} f) \leq \int \rho(s)d|\mu|(s)$.

De plus, $\mu *_{\beta} f$ est donné localement presque partout par la formule (3) du n° 1, car la condition (iii) de la prop. 2 du n° 1 est satisfaite. Ceci entraîne (ii).

Supposons $f$ continue et bornée par 1 en valeur absolue. Il est clair que les intégrales figurant dans (3) existent pour tout $x \in X$. Montrons qu’elles dépendent continûment de $x$. On peut supposer $\mu \geq 0$. Soient $x_{0} \in X$ et $\varepsilon > 0$. Soit $K$ une partie compacte de $G$ telle que $\int_{G-K} \rho(s)d\mu(s) \leq \varepsilon$. Il existe un voisinage $V$ de $x_{0}$ dans $X$ tel que $x \in V$ implique

pour $s \in K$. Alors, pour $x \in V$, on a

d'où notre assertion. Supposons de plus $f \in \mathscr{K}(X)$. Soit $H$ une partie compacte de $X$ telle que $|f(y)| \leq \varepsilon$ pour $y \notin H$. Soit $x \notin KH$. On a $s^{-1}x \notin H$ pour $s \in K$, donc

ce qui achève de prouver (iii).

Enfin, si $f \in \mathscr{K}(X)$, comme $\varepsilon_x \in \mathscr{M}^1(X)$ pour tout $x \in X$, on a

(i) $\mu$ et $f$ sont convolables ; (ii) le produit de convolution $\mu *^\beta f$ est donné localement $\beta$-presque partout par la formule (3), et est égal localement $\beta$-presque partout à une fonction $g \in L^p(X, \beta)$ telle que $\|g\|_p \leq \|\mu\|_{p^{1/q}} \|f\|_p$; (iii) $g$ est égal à l'élément $\gamma_x(\mu)f$ défini par la représentation continue $\gamma_x$ de $G$ dans $L^p(X, \beta)$.

On a

On a $\|g\|_p \leq \left( \int \rho^{1/q}(s) d|\mu|(s) \right) \|f\|_p$. Appliquant les remarques précédentes à $|f|$, on voit que l’application $s \to \varepsilon_s * |f|$ de G dans $L^p(X, \beta)$ est $\mu$-intégrable, donc que, pour toute $h \in \mathscr{H}(X)$, l’application $s \to \langle h, \varepsilon_s * (|f|.\beta) \rangle$ est $\mu$-intégrable. La prop. 7 du § 1, n° 5, prouve alors que $\mu$ et $f.\beta$ sont convolables. En outre,

et cette dernière intégrale est égale à $\langle h, \mu * (f.\beta) \rangle$ d’après la prop. 7 du § 1, n° 5. On voit donc que $g$ est un produit de convolution de $\mu$ et $f$. Ce produit de convolution est donné localement $\beta$-presque partout par (3) d’après la prop. 2 et la Remarque qui la suit.

Par abus de notation, c’est souvent l’une des fonctions $g$ de l’énoncé qu’on note $\mu *_{\beta} f$, ce qui permet d’écrire

Si $X$ est dénombrable à l’infini, cette manière d’écrire est d’ailleurs entièrement justifiée.

Ceci résulte des prop. 5 et 6 et de l’associativité du produit de convolution.

(i) $\mu$ et $f$ sont convolables et la formule (3) du n° 1 définit localement $\beta$-presque partout un produit de convolution $\mu *_{\beta} f$.

(ii) $\chi . \tilde{\mu}$ et $\nu$ sont convolables.

(iii) La fonction $g(s, x) = f(s^{-1}x)\chi(s^{-1})$ est $(\mu \otimes \nu)$-intégrable. Alors $f$ est essentiellement intégrable pour $(\chi . \tilde{\mu}) * \nu$, la fonction $\mu *_{\beta} f$ définie par (3) est $\nu$-intégrable et l’on a

Puisque $g(s, x)$ est intégrable pour $\mu \otimes \nu$, la fonction $f(sx)$ est essentiellement intégrable pour $(\chi . \tilde{\mu}) \otimes \nu$ et $f$ est essentiellement intégrable pour $(\chi . \tilde{\mu}) * \nu$. D’après le théorème de Lebesgue-Fubini, $\mu *_{\beta} f = \int g(s, x)d\mu(s)$ est $\nu$-intégrable et l’on a