(ii) Si $\lambda$ et $\mu$ sont convolables, ainsi que $|\lambda| * |\mu|$ et $\nu$, alors $\lambda, \mu, \nu$ sont convolables. De même si $\mu$ et $\nu$ sont convolables ainsi que $\lambda$ et $|\mu| * |\nu|$.

Ceci résulte de la prop. 1 du § 1, n° 2.

Il peut exister des mesures $\lambda, \mu, \nu$ sur $G$ telles que les produits de convolution $\lambda * \mu, (\lambda * \mu) * \nu, \mu * \nu, \lambda * (\mu * \nu)$ soient tous définis, et que cependant $(\lambda * \mu) * \nu \neq \lambda * (\mu * \nu)$ (cf. exerc. 4).

Soit $\rho$ une fonction $> 0$ finie semi-continue inférieurement sur $G$ telle que $\rho(st) \leq \rho(s)\rho(t)$ quels que soient $s, t$ dans $G$. On notera $\mathscr{M}^\rho(G)$ l'espace vectoriel des mesures $\lambda$ sur $G$ telles que $\rho$ soit $\lambda$-intégrable, et $||\lambda||_\rho$ (ou simplement $||\lambda||$) la norme $\int_G \rho(s)d|\lambda|(s)$ sur cet espace. Pour $\rho = 1$, on retrouve l'ensemble $\mathscr{M}^1(G)$ des mesures bornées sur $G$.

(ii) Pour la convolution, et pour la norme $||\lambda||$, $\mathscr{M}^\rho(G)$ est une algèbre normée complète admettant l'élément unité $\varepsilon_e$.

(iii) $C'(G)$ est une sous-algèbre de $\mathscr{M}^\rho(G)$.

Soient $\lambda, \mu$ dans $\mathscr{M}^\rho(G)$, et montrons que $\lambda$ et $\mu$ sont convolables. Soit $f \in \mathscr{K}_+(G)$. Comme $\rho$ est $> 0$ et semi-continue inférieurement, il existe une constante $k > 0$ telle que $f \leq k\rho$. On a alors

(chap. V, § 8, n° 2, prop. 5). Donc $f$ est $(\lambda \otimes \mu)$-intégrable, de sorte que $\lambda$ et $\mu$ sont convolables. D'autre part, en utilisant le chap. V (§ 2, prop. 2, § 6, prop. 2, § 8, prop. 5) et le fait que $(s, t) \to \rho(s)\rho(t)$ est semi-continue inférieurement dans $G \times G$, on a

On voit que $\lambda * \mu \in \mathscr{M}^o(G)$ et que $||\lambda * \mu|| \leq ||\lambda||.||\mu||$. Compte tenu de la prop. 1, $\mathscr{M}^o(G)$ est une algèbre. L’application $\lambda \to \rho.\lambda$ est une application linéaire isométrique $\theta$ de $\mathscr{M}^o(G)$ dans $\mathscr{M}^1(G)$; si $\mu \in \mathscr{M}^1(G)$, $1/\rho$, qui est localement bornée et semi-continue supérieurement, est localement $\mu$-intégrable, et $\rho$ est $(1/\rho)$.$\mu$-intégrable, donc $(1/\rho).\mu \in \mathscr{M}^o(G)$; ceci prouve que $\theta$ est surjective; donc $\mathscr{M}^o(G)$ est une algèbre normée complète. Enfin, il est clair que $\varepsilon_e$ est élément unité de $\mathscr{M}^o(G)$ et que $\mathscr{C}'(G)$ est une sous-algèbre de $\mathscr{M}^o(G)$ (§ 1, no 4, cor. de la prop. 5).

Si $\rho = 1$, la prop. 2, (i) et (ii), résulte aussi du § 1, prop. 2.

En effet, soit $S_i$ le support de $\mu_i$, et supposons $S_i$ compact pour $i \neq i_0$. Soit $K$ une partie compacte de $G$. L’ensemble des $(x_1, \ldots, x_n) \in \prod_i S_i$ tels que $x_1 x_2 \ldots x_n \in K$ est compact, car les conditions $x_i \in S_i$ pour tout $i$, $x_1 x_2 \ldots x_n \in K$ impliquent

Donc les $\mu_i$ sont convolables (§ 1, no 4, prop. 4).

Ceci résulte des prop. 1 et 3.

On peut supposer $\mu \geqslant 0$. Soit $f \in \mathscr{K}_+(G)$. Lorsque $\lambda$ est une mesure de Haar à gauche, on a

donc la fonction $(x, y) \to f(xy)$ est $(\mu \otimes \lambda)$-intégrable, et son intégrale pour $\mu \otimes \lambda$ est $\lambda(f) \| \mu \|$. On raisonne de même quand $\lambda$ est une mesure de Haar à droite.

Soit $f \in \mathscr{K}(G)$. Alors $f \chi \in \mathscr{K}(G)$, donc la fonction

sur $G \times G$ est intégrable pour $\mu \otimes \nu$; donc la fonction $(x, y) \to f(xy)$ est intégrable pour $(\chi . \mu) \otimes (\chi . \nu)$; donc $\chi . \mu$ et $\chi . \nu$ sont convolables. En outre,

d'où $(\chi . \mu) * (\chi . \nu) = \chi . (\mu * \nu)$.

(i) $u$ est $\mu_i$-propre pour tout $i$, et les mesures $u(|\mu_i|)$ sont convolables ; (ii) les $\mu_i$ sont convolables et $u$ est propre pour $*_{i}(|\mu_i|)$.

Lorsque ces conditions sont vérifiées, on a

Ceci résulte de la prop. 7 en considérant l’isomorphisme $x \to x^{-1}$ de G sur le groupe opposé.

Ceci résulte de la prop. 8, et du § 1, prop. 1, 3, et cor. de la prop. 5.

Soit K une partie compacte $\beta$-négligeable de X. Alors K est $\gamma(s)|\nu|$-négligeable pour tout $s \in G$. Or

(§ 1, n° 5, prop. 7), et l’application $s \to \varepsilon_s * |\nu|$ est vaguement continue (§ 2, prop. 6). Donc K est $|\mu| * |\nu|$-négligeable d’après le chap. V, § 3, n° 4, th. 1. Donc $|\mu| * |\nu|$ est de base $\beta$ (chap. V, § 5, n° 5, Remarque).

(i) Si $\lambda \in \mathscr{C}'(G)$, $\mu \in \mathscr{C}'(G)$, on a $U(\lambda * \mu) = U(\lambda)U(\mu)$.

(ii) Supposons que E soit un espace de Banach, et soit $\rho(s) = \|U(s)\|$ pour $s \in G$. Si $\lambda \in \mathscr{M}^\circ(G)$, $\mu \in \mathscr{M}^\circ(G)$, on a $U(\lambda * \mu) = U(\lambda)U(\mu)$.

Soient $\lambda, \mu$ dans $\mathscr{C}'(G)$. Quel que soit $x \in E$, on a, en appliquant notamment les prop. 1 et 4 du chap. VI, § 1, n° 1

d’où (i). Un raisonnement analogue s’applique dans le cas (ii).

Soit toujours G un groupe localement compact, et supposons que G opère continûment à gauche dans un espace localement compact X. Ceci définit (§ 2, n° 4) une représentation linéaire continue $\gamma$ de G dans $\mathscr{M}(X)$ (muni de la topologie de la convergence compacte dans $\mathscr{K}(X)$).

D’après la prop. 7 du § 1, n° 5, on a

Or $\varepsilon_s * \mu = \gamma(s)\mu$ (n° 2, formule (5)), et

par définition de $\gamma(\lambda)$.

En effet, $\mathscr{M}(X)$, muni de la topologie de la convergence compacte dans $\mathscr{K}(X)$, est quasi-complet. Donc l’application $(\lambda, \mu) \to \gamma(\lambda)\mu$ de $\mathscr{C}'(G) \times \mathscr{M}(X)$ dans $\mathscr{M}(X)$ est hypocontinue relativement aux parties équicontinues de $\mathscr{C}'(G)$ et aux parties compactes de $\mathscr{M}(X)$ (§ 2, n° 6). Il suffit alors d’appliquer la prop. 12.

Comme $\gamma(s)\mu = \gamma(ss_0^{-1})\gamma(s_0)\mu$, il résulte de la Remarque 1 qu’il suffit de prouver la continuité de l’application considérée en un point de la forme $(e, \mu_0)$ avec $\mu_0 \in \mathscr{M}_+(X)$. Etant donnés une fonction $f \in \mathscr{K}(X)$ et un nombre $\varepsilon > 0$, il s’agit donc de montrer qu’il existe un voisinage U de $e$ dans $G$ et un voisinage W de $\mu_0$ dans $\mathscr{M}_+(X)$ tels que les relations $s \in U, \mu \in W$ entraînent

Soit V un voisinage compact du support K de $f$ dans X, et soit $\varphi \in \mathscr{K}_+(X)$ telle que $\varphi(x) = 1$ dans V ; il existe un voisinage $W_0$ de $\mu_0$ dans $\mathscr{M}_+(X)$ tel que $a = \sup_{\mu \in W_0} \mu(V)$ soit fini : il suffit de prendre pour $W_0$ l’ensemble des $\mu \in \mathscr{M}_+(X)$ telles que $|\langle \varphi, \mu - \mu_0 \rangle| \leq 1$. Comme l’application $(s, x) \to sx$ est continue, il y a d'autre part un voisinage compact $U_0$ de $e$ dans $G$ tel que $sK \subset V$ pour tout $s \in U_0$; la fonction $(s, x) \to f(sx)$ est alors uniformément continue dans $U_0 \times V$ et il y a donc un voisinage $U \subset U_0$ de $e$ tel que $|f(sx) - f(x)| \leq \varepsilon/2a$ pour tout $s \in U$ et tout $x \in V$. Pour $s \in U$ et $\mu \in W_0$, on a donc

si $W \subset W_0$ est le voisinage de $\mu_0$ dans $\mathscr{M}_+(X)$ formé des mesures $\mu \in W_0$ telles que $\left| \int f(x)d\mu(x) - \int f(x)d\mu_0(x) \right| \leq \varepsilon/2$, $U$ et $W$ répondent à la question.