(i) Nếu $\lambda, \mu, \nu$ chập được với nhau, thì $\lambda$ và $\mu$, $|\lambda| * |\mu|$ và $\nu$, $\mu$ và $\nu$, $\lambda$ và $|\mu| * |\nu|$ cũng chập được với nhau, và ta có

(ii) Nếu $\lambda$ và $\mu$ có thể lấy tích chập, cũng như $|\lambda| * |\mu|$ và $\nu$, thì $\lambda, \mu, \nu$ có thể lấy tích chập. Tương tự nếu $\mu$ và $\nu$ có thể lấy tích chập, cũng như $\lambda$ và $|\mu| * |\nu|$.

Điều này suy ra từ Mệnh đề 1 của §1, No. 2.

Có thể tồn tại các độ đo $\lambda, \mu, \nu$ trên G sao cho các tích chập $\lambda * \mu$, $(\lambda * \mu) * \nu$, $\mu * \nu$, $\lambda * (\mu * \nu)$ đều được xác định, nhưng $(\lambda * \mu) * \nu \neq \lambda * (\mu * \nu)$ (xem Bài tập 4).

Cho $\rho$ là một hàm hữu hạn nửa liên tục dưới $> 0$ trên $G$ sao cho $\rho(st) \leq \rho(s)\rho(t)$ với mọi $s, t$ trong $G$. Ta ký hiệu bởi $\mathscr{M}^\rho(G)$ không gian vectơ các độ đo $\lambda$ trên $G$ sao cho $\rho$ khả tích đối với $\lambda$, và bởi $\| \lambda \|_\rho$ (hoặc đơn giản là $\| \lambda \|$) chuẩn $\int_G \rho(s) d|\lambda|(s)$ trên không gian này. Khi $\rho = 1$, ta thu được tập hợp $\mathscr{M}^1(G)$ các độ đo bị chặn trên $G$.

Cho $\lambda, \mu$ thuộc $\mathscr{M}^\rho(G)$, và ta sẽ chỉ ra rằng $\lambda$ và $\mu$ có thể chập được. Cho $f \in \mathscr{K}_+(G)$. Vì $\rho$ là $> 0$ và nửa liên tục dưới, tồn tại một hằng $k > 0$ sao cho $f \leq k\rho$. Khi đó

(Ch. V, §8, No. 3, Hệ quả 1 của Mệnh đề 8). Do đó $(s,t) \mapsto f(st)$ là khả tích đối với $(\lambda \otimes \mu)$, suy ra $\lambda$ và $\mu$ chập được. Mặt khác, dùng Ch. V (§1, Mệnh đề 4, §6, Mệnh đề 2, §8, Hệ quả 1 của Mệnh đề 8) và sự kiện rằng $(s,t) \mapsto \rho(s)\rho(t)$ là nửa liên tục dưới trên $G \times G$, ta có

Ta thấy rằng $\lambda * \mu \in \mathscr{M}^\rho(G)$ và $\| \lambda * \mu \| \leq \| \lambda \| \cdot \| \mu \|$. Theo Mệnh đề 1, $\mathscr{M}^\rho(G)$ là một đại số. Ánh xạ $\lambda \mapsto \rho \cdot \lambda$ là một ánh xạ tuyến tính đẳng cự $\theta$ từ $\mathscr{M}^\rho(G)$ vào $\mathscr{M}^1(G)$; nếu $\mu \in \mathscr{M}^1(G)$ thì $1/\rho$, vốn bị chặn địa phương và nửa liên tục trên, là khả tích địa phương đối với $\mu$, và $\rho$ là khả tích đối với $(1/\rho) \cdot \mu$, do đó $(1/\rho) \cdot \mu \in \mathscr{M}^\rho(G)$; điều này chứng tỏ rằng $\theta$ là toàn ánh; vì thế $\mathscr{M}^\rho(G)$ là một đại số định chuẩn đầy đủ. Sau hết, hiển nhiên là $\varepsilon_e$ là một phần tử đơn vị của $\mathscr{M}^\rho(G)$ và $\mathscr{C}'(G)$ là một đại số con của $\mathscr{M}^\rho(G)$ (§1, No. 4, Hệ quả của Mệnh đề 5).

Nếu $\rho = 1$, Mệnh đề 2, (i) và (ii) cũng suy ra từ §1, Mệnh đề 2.

Thật vậy, gọi $S_i$ là giá của $\mu_i$, và giả sử rằng $S_i$ là compắc với $i \neq i_0$. Cho K là một tập con compắc của G. Tập hợp các $(x_1, \ldots, x_n) \in \prod_i S_i$ sao cho $x_1 x_2 \cdots x_n \in K$ là compắc, vì các điều kiện $x_i \in S_i$ với mọi $i$, $x_1 x_2 \cdots x_n \in K$ kéo theo

Vậy các $\mu_i$ là khả chập (§1, No. 4, Mệnh đề 4).

Điều này suy ra từ các Mệnh đề 1 và 3.

Ta có thể giả sử rằng $\mu \geqslant 0$. Cho $f \in \mathscr{K}_+(G)$. Khi $\lambda$ là một độ đo Haar trái,

do đó hàm $(x, y) \mapsto f(xy)$ là khả tích đối với $(\mu \otimes \lambda)$, và tích phân của nó đối với $\mu \otimes \lambda$ là $\lambda(f)\|\mu\|$. Ta lập luận tương tự khi $\lambda$ là một độ đo Haar phải.

Cho $f \in \mathscr{K}(G)$. Khi đó $f\chi \in \mathscr{K}(G)$, do đó hàm

trên $G \times G$ là khả tích đối với $\mu \otimes \nu$; do đó hàm $(x, y) \mapsto f(xy)$ là khả tích đối với $(\chi \cdot \mu) \otimes (\chi \cdot \nu)$; do đó $\chi \cdot \mu$ và $\chi \cdot \nu$ là khả hợp chập. Hơn nữa,

do đó $(\chi \cdot \mu) * (\chi \cdot \nu) = \chi \cdot (\mu * \nu)$.

Điều này suy ra từ §1, No. 2, Hệ quả của Mệnh đề 1.

Điều này suy ra từ Mệnh đề 7 khi xét đẳng cấu $x \mapsto x^{-1}$ của G lên nhóm đối.

Vẫn với G là một nhóm địa phương compact, giả sử rằng G tác động liên tục bên trái trên một không gian địa phương compact X. Điều này xác định (§2, No. 4) một biểu diễn tuyến tính liên tục $\gamma$ của G trong $\mathscr{M}(X)$ (được trang bị tôpô hội tụ compact trong $\mathscr{H}(X)$).

Theo Mệnh đề 7 của §1, No. 5,

Bây giờ, $\varepsilon_s * \mu = \gamma(s)\mu$ (No. 2, công thức (5)) và

theo định nghĩa của $\gamma(\lambda)$.

Thật vậy, $\mathscr{M}(X)$, được trang bị tôpô hội tụ compact trong $\mathscr{H}(X)$, là gần đầy đủ. Do đó ánh xạ $(\lambda, \mu) \mapsto \gamma(\lambda)\mu$ từ $\mathscr{C}'(G) \times \mathscr{M}(X)$ vào $\mathscr{M}(X)$ là hypocontinuous đối với các tập con đẳng liên tục của $\mathscr{C}'(G)$ và các tập con compact của $\mathscr{M}(X)$ (§2, No. 6). Khi đó chỉ cần áp dụng Mệnh đề 12.

Vì $\gamma(s)\mu = \gamma(ss_0^{-1})\gamma(s_0)\mu$, suy ra từ Nhận xét 1 rằng chỉ cần chứng minh tính liên tục của ánh xạ đang xét tại một điểm có dạng $(e, \mu_0)$ với $\mu_0 \in \mathscr{M}_+(X)$. Cho một hàm $f \in \mathscr{K}(X)$ và một số $\varepsilon > 0$, khi đó vấn đề là chỉ ra rằng tồn tại một lân cận U của e trong G và một lân cận W của $\mu_0$ trong $\mathscr{M}_+(X)$ sao cho các quan hệ $s \in U, \mu \in W$ kéo theo

Cho V là một lân cận compact của giá đỡ K của $f$ trong X, và cho $\varphi \in \mathscr{K}_+(X)$ sao cho $\varphi(x) = 1$ trên V; tồn tại một lân cận $W_0$ của $\mu_0$ trong $\mathscr{M}_+(X)$ sao cho $a = \sup_{\mu \in W_0} \mu(V)$ là hữu hạn: chỉ cần lấy $W_0$ là tập hợp các $\mu \in \mathscr{M}_+(X)$ sao cho $|\langle \varphi, \mu - \mu_0 \rangle| \leq 1$. Vì ánh xạ $(s, x) \mapsto sx$ là liên tục, mặt khác tồn tại một lân cận compact $U_0$ của e trong G sao cho $sK \subset V$ với mọi $s \in U_0$; khi đó hàm $(s, x) \mapsto f(sx)$ liên tục đều trên $U_0 \times V$ và do đó tồn tại một lân cận $U \subset U_0$ của e sao cho $|f(sx) - f(x)| \leq \varepsilon / 2a$ với mọi $s \in U$ và $x \in V$. Do đó, với $s \in U$ và $\mu \in W_0$, ta có

nếu $W \subset W_0$ là lân cận của $\mu_0$ trong $\mathscr{M}_+(X)$ được tạo bởi các độ đo $\mu \in W_0$ sao cho $\left| \int f(x)\, d\mu(x) - \int f(x)\, d\mu_0(x) \right| \leq \varepsilon / 2$, thì U và W thỏa mãn các yêu cầu.