Với mọi tập con compact $K$ của $G$, $U(K)$ là compact đối với tôpô hội tụ từng điểm (Nhận xét 1), do đó là đẳng liên tục (TVS, III, §4, No. 2, Định lý 1); khi ấy áp dụng Nhận xét 2.

Tồn tại một tập con mở khác rỗng U của G sao cho $\rho$ bị chặn trên trên U (GT, IX, §5, No. 4, Định lý 2). Cho K là một tập con compact của G. Khi đó K được phủ bởi một số hữu hạn các tập $s_1U, \ldots, s_nU$. Với mọi $x \in U$, ta có $\rho(s_ix) \leqslant \rho(s_i)\rho(x)$, do đó $\rho$ bị chặn trên trên các $s_iU$, suy ra trên K.

Gọi B là quả cầu đơn vị của E. Khi đó $g(s) = \sup_{x \in B \cap A} \|U(s)x\|$, và mỗi hàm số $s \mapsto \|U(s)x\|$ đều liên tục trên G, do đó $g$ là nửa liên tục dưới. Mặt khác,

Thật vậy, $\|U(s)\|$ bị chặn trên trên mọi tập con compact của G theo các Bổ đề 1 và 2, rồi khi ấy áp dụng Nhận xét 2.

Rõ ràng chỉ cần xét trường hợp X là compact. Cho $(x_0, f_0) \in X \times \mathscr{C}(Z)$, K là một tập con compact của Y, và $\varepsilon > 0$. Đặt $K' = \varphi(X \times K)$. Vì $f_0 \circ \varphi$ là liên tục đều trong $X \times K$, tồn tại một lân cận W của $x_0$ sao cho $|f_0(\varphi(x,y)) - f_0(\varphi(x_0,y))| \leq \varepsilon$ với $x \in W$ và $y \in K$. Mặt khác, nếu lấy $f \in \mathscr{C}(Z)$ sao cho $|f(z) - f_0(z)| \leq \varepsilon$ với mọi $z \in K'$, ta sẽ có $|f(\varphi(x,y)) - f_0(\varphi(x,y))| \leq \varepsilon$ với $x \in X, y \in K$, và do đó $|f(\varphi(x,y)) - f_0(\varphi(x_0,y))| \leq 2\varepsilon$ với $x \in W, y \in K$. Do đó có bổ đề.

Bây giờ ta trở lại các ký hiệu trước đây.

Mệnh đề (i) là ngay lập tức. Mệnh đề (ii) suy ra từ Bổ đề 3 trong đó đã lấy $X = G, Y = Z = E, \varphi(s, x) = U(s)x$.

Ánh xạ $(s, f) \mapsto (s, \gamma(s)f)$ của $G \times C(X)$ vào $G \times C(X)$ là liên tục (No. 2, Bổ đề 3). Mặt khác, ánh xạ $(s, f) \mapsto \chi(s, \cdot)f$ của $G \times C(X)$ vào $C(X)$ là liên tục; vì, nếu s tiến tới $s_0$ trong G, thì $\chi(s, \cdot)$ tiến tới $\chi(s_0, \cdot)$ đều trên mọi tập con compact của X; nếu hơn nữa, $f$ tiến tới $f_0$ trong $C(X)$, thì $\chi(s, \cdot)f$ tiến tới $\chi(s_0, \cdot)f_0$ đều trên mọi tập con compact của X, do đó mệnh đề của chúng ta. Vì vậy biểu diễn $\gamma_\chi$ của G trong $C(X)$ là liên tục.

Ta hãy chứng minh rằng biểu diễn $\gamma_\chi$ của G trong $K(X)$ là liên tục. Vì $K(X)$ là giới hạn trực tiếp của các không gian Banach, nó là barreled (TVS, III, §4, No. 1, Hệ quả 3 của Mệnh đề 3), do đó chỉ cần chứng minh rằng $\gamma_\chi$ là liên tục riêng (No. 1, Mệnh đề 1). Bây giờ, cho H là một tập con compact của X và cho $s_0 \in G$. Cho V là một lân cận compact của $s_0$ trong G, và đặt L = VH, là compact trong X. Với mọi $f \in K(X, H)$, giá của $\gamma_\chi(s_0)f$ được chứa trong L, và

do đó $f \mapsto \gamma_\chi(s_0)f$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục của $K(X, H)$ vào $K(X, L)$; suy ra rằng $f \mapsto \gamma_\chi(s_0)f$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục của $K(X)$ vào chính nó (TVS, II, §4, No. 4, Mệnh đề 5). Mặt khác, tôpô của $K(X, L)$ được cảm sinh bởi tôpô của $C(X)$. Theo điều đã được chứng minh, ánh xạ $s \mapsto \gamma_\chi(s)f$ của V vào $K(X, L)$ là liên tục. Điều này hoàn tất chứng minh rằng $\gamma_\chi$ là liên tục riêng.

Hiển nhiên rằng $\gamma_\chi$ giữ ổn định $\overline{K(X)}$ và mỗi ánh xạ $\gamma_\chi(s)$ là liên tục trong $\overline{K(X)}$. Mặt khác, với mọi $f \in K(X)$, $s \mapsto \gamma_\chi(s)f$ là một ánh xạ liên tục của G vào $K(X)$ và a fortiori vào $\overline{K(X)}$. Do đó biểu diễn $\gamma_\chi$ trong $\overline{K(X)}$ là liên tục (No. 1, Mệnh đề 2).

Cho $f \in \mathscr{K}(X)$. Khi $s$ tiến tới $s_0$ trong $G$, $\gamma_{\chi,p}(s)f$ tiến tới $\gamma_{\chi,p}(s_0)f$ trong $\mathscr{K}(X)$, do đó trong $L_C^p(X, \beta)$. Vì các $\gamma_{\chi,p}(s)$ là đẳng cự, Mệnh đề 8 thu được bằng cách áp dụng Nhận xét 2 của No. 1.

Đối với trường hợp không giả thiết $\chi$ liên tục, xem §4, Bài tập 13.

Cho $f \in \mathscr{L}_C^p(X, \beta)$. Khi đó

do đó $\gamma_\chi(s)f \in \mathscr{L}_C^p(X, \beta)$, và (5) trong đó $q$ ký hiệu số mũ liên hợp với $p$. Nếu $f \in \mathscr{K}(X)$, thì $\gamma_{\chi}(s)f$ tiến tới $\gamma_{\chi}(s_0)f$ trong $\mathscr{K}(X)$, do đó trong $\mathscr{L}_C^p(X, \beta)$, khi $s$ tiến tới $s_0$. Vậy biểu diễn $\gamma_{\chi}$ của $G$ trong $L_C^p(X, \beta)$ là liên tục (No. 1, Mệnh đề 2).

Các tính chất tương tự như các tính chất của các Số 3, 4, 5 vẫn đúng nếu $G$ tác động ở phải trên $X$.

Đặc biệt, nếu ta coi $G$ như tác động lên chính nó bởi các phép tịnh tiến trái hoặc phải, và nếu lấy $\chi = 1$, thì ta thu được các biểu diễn chính quy trái và chính quy phải của $G$ trong $\mathscr{C}(G)$, $\mathscr{K}(G)$, $\overline{\mathscr{K}}(G)$, $\mathscr{C}'(G)$, $\mathscr{M}(G)$, $\mathscr{M}^1(G)$. Nếu lấy $\beta$ là một độ đo Haar trái (resp. phải) trên $G$, và nếu lấy $\chi = 1$, thì ta thu được biểu diễn chính quy trái (resp. phải) của $G$ trong $L_C^p(G, \beta)$.

Khi đó bộ lọc $\mathfrak{F}$ hội tụ tới $\varepsilon_a$ trong $\mathscr{M}(T)$ được trang bị tôpô hội tụ compact trên $\mathscr{H}(T)$.

Theo giả thiết (i), $M$ là một tập con đồng liên tục của $\mathscr{M}(T)$ vì nó bị chặn mơ hồ và $\mathscr{H}(T)$ là thùng (TVS, III, §4, No. 2, Định lý 1). Do đó chỉ cần (GT, X, §2, No. 4, Định lý 1) chứng minh rằng nếu $f \in \mathscr{H}(T)$, thì $\lim_{\mu,\mathfrak{F}} \mu(f) = f(a)$. Gọi $K$ là hợp của $V$ và giá của $f$; nếu $K'$ là bao đóng của $K - V$, ta có

vì $K'$ là compact và không chứa $a$, từ đó suy ra $\lim_{\mu,\mathfrak{F}} \mu(K) = 1$. Cho $\varepsilon > 0$, và gọi $W$ là một lân cận mở của $a$ trong $K$ sao cho $|f(t) - f(a)| \leq \varepsilon$ với $t \in W$; ta có thể viết

tích phân trên $K$ có thể được viết thành tổng của các tích phân tương tự trên $W$ và $K - W$; nếu $C = \sup |f|$, do đó ta có

Vì số hạng thứ nhất và thứ ba ở vế phải tiến tới 0 đối với $\mathfrak{F}$, ta thấy rằng thật vậy $\lim_{\mu,\mathfrak{F}} \mu(f) = f(a)$.

Thật vậy, ánh xạ hạn chế từ $\mathscr{C}(T)$ vào $\mathscr{C}(K_0)$ là liên tục; do đó, nếu $H$ là một tập con compắc của $\mathscr{C}(T)$, thì các hạn chế trên $K_0$ của các hàm trong $H$ tạo thành một tập con compắc của $\mathscr{C}(K_0)$. Khi đó chỉ cần áp dụng Bổ đề 4 sau khi thay thế $T$ bằng $K_0$.

Điều này suy ra từ Hệ quả 1, và Mệnh đề 14 của Ch. VI, §1, No. 6.

Ánh xạ $s \mapsto U(s)x$ từ $G$ vào $E$ là liên tục. Theo Hệ quả 2, $U(a)x = \lim_V \int (U(s)x) \cdot f_V(s)\, d\beta(s)$ đối với bộ lọc tiết diện của $\mathscr{B}$, nghĩa là, $U(a)x = \lim_V U(f_V \cdot \beta)x$.

Phần thứ nhất của (ii) là ngay lập tức, vì các hạn chế của các $U(s)$ lên $F$ ($s \in G$) xác định một biểu diễn tuyến tính liên tục của $G$ trong không gian lồi địa phương quasi-đầy đủ $F$. Phần thứ hai của (ii), và (i), suy ra từ Hệ quả 3 của Bổ đề 4.