Ta có thể giả sử rằng các $\mu_i$ là dương và $n = 2$. Cho $f_1 \in \mathscr{K}_+(Y_1)$. Vì $\mu_2 \neq 0$, tồn tại một $f_2 \in \mathscr{K}_+(Y_2)$ sao cho $f_2 \circ \varphi_2$ không phải là $\mu_2$-không đáng kể. Hàm $(x_1, x_2) \mapsto f_1(\varphi_1(x_1)) f_2(\varphi_2(x_2))$ hầu khắp khả tích đối với $\mu$ và liên tục, nên khả tích đối với $\mu$. Do đó tồn tại một $x_2 \in X_2$ sao cho $f_2(\varphi_2(x_2)) \neq 0$ và sao cho hàm $x_1 \mapsto f_1(\varphi_1(x_1)) f_2(\varphi_2(x_2))$ khả tích đối với $\mu_1$. Do đó $f_1 \circ \varphi_1$ khả tích đối với $\mu_1$,

²Bổ đề này suy ra bằng quy nạp theo phần b) của Mệnh đề 11 đã dẫn, tức là trường hợp $n = 2$; kết quả tương ứng trong ấn bản thứ nhất của Ch. V (§8, No. 3, Mệnh đề 7) không bao gồm kết quả của phần b).

điều đó chứng tỏ rằng $\varphi_1$ là $\mu_1$-thực sự. Ta lập luận tương tự đối với $\varphi_2$. Khi đó $\varphi(\mu) = \bigotimes_i \varphi_i(\mu_i)$ theo Mệnh đề 11 của Ch. V, §8, No. 5.

Bổ đề sau hoàn tất Mệnh đề 4 của Ch. V, §6, No. 3.\footnote{Mệnh đề của bổ đề này thực ra là phần b) của Mệnh đề 4 đã dẫn, một phần đã không được đưa vào trong ấn bản thứ nhất của Ch. V.}

Cho K' là một tập con compắc của T'. Khi đó $K'' = \pi'(K')$ là compắc, do đó $\pi''(K'')$ là khả tích thiết yếu đối với $\mu$, do đó $\pi^{-1}(K') \subset \pi''(K'')$ là khả tích thiết yếu đối với $\mu$, vì thế $\pi$ là $\mu$-thực sự. Khi đó $\pi'$ là $\pi(\mu)$-thực sự và $\pi''(\mu) = \pi'(\pi(\mu))$ theo Ch. V, §6, No. 3, Mệnh đề 4.

(ii) Giả sử $\psi$ và các $\varphi_i$ liên tục, và cho các $\mu_{ij}$ là những độ đo $\neq 0$ lần lượt cho trên các $X_{ij}$ và khả hợp đối với $(\psi \circ \varphi)$; khi đó, với mỗi i, các $\mu_{ij}$ ($1 \leq j \leq n_i$) là khả hợp đối với $\varphi_i$, các độ đo $*_j |\mu_{ij}|$ là khả hợp đối với $\psi$, và công thức (3) đúng.

Chỉ cần xét trường hợp tất cả các độ đo đang nói đến đều $\geq 0$.

Hãy đặt mình dưới các giả thiết của (i). Ánh xạ $\varphi$ là thực sự đối với $\bigotimes_{i,j} \mu_{ij}$, và

(Ch. V, §8, No. 5, Mệnh đề 11). Ánh xạ $\psi \circ \varphi$ là thực sự đối với $\bigotimes_{i,j} \mu_{ij}$, và

Ta đặt mình dưới các giả thiết của (ii). Trước hết, Bổ đề 2 chứng minh rằng $\varphi$ là thực sự đối với $\bigotimes_{i,j} \mu_{ij}$. Khi đó Bổ đề 1 chứng minh rằng với mọi $i$, $\varphi_i$ là thực sự đối với $\bigotimes_j \mu_{ij}$, và rằng

Hơn nữa, khi các khẳng định này được kiểm chứng,

Thật vậy, đặt $h = \varphi' \circ f = g \circ \varphi$. Theo Mệnh đề 1, mỗi điều kiện (i) và (ii) đều tương đương với điều kiện sau: (iii) các $\mu_i$ là $h$-khả chập. Khi điều đó xảy ra,

Thật vậy, cho $K$ là một tập con compact của $Y$. Giá của $\mu = \mu_1 \otimes \cdots \otimes \mu_n$ là $S = \prod_i S_i$ (Ch. III, §4, No. 2, Prop. 2). Do đó $\overline{\varphi}(K) \cap \left( \prod_i X_i - S \right)$ là $\mu$-không đáng kể. Mặt khác, $\overline{\varphi}(K) \cap S$ là compact. Vậy $\overline{\varphi}(K)$ là $\mu$-khả tích.

b) Nếu $\varphi$ liên tục và các $\mu_i$ là dương, thì giá của $*_{i} \mu_i$ là bao đóng của $\varphi \left( \prod_i S_i \right)$.

Đặt $S = \prod_i S_i$ là giá của $\mu$. Giá của $*_{i} \mu_i$ được chứa trong $\overline{\varphi(S)}$ theo Ch. V, §6, No. 2, Cor. 3 of Prop. 2. Nếu $\varphi$ liên tục và các $\mu_i$ là dương, thì giá của $*_{i} \mu_i$ là $\overline{\varphi(S)}$ (loc. cit., Cor. 4 of Prop. 2).

Nói rằng $\lambda$ và $\mu$ là $\varphi$-chập được có nghĩa là, với mọi $f \in \mathscr{H}(Z)$, $f \circ \varphi$ là $(\lambda \otimes \mu)$-khả tích, tức là, với mọi $f \in \mathscr{H}(Z)$ hàm $(x, y) \mapsto \langle f, \varepsilon_{\varphi(x,y)} \rangle$ là $(\lambda \otimes \mu)$-khả tích, hay lại nữa, ánh xạ $(x, y) \mapsto \varepsilon_{\varphi(x,y)}$ từ $X \times Y$ vào $\mathscr{M}(Z)$ là khả tích vô hướng theo $(\lambda \otimes \mu)$ đối với $\sigma(\mathscr{M}(Z), \mathscr{K}(Z))$. Nếu đúng như vậy, thì

do đó $\lambda * \mu = \int_{X \times Y} \varepsilon_{\varphi(x,y)} d\lambda(x) d\mu(y)$.

Giả sử rằng $\lambda$ và $\mu$ là $\varphi$-khả chập. Với mọi $f \in \mathscr{K}(Z)$, $f \circ \varphi$ là $(|\lambda| \otimes |\mu|)$-khả tích, do đó hàm $x \mapsto \int_Y f(\varphi(x, y)) d|\mu|(y) = \langle f, \varepsilon_x * |\mu| \rangle$ (mà theo giả thiết được xác định với mọi $x \in X$) là $\lambda$-khả tích; vì thế $x \mapsto \varepsilon_x * |\mu|$ là khả tích vô hướng theo $\lambda$ đối với $\sigma(\mathscr{M}(Z), \mathscr{K}(Z))$, và

do đó $\lambda * \mu = \int_X (\varepsilon_x * \mu) d\lambda(x)$. Ngược lại, giả sử rằng ánh xạ $x \mapsto \varepsilon_x * |\mu|$ từ X vào $\mathscr{M}(Z)$ là khả tích vô hướng đối với $\lambda$ cho $\sigma(\mathscr{M}(Z), \mathscr{K}(Z))$. Cho $f \in \mathscr{K}_+(Z)$. Khi đó hàm $(x, y) \mapsto f(\varphi(x, y))$ là liên tục và (Ch. V, §8, No. 3, Prop. 5)

Vậy $f \circ \varphi$ là khả tích đối với $(\lambda \otimes \mu)$, suy ra $\lambda$ và $\mu$ là $\varphi$-khả chập.