On peut supposer les $\mu_i$ positives et $n = 2$. Soit $f_1 \in \mathscr{K}_+(Y_1)$. Puisque $\mu_2 \neq 0$, il existe $f_2 \in \mathscr{K}_+(Y_2)$ telle que $f_2 \circ \varphi_2$ ne soit pas $\mu_2$-négligeable. La fonction $(x_1, x_2) \to f_1(\varphi_1(x_1))f_2(\varphi_2(x_2))$ est essentiellement $\mu$-intégrable et continue, donc $\mu$-intégrable. Donc il existe $x_2 \in X_2$ tel que $f_2(\varphi_2(x_2)) \neq 0$ et que la fonction $x_1 \to f_1(\varphi_1(x_1))f_2(\varphi_2(x_2))$ soit $\mu_1$-intégrable. Donc $f_1 \circ \varphi_1$ est $\mu_1$-intégrable, ce qui prouve que $\varphi_1$ est $\mu_1$-propre. On raisonne de même pour $\varphi_2$. On a $\varphi(\mu) = \bigotimes_i \varphi_i(\mu_i)$ d’après la prop. 7 du chap. V, § 8, no 3.

Le lemme suivant complète la prop. 4 du chap. V, § 6, no 3.

Soit $K'$ une partie compacte de $T'$. Alors $K'' = \pi'(K')$ est compact, donc ${\pi''}^{-1}(K'')$ est essentiellement $\mu$-intégrable, donc $\pi^{-1}(K') \subset {\pi''}^{-1}(K'')$ est essentiellement $\mu$-intégrable, de sorte que $\pi$ est $\mu$-propre. Alors $\pi'$ est $\pi(\mu)$-propre et $\pi''(\mu) = \pi'(\pi(\mu))$ d’après le chap. V, § 6, no 3, prop. 4.

(i) Soient $\mu_{ij}$ des mesures respectivement données sur les $X_{ij}$, telles que, pour chaque $i$, les $\mu_{ij}$ ($1 \leq j \leq n_i$) soient $\varphi_i$-convolables et que les mesures $*_{i} |\mu_{ij}|$ soient $\psi$-convolables ; alors les $\mu_{ij}$, pour $1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n_i$, sont $(\psi \circ \varphi)$-convolables et l’on a

(ii) Supposons $\psi$ et les $\varphi_i$ continues, et soient $\mu_{ij}$ des mesures toutes $\neq 0$, respectivement données sur les $X_{ij}$, et $(\psi \circ \varphi)$-convolables ; alors, pour chaque $i$, les $\mu_{ij}$ ($1 \leq j \leq n_i$) sont $\varphi_i$-convolables, les mesures $*_{i} |\mu_{ij}|$ sont $\psi$-convolables, et l’on a la formule (3).

Il suffit d’envisager le cas où toutes les mesures considérées sont $\geq 0$.

Plaçons-nous dans les hypothèses de (i). L’application $\varphi$ est propre pour $\bigotimes_{i,j} \mu_{ij}$ et $\varphi(\bigotimes_{i,j} \mu_{ij}) = \bigotimes_{i} \varphi_i(\bigotimes_{j} \mu_{ij}) = \bigotimes_{i} (*_{j} \mu_{ij})$ (chap. V, § 8, prop. 7). L’application $\psi \circ \varphi$ est propre pour $\bigotimes_{i,j} \mu_{ij}$ et $(\psi \circ \varphi)(\bigotimes_{i,j} \mu_{ij}) = \psi(\bigotimes_{i} (*_{j} \mu_{ij})) = *_{i} (*_{j} \mu_{ij})$ (chap. V, § 6, prop. 4). Donc les $\mu_{ij}$ ($1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n_i$) sont $(\psi \circ \varphi)$-convolables et l’on a la formule (3).

Plaçons-nous dans les hypothèses de (ii). Le lemme 2 prouve d’abord que $\varphi$ est propre pour $\bigotimes_{i,j} \mu_{ij}$. Le lemme 1 prouve alors que, pour tout $i$, $\varphi_i$ est propre pour $\bigotimes_{j} \mu_{ij}$ et que

D’après le lemme 2, $\psi$ est propre pour $\bigotimes_{i} (*_{j} \mu_{ij})$. D’où la proposition.

(i) $f_i$ est $\mu_i$-propre pour tout $i$, et les mesures $f_i(|\mu_i|)$ sont $\varphi'$-convolables ;

(ii) les $\mu_i$ sont $\varphi$-convolables, et $g$ est propre pour $*_{\varphi}(|\mu_i|)$. De plus, lorsque ces assertions sont vérifiées, on a

(4)

En effet, soit $h = \varphi' \circ f = g \circ \varphi$. D’après la prop. 1, les conditions (i) et (ii) sont chacune équivalentes à la condition suivante : (iii) les $\mu_i$ sont $h$-convolables. S’il en est ainsi, on a

En effet, $\mu'_i = |\mu_i|$ est bornée et $\| \mu'_i \| = \| \mu_i \|$ (chap. VI, § 2, no 9, prop. 13). On a $|\mu_1 \otimes \ldots \otimes \mu_n| = \mu'_1 \otimes \ldots \otimes \mu'_n$ (chap. VI, § 2, no 10), donc $\mu_1 \otimes \ldots \otimes \mu_n$ est bornée et

(chap. V, § 8, no 2, cor. 6 de la prop. 5). Donc $\varphi$ est $\mu$-propre (chap. V, § 6, no 1, Remarque 1), c’est-à-dire que les $\mu_i$ sont $\varphi$-convolables. On a $\| *_{i=1}^n \mu'_i \| = \| \mu'_1 \otimes \ldots \otimes \mu'_n \|$ (chap. V, § 6, no 2, th. 1) et par suite $\| *_{i=1}^n \mu'_i \| = \| \mu'_1 \| \ldots \| \mu'_n \|$. Enfin, donc

Ceci résulte de la prop. 2 et de ce qu’on a dit au no 1.

En effet, soit $K$ une partie compacte de $Y$. Le support de $\mu = \mu_1 \otimes \ldots \otimes \mu_n$ est $S = \prod_i S_i$ (chap. III, § 5, no 2, prop. 2).

Donc $\varphi^{-1}(K) \cap \left( \prod_i X_i - S \right)$ est $\mu$-négligeable. D’autre part, $\varphi^{-1}(K) \cap S$ est compact. Donc $\varphi^{-1}(K)$ est $\mu$-intégrable.

b) Si $\varphi$ est continue et si les $\mu_i$ sont positives, le support de $* \mu_i$ est l’adhérence de $\varphi \left( \prod_i S_i \right)$.

Soit $S = \prod_i S_i$ le support de $\mu$. Le support de $* \mu_i$ est contenu dans $\overline{\varphi(S)}$ d’après le chap. V, § 6, no 2, cor. 3 de la prop. 2.

n° 1

Si $\varphi$ est continue et si les $\mu_i$ sont positives, le support de $*_{i} \mu_i$ est $\overline{\varphi(S)}$ (loc. cit., cor. 4 de la prop. 2).

Dire que $\lambda$ et $\mu$ sont $\varphi$-convolables signifie que, pour toute $f \in \mathscr{K}(Z)$, $f \circ \varphi$ est $(\lambda \otimes \mu)$-intégrable, c’est-à-dire que, pour toute $f \in \mathscr{K}(Z)$, la fonction $(x, y) \to \langle f, \varepsilon_{\varphi(x, y)} \rangle$ est $(\lambda \otimes \mu)$-intégrable, c’est-à-dire encore que l’application $(x, y) \to \varepsilon_{\varphi(x, y)}$ de $X \times Y$ dans $\mathscr{M}(Z)$ est scalairement $(\lambda \otimes \mu)$-intégrable pour $\sigma(\mathscr{M}(Z), \mathscr{K}(Z))$. S’il en est ainsi, on a

d’où $\lambda * \mu = \int_{X \times Y} \varepsilon_{\varphi(x, y)} d\lambda(x) d\mu(y)$.

Supposons que $\lambda$ et $\mu$ soient $\varphi$-convolables. Pour toute $f \in \mathscr{K}(Z)$, $f \circ \varphi$ est $(|\lambda| \otimes |\mu|)$-intégrable, donc la fonction $x \to \int_Y f(\varphi(x,y))d|\mu|(y) = \langle f, \varepsilon_x * |\mu| \rangle$ (qui par hypothèse est définie pour tout $x \in X$) est $\lambda$-intégrable; donc $x \to \varepsilon_x * |\mu|$ est scalairement $\lambda$-intégrable pour $\sigma(\mathscr{M}(Z), \mathscr{K}(Z))$, et l’on a

d’où $\lambda * \mu = \int_X (\varepsilon_x * \mu)d\lambda(x)$. Réciproquement, supposons que l’application $x \to \varepsilon_x * |\mu|$ de $X$ dans $\mathscr{M}(Z)$ soit scalairement $\lambda$-intégrable pour $\sigma(\mathscr{M}(Z), \mathscr{K}(Z))$. Soit $f \in \mathscr{K}_+(Z)$. Alors la fonction $(x, y) \to f(\varphi(x, y))$ est continue et l’on a (chap. V, § 8, prop. 1)

Donc $f \circ \varphi$ est $(\lambda \otimes \mu)$-intégrable, de sorte que $\lambda$ et $\mu$ sont $\varphi$-convolables.