En effet, pour toute partie compacte K de G, $U(K)$ est compact pour la topologie de la convergence simple (Remarque 1), donc est équicontinu (Esp. vect. top., Chap. III, § 3, no 6, th. 2); on applique alors la Remarque 2.

Il existe une partie ouverte non vide U de G telle que $\rho$ soit majorée dans U (Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 5, no 4, th. 2). Soit K une partie compacte de G. Alors K est recouvert par un nombre fini d'ensembles $s_1 U, \ldots, s_n U$. Pour tout $x \in U$, on a $\rho(s_i x) \leq \rho(s_i) \rho(x)$, donc $\rho$ est majorée dans $s_i U$, donc dans K.

Soit B la boule unité de E. On a $g(s) = \sup_{x \in B \cap A} \|U(s)x\|$, et chaque fonction $s \to \|U(s)x\|$ est continue sur G, donc $g$ est semi-continue inférieurement. D'autre part,

Il suffit évidemment de considérer le cas où X est compact. Soient $(x_0, f_0) \in X \times \mathscr{C}(Z)$, K une partie compacte de Y, et $\varepsilon > 0$. Soit $K' = \varphi(X \times K)$. Comme $f_0 \circ \varphi$ est uniformément continue dans $X \times K$, il existe un voisinage W de $x_0$ tel que $|f_0(\varphi(x, y)) - f_0(\varphi(x_0, y))| \leq \varepsilon$ pour $x \in W$ et $y \in K$. D’autre part, si l’on prend $f \in \mathscr{C}(Z)$ telle que $|f(z) - f_0(z)| \leq \varepsilon$ pour tout $z \in K'$, on aura $|f(\varphi(x, y)) - f_0(\varphi(x, y))| \leq \varepsilon$ pour $x \in X$, $y \in K$, et par suite $|f(\varphi(x, y)) - f_0(\varphi(x_0, y))| \leq 2\varepsilon$ pour $x \in W$ et $y \in K$. D’où le lemme.

Revenons alors aux notations antérieures.

(ii) Si G est localement compact et si U est continue, $^tU$ est continue lorsqu’on munit E’ de la topologie de la convergence compacte.

L’assertion (i) est immédiate. L’assertion (ii) résulte du lemme 3 où l’on fait $X = G,\ Y = Z = E,\ \varphi(s, x) = U(s)x$.

L’application $(s, f) \to (s, \gamma(s)f)$ de $G \times \mathscr{C}(X)$ dans $G \times \mathscr{C}(X)$ est continue (n° 2, lemme 3). D’autre part, l’application $(s, f) \to \chi(s, .)f$ de $G \times \mathscr{C}(X)$ dans $\mathscr{C}(X)$ est continue ; car, si $s$ tend vers $s_0$ dans $G$, $\chi(s, .)$ tend vers $\chi(s_0, .)$ uniformément dans toute partie compacte de $X$ ; si en outre $f$ tend vers $f_0$ dans $\mathscr{C}(X)$, $\chi(s, .)f$ tend vers $\chi(s_0, .)f_0$ uniformément dans toute partie compacte de $X$, d’où notre assertion. Donc la représentation $\gamma_\chi$ de $G$ dans $\mathscr{C}(X)$ est continue.

Montrons que la représentation $\gamma_\chi$ de $G$ dans $\mathscr{K}(X)$ est continue. Comme $\mathscr{K}(X)$ est limite inductive d’espaces de Banach, il est tonnelé ($Esp.\ vect.\ top.$, chap. III, § 1, n° 2, cor. 2 de la prop. 2), donc il suffit de prouver que $\gamma_\chi$ est séparément continue (n° 1, prop. 1). Or, soient $H$ une partie compacte de $X$ et $s_0 \in G$. Soient $V$ un voisinage compact de $s_0$ dans $G$, et $L = VH$, qui est compact dans $X$. Pour toute $f \in \mathscr{K}(X, H)$, le support de $\gamma_\chi(s_0)f$ est contenu dans $L$, et l’on a

donc $f \to \gamma_\chi(s_0)f$ est une application linéaire continue de $\mathscr{K}(X, H)$ dans $\mathscr{K}(X, L)$ ; il en résulte que $f \to \gamma_\chi(s_0)f$ est une application linéaire continue de $\mathscr{K}(X)$ dans lui-même ($Esp.\ vect.\ top.$, chap. II, § 2, n° 2, cor. de la prop. 1). D’autre part, la topologie de $\mathscr{K}(X, L)$ est induite par celle de $\mathscr{C}(X)$. D’après ce qui a déjà été démontré, l’application $s \to \gamma_\chi(s)f$ de $V$ dans $\mathscr{K}(X, L)$ est continue. Ceci achève de prouver que $\gamma_\chi$ est séparément continue.

Il est clair que $\gamma_\chi$ laisse stable $\mathscr{K}(X)$ et que chacun des $\gamma_\chi(s)$ est continu dans $\mathscr{K}(X)$. D’autre part, pour toute $f \in \mathscr{K}(X)$, $s \to \gamma_\chi(s)f$ est une application continue de $G$ dans $\mathscr{K}(X)$ et a fortiori dans $\mathscr{K}(X)$. Donc la représentation $\gamma_\chi$ dans $\mathscr{K}(X)$ est continue (n° 1, prop. 2).

Ces propositions résultent des prop. 3, 4, 5.

Soit $f \in \mathscr{H}(X)$. Quand $s$ tend vers $s_0$ dans $G$, $\gamma_{\chi,p}(s)f$ tend vers $\gamma_{\chi,p}(s_0)f$ dans $\mathscr{K}(X)$, donc dans $L_c^p(X, \beta)$. Comme les $\gamma_{\chi,p}(s)$ sont isométriques, la prop. 8 s’obtient en appliquant la Remarque 2 du n° 1.

Pour le cas où $\chi$ n’est pas supposée continue, cf. § 4, exerc. 13.

Soit $f \in \mathscr{L}_c^p(X, \beta)$. On a

donc $\gamma_\chi(s)f \in \mathscr{L}_c^p(X, \beta)$, et

(5)

en notant $q$ l’exposant conjugué de $p$. Si $f \in \mathscr{K}(X)$, $\gamma_\chi(s)f$ tend vers $\gamma_\chi(s_0)f$ dans $\mathscr{K}(X)$, donc dans $\mathscr{L}_c^p(X, \beta)$, quand $s$ tend vers $s_0$. Donc la représentation $\gamma_\chi$ de $G$ dans $L_c^p(X, \beta)$ est continue (n° 1, prop. 2).

On a des propriétés analogues à celles des n°s 3, 4, 5 si $G$ opère à droite dans $X$.

En particulier, si l’on considère $G$ comme opérant sur lui-même par translations à gauche ou à droite, et si l’on fait $\chi = 1$, on obtient les représentations régulières gauche et droite de $G$ dans $\mathscr{C}(G)$, $\mathscr{K}(G)$, $\overline{\mathscr{K}(G)}$, $\mathscr{C}'(G)$, $\mathscr{M}(G)$, $\mathscr{M}^1(G)$. Si l’on prend pour $\beta$ une mesure de Haar à gauche (resp. à droite) de $G$, et si l’on fait $\chi = 1$, on obtient la représentation régulière gauche (resp. droite) de $G$ dans $L_c^p(G, \beta)$.

(i) pour toute partie compacte K de T, les nombres $|\mu|(K)$, pour $\mu \in M$, sont majorés ; (ii) $\lim_{\mu, \mathfrak{F}} |\mu|(K) = 0$ pour toute partie compacte K de $T - \{a\}$; (iii) il existe un voisinage compact V de a dans T tel que $\lim_{\mu, \mathfrak{F}} \mu(V) = 1$.

Alors le filtre $\mathfrak{F}$ converge vers $\varepsilon_a$ dans $\mathscr{M}(T)$ muni de la topologie de la convergence compacte dans $\mathscr{K}(T)$.

D’après l’hypothèse (i), M est une partie équicontinue de $\mathscr{M}(T)$ puisqu’elle est vaguement bornée et que $\mathscr{K}(T)$ est tonnelé (Esp. vect. top., chap. III, § 3, no 6, th. 2). Il suffit donc (Top. gén., chap. X, 2e éd., § 2, no 4, th. 1) de prouver que, si $f \in \mathscr{K}(T)$, on a $\lim_{\mu, \mathfrak{F}} \mu(f) = f(a)$. Soit K la réunion de V et du support de $f$; si K’ est l’adhérence de $K - V$, on a

comme K’ est compact et ne contient pas a, on en conclut que $\lim_{\mu, \mathfrak{F}} \mu(K) = 1$. Soit $\varepsilon > 0$, et soit W un voisinage ouvert de a dans K tel que $|f(t) - f(a)| \leq \varepsilon$ pour $t \in W$; on peut écrire l’intégrale sur K peut s’écrire comme somme des intégrales analogues sur W et sur $K - W$; si C = sup $|f|$, on aura donc Comme le premier et le troisième terme du second membre tendent vers 0 suivant $\mathfrak{F}$, on voit bien que $\lim_{\mu, \mathfrak{F}} \mu(f) = f(a)$.

En effet, l’application de restriction de $\mathscr{C}(T)$ dans $\mathscr{C}(K_0)$ est continue ; donc, si H est une partie compacte de $\mathscr{C}(T)$, les restrictions à $K_0$ des fonctions de H forment une partie compacte de $\mathscr{C}(K_0)$. Il suffit alors d’appliquer le lemme 4 en remplaçant T par $K_0$.

L’application $s \to U(s)x$ de G dans E est continue. D’après le cor. 2, on a $U(a)x = \lim_V \int (U(s)x) \cdot f_V(s)d\beta(s)$ suivant le filtre des sections de $\mathscr{B}$, c’est-à-dire $U(a)x = \lim_V U(f_V \cdot \beta)x$.

(i) Les vecteurs $U(f \cdot \beta)x$, où $f$ parcourt $\mathscr{K}(G)$ et où $x$ parcourt E, sont partout denses dans E.

(ii) Soit F un sous-espace vectoriel fermé de E. Si F est stable pour U, on a $U(\mu)(F) \subset F$ pour toute $\mu \in \mathscr{C}'(G)$. Réciproquement, si $U(f \cdot \beta)(F) \subset F$ pour toute $f \in \mathscr{K}(G)$, F est stable pour U.

La première partie de (ii) est immédiate puisque les restrictions des $U(s)$ à $F$ ($s \in G$) définissent une représentation linéaire continue de $G$ dans l’espace localement convexe quasi-complet $F$. La deuxième partie de (ii), et (i), résultent du cor. 3 du lemme 4.