Bài tập 20, § 1

Cho G là một nhóm compact địa phương, $\mu$ là một độ đo Haar trái trên G, A và B là hai tập con của G. a) Giả sử một trong hai điều kiện sau đây được thỏa mãn: $\alpha)$ A là $\mu$-khả tích; $\beta)$ $\mu^*(A) < +\infty$ và B là $\mu$-đo được.

² Régulier, được đổi tên thành simplifiable trong ấn bản rút gọn của Algèbre. ³ Trong bài tập được trích dẫn, monoïde của bản gốc tiếng Pháp được dịch là "semigroup"; nhưng semi-groupe chỉ một khái niệm khác (A, I, §2, Bài tập 11).

Chứng minh rằng, trong mỗi trường hợp trong hai trường hợp này, hàm $f(s) = \mu^*(sA \cap B)$ là liên tục đều trên G đối với cấu trúc đều phải của G. (Với hai tập con bất kỳ $M, N$ của $G$, đặt

Trước hết xét trường hợp A là compact; sử dụng Ch. IV, §4, No. 6, Th. 4, chứng minh rằng với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một lân cận $U$ của $e$ trong $G$ sao cho, với mọi $s \in G$ và $t \in U$, Sau đó áp dụng Bài tập 13 của Ch. IV, §5. Nếu B là $\mu$-đo được, $\mu^*(A) < +\infty$ và $(A_n)$ là một dãy giảm các tập con khả tích của $G$ chứa A sao cho $\inf (\mu(A_n)) = \mu^*(A)$, chứng minh rằng (Ch. V, ấn bản thứ 1, §2, No. 2, Bổ đề 1);⁴ mặt khác chú ý rằng $\mu(A_n - A_{n+1})$ tiến tới 0 cùng với $1/n$.

b) Nếu $A^{-1}$ là $\mu$-khả tích và $\mu^*(B) < +\infty$, thì hàm $f$ là liên tục đều đối với cả cấu trúc đều phải và trái của $G$; hơn nữa, khi đó có $\int_G f(s) d\mu(s) = \mu(A^{-1})\mu^*(B)$. (Rút gọn về trường hợp B là khả tích; khi đó nhận xét rằng $\mu(sA \cap B) = \mu(A \cap s^{-1}B)$, rằng $\varphi_{sA \cap B} = \varphi_{sA}\varphi_B$ và rằng $\varphi_{sA}(t) = \varphi_{tA^{-1}}(s)$.)

c) Suy ra từ a) rằng trong hai trường hợp được xét, các phần trong của $AB$ và $BA$ là khác rỗng nếu A và B không không đáng kể. (Xem Ch. VIII, §4, No. 6, Mệnh đề 17.)

d) Trong nhóm $G = \mathbf{SL}_2(\mathbf{R})$, cho một ví dụ về một tập compact A và một tập $\mu$-đo được B sao cho $f(s) = \mu(sA \cap B)$ không liên tục đều đối với cấu trúc đều trái. (Nhận xét rằng tồn tại một dãy $(t_n)$ các phần tử của $G$ tiến tới $e$ và một dãy $(s_n)$ các phần tử của $G$ sao cho dãy $(s_n^{-1}t_n s_n)$ tiến tới điểm vô hạn.)

e) Cho một ví dụ về hai tập không đo được A, B trong một nhóm compact địa phương G, có độ đo ngoài hữu hạn và sao cho hàm $s \mapsto \mu^*(sA \cap B)$ không liên tục (xem Ch. IV, §4, Bài tập 8).