Exercice 20, § 1

Soient G un groupe localement compact, $\mu$ une mesure de Haar à gauche sur G, A et B deux parties de G. a) On suppose vérifiée une des deux conditions suivantes : $\alpha)$ A est $\mu$-intégrable ; $\beta)$ $\mu^*(A) < +\infty$ et B est $\mu$-mesurable. Montrer que, dans chacun de ces deux cas, la fonction $f(s) = \mu^*(sA \cap B)$ est uniformément continue dans G pour la structure uniforme droite de G. (Pour deux parties M, N de G, on pose

Considérer d’abord le cas où A est compact ; utilisant le chap. IV, § 4, no 6, th. 4, montrer que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un voisinage U de e dans G tel que, pour tout $s \in G$ et tout $t \in U$, on ait

Appliquer alors l’exerc. 9 du chap. IV, § 5. Si B est $\mu$-mesurable, si μ*(A) < +∞ et si (A_n) est une suite décroissante de parties intégrables de G contenant A et telle que inf(μ(A_n)) = μ*(A), montrer que

(chap. V, § 2, no 2, lemme 1); noter d'autre part que $\mu(A_n - A_{n+1})$ tend vers 0 avec $1/n$.

b) Si A est $\mu$-intégrable et si $\mu^*(B) < +\infty$, la fonction $f$ est uniformément continue pour les deux structures uniformes droite et gauche de G ; en outre on a alors $\int_G f(s)d\mu(s) = \mu(A^{-1})\mu^*(B)$. (Se ramener au cas où B est intégrable ; observer alors que $\mu(sA \cap B) = \mu(A \cap s^{-1}B)$, que $\varphi_{sA \cap B} = \varphi_{sA}\varphi_B$ et que $\varphi_{sA}(t) = \varphi_{tA^{-1}}(s)$).

c) Déduire de a) que dans les deux cas considérés, les intérieurs de AB et de BA ne sont pas vides. (Cf. chap. VIII, § 4, no 6, prop. 17).

d) Dans le groupe $G = \mathbf{SL}_2(\mathbf{R})$, donner un exemple d'un ensemble compact A et d'un ensemble $\mu$-mesurable B tels que $f(s) = \mu(sA \cap B)$ ne soit pas uniformément continue pour la structure uniforme gauche. (Observer qu'il existe une suite $(t_n)$ d'éléments de G tendant vers e et une suite $(s_n)$ d'éléments de G telles que la suite $(s_n^{-1}t_n s_n)$ tende vers le point à l'infini).

e) Donner un exemple de deux ensembles non mesurables A, B dans un groupe localement compact G, de mesure extérieure finie, et tels que la fonction $s \to \mu^*(sA \cap B)$ ne soit pas continue (cf. chap. IV, § 4, exerc. 8).