§ 1. Construction d'une mesure de Haar

§ 1. Construction d'une mesure de Haar.

1. Définitions et notations.

Soit G un groupe topologique opérant continûment à gauche (Top. gén., chap. III, 3e éd., § 2, n° 4) dans un espace localement compact X ; pour s ∈ G et x ∈ X, soit sx le transformé de x par s. On notera γ_X(s), ou γ(s), l’homéomorphisme de X sur X défini par

(1) $\gamma(s)x = sx.$

On a

(2) $\gamma(st) = \gamma(s)\gamma(t).$

Si f est une fonction définie sur X, $\gamma(s)f$ sera définie par transport de structure, c’est-à-dire par la formule $(\gamma(s)f)(\gamma(s)x) = f(x)$ ; autrement dit :

(3) $(\gamma(s)f)(x) = f(s^{-1}x).$

Si μ est une mesure définie sur X, $\gamma(s)\mu$ sera aussi définie par transport de structure, ce qui conduit à

(4) $\langle f, \gamma(s)\mu \rangle = \langle \gamma(s^{-1})f, \mu \rangle$ pour $f \in \mathscr{K}(X)$ .

Autrement dit

(5) $\int_X f(x)d(\gamma(s)\mu)(x) = \int_X f(sx)d\mu(x).$

Si A est un ensemble $(\gamma(s)\mu)$ -intégrable, $s^{-1}A$ est $\mu$ -intégrable, et

(6) $(\gamma(s)\mu)(A) = \mu(s^{-1}A).$

La mesure $\gamma(s)\mu$ peut aussi être définie comme l’image de $\mu$ par $\gamma(s)$ .

Au lieu d’écrire $d(\gamma(s)\mu)(x)$ , il est parfois commode d’écrire $d\mu(s^{-1}x)$ ; alors, (5) prend la forme suivante :

\int_X f(x)d\mu(s^{-1}x) = \int_X f(sx)d\mu(x);

le membre de droite se déduit de celui de gauche « en changeant x en sx ».

Définition 1

Soit $\mu$ une mesure sur X. a) On dit que $\mu$ est invariante par G si $\gamma(s)\mu = \mu$ pour tout $s \in G$ .

b) On dit que $\mu$ est relativement invariante par $G$ si $\gamma(s)\mu$ est proportionnelle à $\mu$ pour tout $s \in G$ .

c) On dit que $\mu$ est quasi-invariante par $G$ si $\gamma(s)\mu$ est équivalente à $\mu$ pour tout $s \in G$ .

Remarque 1

Supposons $\mu$ invariante. Alors $|\mu|$ , $\Re \mu$ , $\mathscr{I}\mu$ sont invariantes. Si $\mu$ est réelle, $\mu^+$ et $\mu^-$ sont invariantes.

Remarque 2

Supposons $\mu$ relativement invariante et non nulle. Il existe, pour tout $s \in G$ , un nombre complexe $\chi(s)$ unique tel que

\gamma(s)\mu = \chi(s)^{-1}\mu

et la fonction $\chi$ sur $G$ est une représentation de $G$ dans $\mathbf{C}^*$ appelée multiplicateur de $\mu$ . La formule (5) donne alors

\int_X f(sx)d\mu(x) = \chi(s)^{-1}\int_X f(x)d\mu(x)

et la formule (6) donne

\mu(sA) = \chi(s)\mu(A).

Avec les conventions faites plus haut, (7) peut aussi s'écrire

d\mu(sx) = \chi(s)d\mu(x).

Remarque 3

Si $\mu$ est quasi-invariante et si $\mu'$ est une autre mesure sur $X$ équivalente à $\mu$ , $\gamma(s)\mu'$ est équivalente à $\gamma(s)\mu$ , donc à $\mu$ , donc à $\mu'$ , de sorte que $\mu'$ est quasi-invariante. Dire que $\mu$ est quasi-invariante par $G$ signifie donc que la classe de $\mu$ est invariante par $G$ .

Pour que $\mu$ soit quasi-invariante, il faut et il suffit que l'ensemble des parties localement $\mu$ -négligeables de $X$ soit invariant par $G$ (chap. V, § 5, n° 5, th. 2), ou encore que, pour toute partie compacte $\mu$ -négligeable $K$ de $X$ et tout $s \in G$ , $sK$ soit $\mu$ -négligeable (loc. cit., Remarque).

Si $\mu$ est quasi-invariante, le support de $\mu$ est invariant par G. En particulier, si G est transitif dans X, ce support est ou bien vide (si $\mu = 0$ ) ou bien égal à X (si $\mu \neq 0$ ).

Lemme 1

Soient X, Y, Z trois espaces topologiques, Y étant localement compact. Soit $(x, y) \to xy$ une application continue de $X \times Y$ dans Z, qui définit une application $x \to u_x$ de X dans $\mathscr{F}(Y; Z)$ par la relation $u_x(y) = xy$ . Soient $f$ une fonction continue dans Z, à valeurs dans $\overline{\mathbf{R}}$ ou dans un espace de Banach, S le support de $f$ , et $\mu$ une mesure sur Y. On suppose que, pour tout $x_0 \in X$ , il existe un voisinage V de $x_0$ dans X tel que $\bigcup_{x \in V} u_x^{-1}(S)$ soit relativement compact dans Y. Alors :

a) pour tout $x \in X$ , $f \circ u_x$ est continue dans Y et à support compact ;

b) l’application $x \to \int_Y f(xy)d\mu(y)$ , qui est définie d’après a), est continue dans X.

L’assertion a) est évidente. Prouvons b). Comme la continuité est une propriété locale, on se ramène au cas où $\bigcup_{x \in X} u_x^{-1}(S)$ est contenu dans une partie compacte $Y'$ de Y. Comme la fonction $(x, y) \to f(xy)$ est continue dans $X \times Y$ , $f \circ u_x$ tend uniformément dans $Y'$ vers $f \circ u_{x_0}$ quand $x$ tend vers $x_0$ (Top. Gén., chap. X, 2e éd., § 3, no 4, th. 3), donc $\mu(f \circ u_x)$ tend vers $\mu(f \circ u_{x_0})$ . D’où le lemme.

Revenons maintenant aux notations antérieures.

Proposition 1

Supposons G localement compact. Soit $\mu$ une mesure relativement invariante non nulle sur X. Alors son multiplicateur $\chi$ est une fonction continue dans G.

En effet, soient $f \in \mathscr{H}(X)$ , S le support de $f$ , $s_0$ un point de G, et V un voisinage compact de $s_0$ dans G ; alors

\bigcup_{s \in V} \gamma(s)^{-1}(S) = V^{-1}S

est compact dans X ; d’après le lemme 1 et la formule (8), $\chi(s)^{-1}\langle \mu, f \rangle$ dépend continûment de s ; si on a choisi $f$ telle que $\langle \mu, f \rangle \neq 0$ , on voit que $\chi$ est continu.

Soit maintenant G un groupe topologique opérant continûment à droite dans un espace localement compact X ; pour $s \in G$ et $x \in X$ , soit $xs$ le transformé de $x$ par $s$ . On notera $\delta_X(s)$ , ou $\delta(s)$ , l’homéomorphisme de X défini par

(1')

\delta(s)x = xs^{-1}.

On a (2')

\delta(st) = \delta(s)\delta(t).

Par transport de structure, on définit l’action de $\delta(s)$ sur les fonctions et les mesures sur X :

(3')

(\delta(s)f)(x) = f(xs)

(4')

\langle f, \delta(s)\mu \rangle = \langle \delta(s^{-1})f, \mu \rangle

(5')

\int_X f(x)d(\delta(s)\mu)(x) = \int_X f(xs^{-1})d\mu(x)

(6')

(\delta(s)\mu)(A) = \mu(As).

On convient d’écrire $d\mu(xs)$ au lieu de $d(\delta(s)\mu)(x)$ , et (5') prend la forme

\int_X f(x)d\mu(xs) = \int_X f(xs^{-1})d\mu(x).

On définit de manière analogue les mesures invariantes, relativement invariantes et quasi-invariantes par G sur X. Si $\mu$ est relativement invariante, on définit son multiplicateur $\chi$ par les formules

(7')

\delta(s)\mu = \chi(s)\mu

(8')

\int_X f(xs)d\mu(x) = \chi(s)^{-1}\int_X f(x)d\mu(x)

(9') $\mu(As) = \chi(s)\mu(A).$

(10') $d\mu(xs) = \chi(s)d\mu(x).$

Si on considère le groupe opposé $G^o$ à $G$ comme opérant dans $X$ par $(x, s) \to xs$ , $\mu$ est relativement invariante par $G^o$ de même multiplicateur $\chi$ .

Soit enfin $G$ un groupe localement compact. Il opère sur lui-même par translations à gauche et à droite, suivant les formules $\gamma(s)x = sx$ , $\delta(s)x = xs^{-1}$ . On a

(11) $\gamma(s)\delta(t) = \delta(t)\gamma(s).$

Tout ce qui précède est applicable, et on a donc, sur $G$ , les notions de mesures invariantes à gauche, invariantes à droite, relativement invariantes à gauche, relativement invariantes à droite, quasi-invariantes à gauche, quasi-invariantes à droite (cf., toutefois, les nos 8 et 9).

L’application $x \to x^{-1}$ est un homéomorphisme de $G$ sur $G$ . Pour toute fonction $f$ sur $G$ , on définira la fonction $\tilde{f}$ sur $G$ par

(12) $\tilde{f}(x) = f(x^{-1}).$

Pour toute mesure $\mu$ sur $G$ , on définira la mesure $\tilde{\mu}$ par

(13) $\tilde{\mu}(f) = \mu(\tilde{f}) \quad \text{pour } f \in \mathscr{K}(G).$

Autrement dit

(14) $\int_G f(x)d\tilde{\mu}(x) = \int_G f(x^{-1})d\mu(x).$

Si $A$ est un ensemble $\tilde{\mu}$ -intégrable, $A^{-1}$ est $\mu$ -intégrable, et

(15) $\tilde{\mu}(A) = \mu(A^{-1}).$

On convient d’écrire $d\mu(x^{-1})$ au lieu de $d\tilde{\mu}(x)$ , et (14) prend la forme

\int_G f(x)d\mu(x^{-1}) = \int_G f(x^{-1})d\mu(x).

2. Le théorème d’existence et d’unicité.

Définition 2

Soit G un groupe localement compact. On appelle mesure de Haar à gauche (resp. à droite) sur G une mesure positive non nulle sur G, invariante à gauche (resp. à droite).

Théorème 1

Sur tout groupe localement compact, il existe une mesure de Haar à gauche (resp. à droite), et, à un facteur constant près, il n’en existe qu’une.

A) Existence. — Posons $\mathscr{K}(G) = \mathscr{K}$ , $\mathscr{K}_+(G) = \mathscr{K}_+$ ,

\mathscr{K}_+^* = \mathscr{K}_+ - \{0\}.

Si C est une partie compacte de G, on notera $\mathscr{K}_+^*(C)$ l’ensemble des $f \in \mathscr{K}_+^*$ à support dans C. Pour $f \in \mathscr{K}$ et $g \in \mathscr{K}_+^*$ , il existe des nombres $c_1, \ldots, c_n \geq 0$ et des éléments $s_1, \ldots, s_n$ de G tels que $f \leq \sum_{i=1}^n c_i \gamma(s_i)g$ : en effet, il existe une partie ouverte non vide U de G telle que $\inf_{s \in U} g(s) > 0$ , et le support de $f$ peut être recouvert par un nombre fini de translatés à gauche de U. Soit alors $(f : g)$ la borne inférieure des nombres $\sum_{i=1}^n c_i$ pour tous les systèmes $(c_1, \ldots, c_n, s_1, \ldots, s_n)$ de nombres $\geq 0$ et d’éléments de G tels que $f \leq \sum_{i=1}^n c_i \gamma(s_i)g$ . On a :

(i) $(\gamma(s)f : g) = (f : g)$ pour $f \in \mathscr{K}$ , $g \in \mathscr{K}_+^*$ , $s \in G$ ; (ii) $(\lambda f : g) = \lambda(f : g)$ pour $f \in \mathscr{K}$ , $g \in \mathscr{K}_+^*$ , $\lambda \geq 0$ ; (iii) $((f + f') : g) \leq (f : g) + (f' : g)$ pour $f \in \mathscr{K}$ , $f' \in \mathscr{K}$ , $g \in \mathscr{K}_+^*$ ; (iv) $(f : g) \geq (\sup f)/(\sup g)$ pour $f \in \mathscr{K}$ , $g \in \mathscr{K}_+^*$ ; (v) $(f : h) \leq (f : g)(g : h)$ pour $f \in \mathscr{K}$ , $g \in \mathscr{K}_+^*$ , $h \in \mathscr{K}_+^*$ ; (vi) $0 < \frac{1}{(f_0 : f)} \leq \frac{(f : g)}{(f_0 : g)} \leq (f : f_0)$ pour $f, f_0, g$ dans $\mathscr{K}_+^*$ ; (vii) soient $f, f', h$ dans $\mathscr{K}_+$ avec $h(s) \geq 1$ dans le support de $f + f'$ , et soit $\varepsilon > 0$ ; il existe un voisinage compact V de e tel que, pour toute $g \in \mathscr{K}_+^*(V)$ , on ait

(f : g) + (f' : g) \leq ((f + f') : g) + \varepsilon(h : g).

Les propriétés (i), (ii), (iii) sont évidentes. Soient $f \in \mathscr{K}$ , $g \in \mathscr{K}_+^*$ ; si $f \leq \sum_{i=1}^n c_i \gamma(s_i)g$ avec des $c_i \geq 0$ , on a

\sup f \leq \sum_{i=1}^n c_i g(s_i^{-1}s)

pour un

s \in G

, donc

\sup f \leq \left( \sum_{i=1}^n c_i \right) \sup g

, d'où (iv). Prouvons (v) ; soient

f \in \mathscr{K}

g, h

dans

\mathscr{K}_+^*

; si

f \leq \sum_{i=1}^n c_i \gamma(s_i)g

g \leq \sum_{j=1}^p d_j \gamma(t_j)h

(

c_i \geq 0, \ d_j \geq 0, \ s_i, \ t_j

dans

G

), on a

f \leq \sum_{i,j} c_i d_j \gamma(s_i t_j)h,

donc

(f : h) \leq \sum_{i,j} c_i d_j = \left( \sum_i c_i \right) \left( \sum_j d_j \right)

; donc

(f : h) \leq (f : g)(g : h)

. Si on applique (v) à

f_0, f, g

d'une part et à

f, f_0, g

d'autre part, on obtient (vi). Enfin, soient

f, f', h

dans

\mathscr{K}_+

avec

h(s) \geq 1

dans le support de

f + f'

, et soit

\varepsilon > 0

. Posons

F = f + f' + \frac{1}{2} \varepsilon h

; les fonctions

\varphi, \varphi'

, qui coïncident respectivement avec

f/F

f'/F

dans le support de

f + f'

et qui sont nulles en dehors de celui-ci, appartiennent à

\mathscr{K}_+

; pour tout

\eta > 0

, il existe un voisinage compact

V

e

tel que

|\varphi(s) - \varphi(t)| \leq \eta

|\varphi'(s) - \varphi'(t)| \leq \eta

pour

s^{-1}t \in V

. Soit alors

g \in \mathscr{K}_+^*(V)

; pour tous

s \in G

, on a

\varphi \cdot \gamma(s)g \leq (\varphi(s) + \eta) \cdot \gamma(s)g

: en effet, c'est évident aux points où

\gamma(s)g

s'annule, donc hors de

sV

; et, dans

sV

, on a

\varphi \leq \varphi(s) + \eta

; de même,

\varphi' \cdot \gamma(s)g \leq (\varphi'(s) + \eta) \cdot \gamma(s)g.

Ceci posé, soient

c_1, \ldots, c_n

des nombres

\geq 0

s_1, \ldots, s_n

des éléments de

G

tels que

F \leq \sum_{i=1}^n c_i \gamma(s_i)g

; on a

f = \varphi F \leq \sum_{i=1}^n c_i \varphi \cdot \gamma(s_i)g \leq \sum_{i=1}^n c_i (\varphi(s_i) + \eta) \cdot \gamma(s_i)g

et de même pour

f'

; par suite

(f : g) + (f' : g) \leq \sum_{i=1}^n c_i (\varphi(s_i) + \varphi'(s_i) + 2\eta) \leq (1 + 2\eta) \sum_{i=1}^n c_i

puisque $\varphi + \varphi' \leq 1$ . En appliquant la définition de F, puis (ii), (iii), et (v), on en conclut

(f : g) + (f' : g) \leq (1 + 2\eta)(F : g) \leq

(1 + 2\eta)[((f + f') : g) + \frac{1}{2} \varepsilon(h : g)] \leq ((f + f') : g) + \frac{1}{2} \varepsilon(h : g)

+ 2\eta((f + f') : h)(h : g) + \varepsilon\eta(h : g)

et, si l’on a choisi $\eta$ tel que $\eta[2((f + f') : h) + \varepsilon] \leq \frac{1}{2} \varepsilon$ , on obtient (vii).

Quand V parcourt l’ensemble des voisinages compacts de e, les $\mathscr{K}_+^*(V)$ forment une base d’un filtre $\mathfrak{B}$ sur $\mathscr{K}_+^*$ . Soit $\mathfrak{F}$ un ultrafiltre sur $\mathscr{K}_+^*$ plus fin que $\mathfrak{B}$ . D’autre part, fixons $f_0 \in \mathscr{K}_+^*$ et posons, pour $f \in \mathscr{K}_+^*$ et $g \in \mathscr{K}_+^*$

I_g(f) = \frac{(f : g)}{(f_0 : g)}.

D’après (vi), $\lim_{g, \mathfrak{F}} I_g(f) = I(f)$ existe dans l’espace compact $\{1/(f_0 : f), (f : f_0)\}$ . D’après (iii), on a $I(f + f') \leq I(f) + I(f')$ . D’après (vii), on a $I(f) + I(f') \leq I(f + f') + \varepsilon I(h)$ quel que soit $\varepsilon > 0$ si $h$ est $\geq 1$ dans le support de $f + f'$ ; il s’ensuit que $I(f + f') = I(f) + I(f')$ . D’après le chap. II, § 2, no 1, prop. 2, I se prolonge en une forme linéaire sur $\mathscr{K}$ ; cette forme linéaire est une mesure positive non nulle sur G, invariant à gauche d’après (i) ; c’est la mesure de Haar à gauche cherchée. Passant au groupe opposé, on en déduit l’existence d’une mesure de Haar à droite.

B) Unicité. — Soient $\mu$ une mesure de Haar à gauche, $\nu$ une mesure de Haar à droite. Alors $\check{\nu}$ est une mesure de Haar à gauche. On va montrer que $\mu$ et $\check{\nu}$ sont proportionnelles. Ceci prouvera bien que deux mesures de Haar à gauche sont proportionnelles.

Soit $f \in \mathscr{K}$ telle que $\mu(f) \neq 0$ . D’après le lemme 1, la fonction $D_f$ , définie sur G par

(16) \quad D_f(s) = \mu(f)^{-1} \int f(t^{-1}s) d\nu(t)

est continue dans G. Soit $g \in \mathscr{K}$ . La fonction $(s, t) \to f(s)g(ts)$ est continue à support compact dans $G \times G$ . D’après le chap. III, § 5, n° 1, th. 2, on a

\mu(f)\nu(g) = \left( \int f(s)d\mu(s) \right) \left( \int g(t)d\nu(t) \right)

= \int d\mu(s) \int f(s)g(ts)d\nu(t) = \int d\nu(t) \int f(s)g(ts)d\mu(s)

= \int d\nu(t) \int f(t^{-1}s)g(s)d\mu(s)

= \int g(s) \left[ \int f(t^{-1}s)d\nu(t) \right] d\mu(s) = \mu(g \cdot \mu(f)D_f)

d’où

\nu(g) = \mu(D_f \cdot g).

Ceci prouve d’abord que $D_f$ ne dépend pas de $f$ . Car, si $f' \in \mathscr{K}$ est telle que $\mu(f') \neq 0$ , on a $D_{f'} \mu = D_f \cdot \mu$ , donc $D_f = D_{f'}$ localement presque partout pour $\mu$ , donc partout puisque $D_f$ et $D_{f'}$ sont continues et que le support de $\mu$ est $G$ . Posons donc $D_f = D$ . La formule (16) donne

\mu(f)D(e) = \tilde{\nu}(f).

La formule (19) s’étend par linéarité aux fonctions $f \in \mathscr{K}$ telles que $\mu(f) = 0$ . On a $D(e) \neq 0$ puisque $\tilde{\nu} \neq 0$ . Ceci établit bien la proportionnalité de $\mu$ et $\tilde{\nu}$ .

Corollaire

Toute mesure invariante à gauche (resp. à droite) sur G est proportionnelle à une mesure de Haar à gauche (resp. à droite).

Exemple 1

Sur le groupe additif $\mathbf{R}$ , la mesure de Lebesgue $dx$ est une mesure de Haar (Chap. III, § 2, n° 2, Exemple).

Exemple 2

Pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(\mathbf{R}_+^*)$ , on a (Fonct. var. réelle, chap. II, § 1, formule (13))

\int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{x} dx = \int_0^{+\infty} \frac{f(tx)}{tx} t dx = \int_0^{+\infty} \frac{f(tx)}{x} dx

quel que soit

t > 0

; la mesure

x^{-1} dx

est donc une mesure de Haar sur le groupe multiplicatif

\mathbf{R}_+^*

Exemple 3

Prenons pour $G$ le tore $\mathbf{T} = \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ . Soit $\varphi$ l’application canonique de $\mathbf{R}$ sur $\mathbf{T}$ . Pour $f \in \mathscr{H}(\mathbf{T})$ , la fonction $f \circ \varphi$ est continue et périodique de période 1 sur $\mathbf{R}$ , et l’intégrale

I(f) = \int_a^{a+1} f(\varphi(x)) dx

est indépendante du choix de

a \in \mathbf{R}

; il est immédiat qu’elle est invariante par translation ; elle définit donc une mesure de Haar sur

\mathbf{T}

. Par transport de structure, on en déduit que

I(f) = \int_a^{a+1} f(e^{2\pi i t}) dt

est une mesure de Haar sur le groupe multiplicatif

\mathbf{U}

des nombres complexes de valeur absolue 1 (Top. gén., chap. VIII, § 2, no 1).

Proposition 2

Soient G un groupe localement compact, $\mu$ une mesure de Haar à gauche ou à droite sur G. Pour que G soit discret, il faut et il suffit que $\mu(\{e\}) > 0$ . Pour que G soit compact, il faut et il suffit que $\mu^*(G) < +\infty$ .

Les conditions sont évidemment nécessaires. Montrons leur suffisance. Soit V un voisinage compact de e. Si $\mu(\{e\}) > 0$ , V est un ensemble fini puisque $\mu(V) < +\infty$ ; comme G est séparé, il est donc discret. Supposons $\mu^*(G) < +\infty$ , et $\mu$ invariante à gauche par exemple. Considérons l’ensemble $\mathscr{E}$ des parties finies $\{s_1, \ldots, s_n\}$ de G telles que $s_i V \cap s_j V = \varnothing$ pour $i \neq j$ ; on a

n \mu(V) = \mu(s_1 V \cup \ldots \cup s_n V) \leq \mu^*(G),

donc

n \leq \mu^*(G)/\mu(V)

. On peut donc choisir dans

\mathscr{E}

un élément

\{s_1, \ldots, s_n\}

maximal. Alors, pour tout

s \in G

, il y a un

i

tel que

s V \cap s_i V \neq \varnothing

, donc tel que

s \in s_i V V^{-1}

. Donc G est réunion des ensembles compacts

s_i V V^{-1}

et est par suite compact.

3. Module.

Soit $\mu$ une mesure de Haar à gauche sur $G$ . Pour tout $s \in G$ , $\delta(s)\mu$ est encore invariante à gauche (n° 1, formule (11)), donc (th. 1) il existe un nombre unique $\Delta_G(s) > 0$ tel que $\delta(s)\mu = \Delta_G(s)\mu$ . En vertu du th. 1, le nombre $\Delta_G(s)$ est indépendant du choix de $\mu$ .

Définition 3

La fonction $\Delta_G$ sur $G$ s'appelle le module de $G$ . Si $\Delta_G = 1$ , le groupe $G$ est dit unimodulaire.

On peut dire aussi que $\mu$ est relativement invariante à droite de multiplicateur $\Delta_G$ . Donc $\Delta_G$ est une représentation continue de $G$ dans $\mathbf{R}_+^*$ (n° 1, prop. 1).

Remarque

Si $\varphi$ est un isomorphisme de $G$ sur un groupe localement compact $G'$ , on a $\Delta_{G'} \circ \varphi = \Delta_G$ . En particulier : 1) Comme $x \to x^{-1}$ est un isomorphisme de $G$ sur le groupe opposé $G^o$ , on a $\Delta_{G^o} = \Delta_G^{-1}$ . 2) Si $\varphi$ est un automorphisme de $G$ , on a $\Delta_G \circ \varphi = \Delta_G$ .

Soit $s \in G$ . On a :

\delta(s)(\Delta_G^{-1}.\mu) = (\delta(s)\Delta_G^{-1}) . (\delta(s)\mu) = (\Delta_G(s)^{-1}\Delta_G^{-1}) . (\Delta_G(s)\mu) = \Delta_G^{-1}.\mu

donc $\Delta_G^{-1}.\mu = \mu'$ est une mesure de Haar à droite. On en déduit que $\gamma(s)\mu' = (\gamma(s)\Delta_G^{-1}) . \mu = \Delta_G(s)(\Delta_G^{-1}.\mu) = \Delta_G(s)\mu'$ , donc, pour toute mesure de Haar à droite $\nu$ , on a $\gamma(s)\nu = \Delta_G(s)\nu$ . Puisque $\tilde{\nu}$ est une mesure de Haar à droite, on a $\tilde{\nu} = a\Delta_G^{-1}.\mu$ avec une constante $a > 0$ ; on en déduit

\mu = a(\Delta_G^{-1}.\mu)^\vee = a\Delta_G . \tilde{\nu} = a^2\mu,

donc $a = 1$ et finalement $\tilde{\nu} = \Delta_G^{-1}.\mu$ . On voit de même que $\nu = \Delta_G . \nu$ . On a donc les résultats suivants :

Formulaire. — Soient $G$ un groupe localement compact, $\Delta$ son module, $\mu$ une mesure de Haar à gauche, $\nu$ une mesure de Haar à droite.

1) On a

(20) $\gamma(s)\mu = \mu \quad \delta(s)\mu = \Delta(s)\mu \quad \tilde{\mu} = \Delta^{-1}\cdot\mu.$

Si $f$ est $\mu$ -intégrable sur $G$ , les translatées à gauche et à droite de $f$ sont $\mu$ -intégrables, et on a

\int f(sx)d\mu(x) = \int f(x)d\mu(x)

(21)

\int f(xs)d\mu(x) = \Delta(s)^{-1} \int f(x)d\mu(x).

En outre, $\tilde{f}$ est intégrable pour $\Delta^{-1}\cdot\mu$ et

\int f(x^{-1})\Delta(x)^{-1}d\mu(x) = \int f(x)d\mu(x).

(22)

Si $A$ est une partie $\mu$ -intégrable de $G$ , $sA$ et $As$ sont $\mu$ -intégrables et

\mu(sA) = \mu(A) \qquad \mu(As) = \Delta(s)\mu(A).

(23)

2) On a

(24) $\delta(s)\nu = \nu \quad \gamma(s)\nu = \Delta(s)\nu \quad \tilde{\nu} = \Delta.\nu.$

Si $f$ est $\nu$ -intégrable sur $G$ , les translatées à gauche et à droite de $f$ sont $\nu$ -intégrables, et on a

\int f(xs)d\nu(x) = \int f(x)d\nu(x)

(25)

\int f(xs)d\nu(x) = \Delta(s) \int f(x)d\nu(x).

En outre, $\tilde{f}$ est intégrable pour $\Delta.\nu$ et

\int f(x^{-1})\Delta(x)d\nu(x) = \int f(x)d\nu(x).

(26)

Si $A$ est une partie $\nu$ -intégrable de $G$ , $sA$ et $As$ sont $\nu$ -intégrables et

\nu(As) = \nu(A) \qquad \nu(sA) = \Delta(s)^{-1}\nu(A).

(27)

3) $v$ est proportionnelle à $\Delta^{-1}.\mu$ , $\mu$ est proportionnelle à $\Delta . v$ .

4) Supposons G unimodulaire. Soit $\mu$ une mesure de Haar sur G. On a

\gamma(s)\mu = \delta(s)\mu = \tilde{\mu} = \mu.

Si $f$ est $\mu$ -intégrable sur G, les translatées à gauche et à droite de $f$ sont $\mu$ -intégrables ainsi que $\tilde{f}$ , et l’on a

\int f(sx)d\mu(x) = \int f(xs)d\mu(x) = \int f(x^{-1})d\mu(x) = \int f(x)d\mu(x).

Si A est une partie $\mu$ -intégrable de G, sA, As et $A^{-1}$ sont $\mu$ -intégrables, et

\mu(sA) = \mu(As) = \mu(A^{-1}) = \mu(A).

On a des propriétés analogues pour l’intégrale essentielle.

Proposition 3

S’il existe dans G un voisinage compact V de e invariant par les automorphismes intérieurs, alors G est unimodulaire.

En effet, soit $\mu$ une mesure de Haar à gauche sur G. On a, pour tout $s \in G$ , $\mu(V) = \mu(s^{-1}Vs) = \Delta_G(s)\mu(V)$ , d’où

\Delta_G(s) = 1

puisque $0 < \mu(V) < +\infty$ .

On en déduit aussitôt :

Corollaire

Si G est discret, ou compact, ou commutatif, G est unimodulaire.

Ceci est d’ailleurs trivial lorsque G est commutatif. Notons aussi que, si G est discret, la mesure sur G pour laquelle chaque point est de masse 1 est évidemment une mesure de Haar à gauche et à droite sur G, qu’on appelle mesure de Haar normalisée sur G. Si G est compact, il existe une mesure de Haar $\mu$ et une seule sur G telle que $\mu(G) = 1$ ; on l’appelle la mesure de Haar normalisée de G. Les deux conventions précédentes ne concordent pas lorsque G est à la fois discret et compact, c'est-à-dire fini ; quand on sera dans ce cas, on précisera toujours explicitement ce qu'on entend par mesure de Haar normalisée.

Un sous-groupe, un groupe quotient d'un groupe unimodulaire ne sont pas toujours unimodulaires (§ 2, exerc. 5). Cf., toutefois, le § 2, no 7, prop. 10.

Nous verrons plus tard que les groupes de Lie connexes semi-simples ou nilpotents sont unimodulaires.

4. Module d'un automorphisme.

Soient G un groupe localement compact, φ un automorphisme de G, μ une mesure de Haar à gauche sur G. Il est clair que $\varphi^{-1}(\mu)$ est encore une mesure de Haar à gauche sur G. Il existe donc (no 2, th. 1) un nombre $a > 0$ et un seul tel que $\varphi^{-1}(\mu) = a\mu$ . D'après le no 2, th. 1, ce nombre est indépendant du choix de $\mu$ . Remarquons que, si l'on partait d'une mesure de Haar à droite, par exemple $\Delta_G^{-1} \cdot \mu$ (no 3), on aboutirait au même scalaire $a$ : car, comme $\varphi^{-1}$ laisse $\Delta_G$ invariant (no 3, Remarque), on a $\varphi^{-1}(\Delta_G^{-1} \cdot \mu) = \Delta_G^{-1} \cdot \varphi^{-1}(\mu) = a \Delta_G^{-1} \cdot \mu$ .

Définition 4

Le nombre $a > 0$ tel que $\varphi^{-1}(\mu) = a\mu$ s'appelle le module de l'automorphisme $\varphi$ et se note $\mathrm{mod}_G \varphi$ ou simplement $\mathrm{mod} \varphi$ .

Si $f$ est une fonction $\mu$ -intégrable sur G, on a

(31)

\int f(\varphi^{-1}(x)) d\mu(x) = (\mathrm{mod}\ \varphi) \int f(x) d\mu(x).

Si A est une partie $\mu$ -intégrable de G, on a

(32)

\mu(\varphi(A)) = (\mathrm{mod}\ \varphi) \mu(A).

En particulier, pour $s \in G$ , soit $i_s$ l'automorphisme intérieur $x \to s^{-1} xs$ . On a $i_s^{-1} = \delta(s) \gamma(s)$ , donc

i_s^{-1}(\mu) = \delta(s) \mu = \Delta_G(s) \mu,

et par suite

(33)

\operatorname{mod} i_s = \Delta_G(s).

Si G est soit discret, soit compact, sa mesure de Haar normalisée est transformée en elle-même par tout automorphisme $\varphi$ de G, comme on le voit tout de suite par transport de structure. Donc un automorphisme d'un groupe discret ou compact est de module 1.

Proposition 4

Soient G un groupe localement compact, $\Gamma$ un groupe topologique, et $\gamma \to u_\gamma$ un homomorphisme de $\Gamma$ dans le groupe $\mathscr{G}$ des automorphismes de G, tel que $(\gamma, x) \to u_\gamma(x)$ soit une application continue de $\Gamma \times G$ dans G. Alors l'application $\gamma \to \operatorname{mod}(u_\gamma)$ est une représentation continue de $\Gamma$ dans $\mathbf{R}_+^*$ .

Cette application est évidemment une représentation (algébrique) de $\Gamma$ dans $\mathbf{R}_+^*$ ; il suffit de prouver sa continuité. Soient $f \in \mathscr{K}(G)$ et S son support. Soient $\gamma_0 \in \Gamma$ et U un voisinage relativement compact de $u_{\gamma_0}^{-1}(S)$ . L'application $\gamma \to u_\gamma$ est une application continue de $\Gamma$ dans $\mathscr{G}$ muni de la topologie de la convergence compacte (Top. Gén., chap. X, 2e éd., § 3, no 4, th. 3); donc $u_{\gamma_0}^{-1}(S) \subset U$ pour $\gamma$ assez voisin de $\gamma_0$ . Le lemme 1 du no 1 prouve alors que $\int f(u_\gamma(x)) d\mu(x)$ (où $\mu$ désigne une mesure de Haar à gauche de G) dépend continûment de $\gamma$ ; d'où la proposition.

5. Mesure de Haar d'un produit.

Proposition 5

Soit $(G_i)_{i \in I}$ une famille de groupes localement compacts. Pour tout $i \in I$ , soit $\mu_i$ une mesure de Haar à gauche (resp. à droite) sur $G_i$ . On suppose qu'il existe une partie finie J de I telle que, pour tout $i \in I - J$ , $G_i$ soit compact et $\mu(G_i) = 1$ . Alors la mesure produit $\bigotimes_{i \in I} \mu_i$ est une mesure de Haar à gauche (resp. à droite) sur $G = \prod_{i \in I} G_i$ . Si $x = (x_i) \in G$ , on a

\Delta_G(x) = \prod_{i \in I} \Delta_{G_i}(x_i).

Pour toute partie finie J de I, $\bigotimes_{i \in J} \mu_i$ est une mesure de Haar à gauche (resp. à droite) sur $\prod_{i \in J} G_i$ , comme il résulte aussitôt des définitions. Donc $\bigotimes_{i \in I} \mu_i$ est une mesure de Haar à gauche (resp. à droite) sur G (chap. III, § 5, no 5, prop. 6). D'autre part, si les $\mu_i$ sont des mesures de Haar à gauche, on a

\delta(x)(\bigotimes_{i \in I} \mu_i) = \bigotimes_{i \in I} \delta(x_i) \mu_i = \bigotimes_{i \in I} (\Delta_{G_i}(x_i) \mu_i) = (\prod_{i \in I} \Delta_{G_i}(x_i)) \bigotimes_{i \in I} \mu_i,

d'où $\Delta_G(x) = \prod_{i \in I} \Delta_{G_i}(x_i)$ .

Exemple 1

La mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}^n$ est une mesure de Haar du groupe additif $\mathbf{R}^n$ .

Exemple 2

L’application $(r, u) \to ru$ est un isomorphisme de $\mathbf{R}_+^* \times \mathbf{U}$ sur $\mathbf{C}^*$ (Top. gén., chap. VIII, § 1, no 3). Si on identifie $\mathbf{C}^*$ à $\mathbf{R}_+^* \times \mathbf{U}$ par cet isomorphisme, et si on note $du$ une mesure de Haar de $\mathbf{U}$ , $r^{-1} dr du$ est une mesure de Haar de $\mathbf{C}^*$ d’après l’exemple 2 du no 2. D’autre part, la bijection $\theta \to e^{2i\pi\theta}$ de $[0, 1[$ sur $\mathbf{U}$ transforme la mesure de Lebesgue $d\theta$ de $[0, 1[$ en une mesure de Haar sur $\mathbf{U}$ d’après l’exemple 3 du no 2. Il en résulte que, si $f \in \mathscr{H}(\mathbf{C}^*)$ , l’intégrale

\int_0^{+\infty} \int_0^1 f(re^{2i\pi\theta}) r^{-1} dr d\theta

définit une mesure de Haar sur $\mathbf{C}^*$ .

6. Mesure de Haar d’une limite projective.

Soit G un groupe localement compact (donc complet). Soit $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille filtrante décroissante de sous-groupes distingués compacts de G, d’intersection $\{e\}$ (de sorte que la base de filtre formée des $K_\alpha$ converge vers $e$ ). Posons $G_\alpha = G/K_\alpha$ ; soient $\varphi_\alpha : G \to G_\alpha$ et $\varphi_{\beta \alpha} : G_\alpha \to G_\beta$ ( $\alpha \geq \beta$ ) les homomorphismes canoniques. Alors la limite projective du système projectif $(G_\alpha, \varphi_{\beta \alpha})$ s’identifie à G et l’application canonique de cette limite projective dans $G_\alpha$ s'identifie à $\varphi_\alpha$ (Top. Gén., chap. III, 3e éd., § 7, n° 3, prop. 2). Les applications $\varphi_\alpha$ et $\varphi_{\beta\alpha}$ sont propres (loc. cit., § 4, n° 1, cor. 2 de la prop. 1). Ces données resteront fixées dans tout ce n°.

Lemme 2

a) Soient $f \in \mathscr{K}_+(G)$ , S une partie compacte de $G$ contenant $\mathrm{Supp}\ f$ , U un voisinage ouvert de $S$ dans $G$ , et $\varepsilon > 0$ . Il existe un $\alpha \in A$ et une fonction $g \in \mathscr{K}_+(G)$ , nulle hors de $U$ , constante sur les classes suivant $K_\alpha$ , telle que $|f - g| \leq \varepsilon$ .

b) Soient $\mu$ et $\mu'$ deux mesures sur $G$ telles que $\varphi_\alpha(\mu) = \varphi_\alpha(\mu')$ pour tout $\alpha \in A$ . Alors $\mu = \mu'$ .

Il existe un $\alpha_1 \in A$ tel que $K_{\alpha_1} S \cap K_{\alpha_1}(G - U) = \varnothing$ (Top. Gén., chap. II, 3e éd., § 4, n° 3, prop. 4). En augmentant $S$ et en diminuant $U$ , on peut donc supposer que $S$ et $U$ sont des réunions de classes suivant $K_{\alpha_1}$ . Considérons les fonctions numériques continues $h$ sur $S$ qui possèdent la propriété suivante : il existe $\alpha \geq \alpha_1$ tel que $h$ soit constante sur les classes suivant $K_\alpha$ . Ces fonctions forment une sous-algèbre de $\mathscr{K}(S)$ (parce que la famille $(K_\alpha)$ est filtrante décroissante) qui contient les constantes et qui sépare les points de $S$ : en effet, soient $x, y$ deux points distincts de $S$ ; comme l’intersection des $K_\alpha$ est $\{e\}$ , il existe $\alpha \geq \alpha_1$ tel que $\varphi_\alpha(x) \neq \varphi_\alpha(y)$ , puis une fonction numérique $u$ continue dans $\varphi_\alpha(S)$ , telle que $u(\varphi_\alpha(x)) \neq u(\varphi_\alpha(y))$ . D’après le th. de Weierstrass-Stone, il existe un $\alpha \geq \alpha_1$ et une fonction $h \geq 0$ continue dans $S$ , constante sur les classes suivant $K_\alpha$ , et telle que $|f - h| \leq \frac{\varepsilon}{2}$ dans $S$ . Pour tout $t \in \mathbf{R}$ , posons $\delta(t) = \left( t - \frac{\varepsilon}{2} \right)^+$ , et posons $h' = \delta \circ h$ . Alors $h'$ est une fonction $\geq 0$ , continue dans $S$ , constante sur les classes suivant $K_\alpha$ , et l’on a $|h - h'| \leq \frac{\varepsilon}{2}$ dans $S$ , donc $|f - h'| \leq \varepsilon$ dans $S$ . D’autre part, on a $h'(x) = 0$ si $x$ appartient à la frontière de $S$ dans $G$ , car alors $h(x) \leq \frac{\varepsilon}{2}$ . Si on prolonge $h'$ par 0 dans le complémentaire de $S$ , on obtient une fonction $g$ qui répond à la question, ce qui prouve a).

Soient maintenant $\mu, \mu'$ deux mesures sur $G$ telles que $\varphi_\alpha(\mu) = \varphi_\alpha(\mu')$ pour tout $\alpha \in A$ . Soit $v \in \mathscr{K}(G)$ une fonction constante sur les classes suivant $K_\alpha$ pour un $\alpha \in A$ , de sorte qu’on peut écrire $v = w \circ \varphi_\alpha$ avec $w \in \mathscr{K}(G_\alpha)$ ; on a alors $\mu(v) = (\varphi_\alpha(\mu))(w) = (\varphi_\alpha(\mu'))(w) = \mu'(v)$ ; on en conclut que $\mu = \mu'$ en vertu de a).

Proposition 6

Pour tout $\alpha \in A$ , soit $\mu_\alpha$ une mesure positive sur $G_\alpha$ . On suppose que $\varphi_{\beta\alpha}(\mu_\alpha) = \mu_\beta$ pour $\alpha \geq \beta$ . Il existe alors une mesure positive $\mu$ sur $G$ et une seule telle que $\varphi_\alpha(\mu) = \mu_\alpha$ pour tout $\alpha \in A$ .

L’unicité résulte aussitôt du lemme 2 b). Prouvons l’existence de $\mu$ . Soit V l’espace vectoriel des fonctions appartenant à $\mathscr{K}(G)$ et constantes sur les classes suivant un $K_\alpha$ . D’après le lemme 2 a), V est un sous-espace vectoriel positivement riche (chap. III, § 2, no 5) de $\mathscr{K}(G)$ . Soit $f \in V$ . Il existe un $\alpha \in A$ tel que $f$ soit constante sur les classes suivant $K_\alpha$ . Par passage au quotient, $f$ définit une fonction $f_\alpha \in \mathscr{K}(G_\alpha)$ . Le nombre $\mu(f) = \mu_\alpha(f_\alpha)$ ne dépend pas du choix de $\alpha$ ; car soit $\beta$ un indice tel que $f$ soit constante sur les classes suivant $K_\beta$ ; soit $\gamma \in A$ tel que $\gamma \geq \alpha, \gamma \geq \beta$ ; alors $f$ définit des fonctions $f_\beta \in \mathscr{K}(G_\beta), f_\gamma \in \mathscr{K}(G_\gamma)$ telles que $f = f_\beta \circ \varphi_\beta = f_\gamma \circ \varphi_\gamma$ ; on a $f_\alpha \circ \varphi_{\alpha\gamma} = f_\gamma$ , donc $\mu_\gamma(f_\gamma) = (\varphi_{\alpha\gamma}(\mu_\gamma))(f_\alpha) = \mu_\alpha(f_\alpha)$ , et de même $\mu_\gamma(f_\gamma) = \mu_\beta(f_\beta)$ , d’où notre assertion. Ceci posé, il est clair que $\mu$ est une forme linéaire sur V et que $\mu(f) \geq 0$ pour $f \geq 0$ . D’après la prop. 2 du chap. III, § 2, no 5, $\mu$ se prolonge en une mesure positive, que nous noterons encore $\mu$ , sur $G$ . On a $\varphi_\alpha(\mu) = \mu_\alpha$ pour tout $\alpha \in A$ par construction même de $\mu$ .

Définition 5

On dit que $\mu$ est la limite projective des $\mu_\alpha$ *.

Proposition 7

On conserve les notations de la prop. 6. Si chaque $\mu_\alpha$ est une mesure de Haar à gauche (resp. à droite) sur $G_\alpha$ , alors $\mu$ est une mesure de Haar à gauche (resp. à droite) sur $G$ *.

Supposons par exemple que les $\mu_\alpha$ soient des mesures de Haar à gauche. Soit $s \in G$ . On a, pour tout $x \in G$ ,

(\varphi_\alpha \circ \gamma(s))(x) = \varphi_\alpha(sx) = \varphi_\alpha(s)\varphi_\alpha(x) = (\gamma(\varphi_\alpha(s)) \circ \varphi_\alpha)(x);

donc

\varphi_\alpha(\gamma(s)\mu) = \gamma(\varphi_\alpha(s))\mu_\alpha = \mu_\alpha

. Donc

\gamma(s)\mu = \mu

d'après le lemme 2 b), de sorte que

\mu

est une mesure de Haar à gauche.

On suppose désormais les $K_\alpha$ , non seulement compacts, mais ouverts dans G. Alors les $G_\alpha$ sont discrets, et $K_\alpha/K_\beta$ est, pour $\beta \geq \alpha$ , un groupe compact et discret, donc fini. Le groupe G est unimodulaire (prop. 3).

Proposition 8

a) *Soient $\mu$ et $\mu'$ deux mesures positives sur G telles que, pour tout $\alpha$ et toute classe C suivant $K_\alpha$ , on ait $\mu(C) = \mu'(C)$ . Alors $\mu = \mu'$ .

b) Fixons un $\alpha_0 \in A$ . Pour tout $\alpha \geq \alpha_0$ , soit $n_\alpha$ le nombre d'éléments du groupe fini $K_{\alpha_0}/K_\alpha$ . Il existe sur G une mesure positive $\mu$ et une seule telle que, pour tout $\alpha \in A$ , chaque classe suivant $K_\alpha$ soit de mesure $n_\alpha^{-1}$ . En outre, $\mu$ est une mesure de Haar sur G, telle que $\mu(K_{\alpha_0}) = 1$ .

Soient $\mu$ et $\mu'$ deux mesures positives sur G vérifiant la condition de a). Alors les points du groupe discret $G_\alpha$ ont même mesure pour $\varphi_\alpha(\mu)$ et $\varphi_\alpha(\mu')$ , d'où $\varphi_\alpha(\mu) = \varphi_\alpha(\mu')$ et ceci quel que soit $\alpha$ . Donc $\mu = \mu'$ (lemme 2 b)).

Prouvons b). Pour tout $\alpha \geq \alpha_0$ , soit $\mu_\alpha$ la mesure de Haar du groupe discret $G_\alpha$ telle que chaque point soit de mesure $n_\alpha^{-1}$ . Soient $\alpha, \beta$ tels que $\alpha \geq \beta \geq \alpha_0$ . Alors $K_\beta/K_\alpha$ a $n_\alpha/n_\beta$ éléments. Donc $\varphi_{\beta\alpha}(\mu_\alpha)$ est la mesure sur $G_\beta$ telle que chaque point ait pour mesure $n_\alpha^{-1} \frac{n_\alpha}{n_\beta} = n_\beta^{-1}$ ; autrement dit,

\varphi_{\beta\alpha}(\mu_\alpha) = \mu_\beta.

Il suffit alors d'appliquer les prop. 6 et 7.

Exemple

Soit $\mathbf{Q}_p$ le corps $p$ -adique, complété de $\mathbf{Q}$ pour la valeur absolue $p$ -adique $|x|_p = p^{-v_p(x)}$ (Top. Gén., chap. IX, 2e éd., § 3, n° 2). Les éléments de $\mathbf{Q}_p$ s'appellent nombres $p$ -*adiques*. Nous noterons encore $|x|_p$ le prolongement continu à $\mathbf{Q}_p$ de la valeur absolue $p$ -adique. On a

|x + y|_p \leq \sup(|x|_p, |y|_p)

pour $x, y$ dans $\mathbf{Q}$ (loc. cit.), donc pour $x, y$ dans $\mathbf{Q}_p$ ; en outre, si $|y|_p < |x|_p$ , on a $|x + y|_p = |x|_p$ , car

|x|_p = |(x + y) - y|_p \leq \sup(|x + y|_p, |y|_p).

(x_n)

est une suite de points de

\mathbf{Q}_p

tendant vers

x \in \mathbf{Q}_p^*

, on a

|x - x_n|_p < |x|_p

|x - x_n|_p < |x_n|_p

pour

n

assez grand, donc

|x|_p = |x_n|_p

. Ceci prouve que, pour tout

x \in \mathbf{Q}_p^*

|x|_p

est une puissance de

p

Soit $\mathbf{Z}_p$ l’adhérence de $\mathbf{Z}$ dans $\mathbf{Q}_p$ ; c’est un sous-anneau de $\mathbf{Q}_p$ ; ses éléments s’appellent entiers p-adiques. On a $|x|_p \leq 1$ pour tout $x \in \mathbf{Z}_p$ . Réciproquement, soit $x$ un élément de $\mathbf{Q}_p$ tel que $|x|_p \leq 1$ , et montrons que $x \in \mathbf{Z}_p$ ; il existe une suite $(x_n)$ d’éléments de $\mathbf{Q}$ tendant vers $x$ , et $|x_n|_p \leq 1$ pour $n$ assez grand d’après ce qu’on a vu plus haut ; il suffit de montrer que $x_n$ appartient à $\mathbf{Z}_p$ pour $n$ assez grand ; autrement dit, nous sommes ramenés au cas où $x \in \mathbf{Q}$ ; alors $x = a/b$ avec $b$ étranger à $p$ ; pour tout entier $n > 0$ , il existe $b'_n \in \mathbf{Z}$ et $h_n \in \mathbf{Z}$ tels que $bb'_n + h_n p^n = 1$ , d’où

x = \frac{abb'_n + ah_n p^n}{b} = ab'_n + \frac{ah_n p^n}{b}

|x - ab'_n|_p \leq p^{-n}

, donc

ab'_n

tend vers

x

Il résulte de là que la boule fermée de centre 0 et de rayon $p^{-n}$ , identique à la boule ouverte de centre 0 et de rayon $p^{-n+1}$ , est $p^n \mathbf{Z}_p$ . L’espace topologique $\mathbf{Q}_p$ est donc éparpillé et par suite totalement discontinu (Top. Gén., Chap. IX, 2e éd., § 6, no 4).

Montrons que les entiers $0, 1, \ldots, p^n - 1$ constituent un système de représentants de $\mathbf{Z}_p$ modulo $p^n \mathbf{Z}_p$ . D’abord, on a $|k - k'|_p > p^{-n}$ pour deux tels entiers $k$ et $k'$ , donc les classes modulo $p^n \mathbf{Z}_p$ de ces entiers sont distinctes. D’autre part, soit $x \in \mathbf{Z}_p$ ; il existe un $k \in \mathbf{Z}$ tel que $|x - k|_p \leq p^{-n}$ ; en ajoutant à $k$ un multiple de $p^n$ , on peut supposer que $k \in \{0, p^n - 1\}$ , et $x$ est congru à $k$ modulo $p^n \mathbf{Z}_p$ . D’où notre assertion. Ceci montre que $\mathbf{Z}_p / p^n \mathbf{Z}_p$ est canoniquement isomorphe à $\mathbf{Z}/p^n \mathbf{Z}$ . On voit en outre que $\mathbf{Z}_p$ est précompact, donc compact puisqu’il est complet. Comme $\mathbf{Z}_p$ est un sous-groupe ouvert de $\mathbf{Q}_p$ , $\mathbf{Q}_p$ est localement compact. La topologie de $\mathbf{Q}_p$ est à base dénombrable (Top. Gén., Chap. IX, 2e éd., § 2, n° 9, cor. de la prop. 16). Le groupe additif $\mathbf{Q}_p$ s’identifie à la limite projective des groupes discrets $\mathbf{Q}_p / p^n \mathbf{Z}_p$ .

Il existe sur le groupe additif $\mathbf{Q}_p$ une mesure de Haar $\alpha$ et une seule telle que $\alpha(\mathbf{Z}_p) = 1$ ; celle-ci est dite la mesure de Haar normalisée sur $\mathbf{Q}_p$ . Comme $\mathbf{Z}_p$ est réunion de $p^n$ classes disjointes suivant $p^n \mathbf{Z}_p$ ( $n$ entier $\geqslant 0$ ), on a $\alpha(p^n \mathbf{Z}_p) = p^{-n}$ ; de même, $\alpha(p^{-n} \mathbf{Z}_p) = p^n$ , de sorte que finalement $\alpha(p^n \mathbf{Z}_p) = p^{-n}$ pour tout $n \in \mathbf{Z}$ . D’après la prop. 8 b), $\alpha$ est la seule mesure positive sur $\mathbf{Q}_p$ telle que toute classe suivant $p^n \mathbf{Z}_p$ ( $n$ entier $\geqslant 0$ ) soit de mesure $p^{-n}$ .

La restriction de $\alpha$ à $\mathbf{Z}_p$ est évidemment une mesure de Haar sur $\mathbf{Z}_p$ .

7. Définition locale d’une mesure de Haar.

Proposition 9

Soient $G$ un groupe localement compact, $V$ une partie ouverte de $G$ , $\mu$ une mesure positive non nulle sur $V$ , ayant la propriété suivante : si $U$ est une partie ouverte de $V$ et si $s \in G$ est tel que $sU \subset V$ , l’image de la mesure $\mu_U$ , induite par $\mu$ sur $U$ , par l’homéomorphisme $x \to sx$ de $U$ sur $sU$ , est $\mu_{sU}$ . Alors il existe sur $G$ une mesure de Haar à gauche $\alpha$ et une seule induisant $\mu$ sur $V$ .

Pour tout $s \in G$ , soit $\mu_s$ l’image de $\mu$ par l’homéomorphisme $x \to sx$ de $V$ sur $sV$ . La restriction de $\mu_s$ à $V \cap sV$ est l’image de $\mu_{s^{-1}V \cap V}$ par la restriction de $x \to sx$ à $s^{-1}V \cap V$ ; par hypothèse, cette image est $\mu_{V \cap sV}$ . Par translation, on en conclut que $\mu_s$ et $\mu_t$ ont même restriction à $sV \cap tV$ quels que soient $s, t$ . D’après la prop. 1 du chap. III, § 3, n° 1, il existe donc une mesure $\alpha$ sur $G$ induisant $\mu_s$ sur $sV$ quel que soit $s$ . Il est clair que $\alpha$ est l’unique mesure de Haar à gauche sur $G$ induisant $\mu$ sur $V$ .

Corollaire

Soient $G, G'$ deux groupes localement compacts, $V$ (resp. $V'$ ) un voisinage ouvert de l’élément neutre de $G$ (resp. $G'$ ), $\varphi$ un isomorphisme local de $G'$ à $G$ (Top. Gén., chap. III, § 1, n° 3, déf. 2) défini dans $V'$ , tel que $\varphi(V') = V$ .

Soient $\alpha'$ une mesure de Haar à gauche sur $G'$ , et $\alpha'_{V'}$ sa restriction à $V'$ . Alors $\varphi(\alpha'_{V'})$ est la restriction à $V$ d'une mesure de Haar à gauche unique $\alpha$ sur $G$ .

Soit $V_1$ un voisinage ouvert de $e$ dans $G$ tel que $V_1 V_1^{-1} \subset V$ . Soit $\mu$ la restriction de $\varphi(\alpha'_{V'})$ à $V_1$ . Soient $U$ une partie ouverte de $V_1$ et $s \in G$ tels que $sU \subset V_1$ . On a $s \in V_1 V_1^{-1} \subset V$ , donc $s = \varphi(s')$ avec un $s' \in V'$ . Soit $x \in U$ . On a $x = \varphi(x')$ avec un $x' \in V'$ , donc $sx = \varphi(s')\varphi(x') = \varphi(s'x')$ puisque $sx \in sU \subset V$ . Comme les translations à gauche dans $G'$ conservent $\alpha'$ , on voit que $V_1$ et $\mu$ satisfont aux conditions de la prop. 9. Soit $\alpha$ la mesure de Haar à gauche sur $G$ induisant $\mu$ sur $V_1$ . Pour tout $t \in V$ , il existe un voisinage ouvert $W$ de $e$ dans $V_1$ tel que $tW \subset V$ . Alors la restriction de $\varphi(\alpha'_{V'})$ à $tW$ se déduit par translation de la restriction de $\mu$ à $W$ , donc est la restriction de $\alpha$ à $tW$ . Donc $\varphi(\alpha'_{V'})$ est la restriction de $\alpha$ à $V$ .

On dit que $\alpha$ se déduit de $\alpha'$ par l'isomorphisme local $\varphi$ .

Exemple

La mesure de Haar sur $\mathbf{T}$ obtenue au no 2, Exemple 3, peut se déduire de la mesure de Lebesgue de $\mathbf{R}$ par un isomorphisme local de $\mathbf{R}$ à $\mathbf{T}$ .

8. Mesures relativement invariantes.

Proposition 10

Soient $G$ un groupe localement compact, $\mu$ une mesure relativement invariante à gauche de multiplicateur $\chi$ sur $G$ . Si $\chi_1$ est une représentation continue de $G$ dans $\mathbf{C}^*$ , la mesure $\chi_1.\mu$ est relativement invariante à gauche de multiplicateur $\chi_1 \chi$ .

En effet,

\gamma(s)(\chi_1 \cdot \mu) = (\gamma(s)\chi_1) \cdot (\gamma(s)\mu) = (\chi_1(s^{-1})\chi_1) \cdot (\chi(s)^{-1}\mu) = (\chi_1 \chi)(s)^{-1}(\chi_1 \cdot \mu).

Corollaire 1

Soit $\mu$ une mesure de Haar à gauche sur $G$ . Pour qu'une mesure non nulle $\nu$ sur $G$ soit relativement invariante à gauche, il faut et il suffit qu'elle soit de la forme $a \chi \cdot \mu$ , où $a \in \mathbf{C}^*$ et où $\chi$ est une représentation continue de $G$ dans $\mathbf{C}^*$ ; son multiplicateur est alors $\chi$ .

La condition est suffisante (prop. 10). D'autre part, si $\nu$ est une mesure non nulle relativement invariante à gauche de multiplicateur $\chi$ , $\chi^{-1}.\nu$ est invariante à gauche (prop. 10), donc de la forme $a\mu$ avec $a \in \mathbf{C}^*$ (n° 2, cor. du th. 1).

Corollaire 2

Toute mesure relativement invariante à gauche est relativement invariante à droite.

En effet, avec les notations du cor. 1, on a

\delta(s)(\chi \cdot \mu) = (\delta(s)\chi) \cdot (\delta(s)\mu) = (\chi(s)\chi) \cdot (\Delta_G(s)\mu) = (\chi \Delta_G)(s)(\chi \cdot \mu).

En raison du cor. 2, on parlera désormais de mesures relativement invariantes sur $G$ , sans préciser. Les mesures relativement invariantes admettent comme cas particuliers les mesures de Haar à gauche et les mesures de Haar à droite. Etant donnée une mesure relativement invariante $\nu$ sur $G$ , il convient de distinguer son multiplicateur à gauche $\chi$ et son multiplicateur à droite $\chi'$ définis par $\gamma(s)\nu = \chi(s)^{-1}\nu, \delta(s)\nu = \chi'(s)\nu$ . D'après (34), on a entre ces multiplicateurs la relation

\chi' = \chi \Delta_G.

Notant toujours $\mu$ une mesure de Haar à gauche, on a

\tilde{\nu} = (\chi \cdot \mu)\tilde{\nu} = \tilde{\chi} \cdot \tilde{\mu} = (\chi^{-1}\Delta_G^{-1}) \cdot \mu,

donc $\tilde{\nu}$ est relativement invariante de multiplicateur à gauche $\chi^{-1}\Delta_G^{-1}$ , de multiplicateur à droite $\chi^{-1}$ .

Les notions de fonctions négligeables, localement négligeables, mesurables, localement intégrables sont les mêmes vis-à-vis de toute mesure relativement invariante.

9. Mesures quasi-invariantes.

Proposition 11

Soient* $G$ un groupe localement compact, $\mu$ une mesure de Haar à gauche sur $G$ . Pour qu'une mesure ν ≠ 0 sur G soit quasi-invariante à gauche, il faut et il suffit que ν soit équivalente à μ.

La suffisance est évidente. Soit ν ≠ 0 une mesure quasi-invariante à gauche, et montrons que ν est équivalente à μ. On peut se borner au cas où ν > 0. Soit A une partie compacte de G. On va montrer, ce qui établira la proposition, que les conditions μ(A) = 0, ν(A) = 0 sont équivalentes (chap. V, § 5, no 5, Remarque).

a) Pour toute f ∈ $\mathscr{K}_+(G)$ , la fonction $(x, y) \to f(x)\varphi_A(xy)$ sur $G \times G$ est $(\nu \otimes \mu)$ -intégrable, car elle est semi-continue supérieurement, bornée, et son support est contenu dans l’ensemble compact $K \times K^{-1}A$ si l’on pose $K = \mathrm{Supp}\, f$ . On a donc, par le théorème de Lebesgue-Fubini

\int d\nu(y) \int \varphi_A(xy)f(x)d\mu(x) = \int f(x)d\mu(x) \int \varphi_A(xy)d\nu(y).

b) Supposons ν(A) = 0. Par hypothèse, ν(xA) = 0 pour tout $x \in G$ , donc le second membre de (36) est nul. Il existe donc un ensemble ν-négligeable N, tel que, pour $y \notin N_f$ , on ait

0 = \int \varphi_A(xy)f(x)d\mu(x) = \Delta_G(y)^{-1} \int \varphi_A(x)f(xy^{-1})d\mu(x).

Soit B une partie compacte de G telle que ν(B) ≠ 0, et prenons pour f une fonction de $\mathscr{K}_+(G)$ égale à 1 sur AB⁻¹. Il existe alors un $y \in B$ tel que (37) soit vérifié. Mais comme

\varphi_A(x)f(xy^{-1}) = \varphi_A(x)

pour $y \in B$ , cela prouve que $\mu(A) = 0$ .

c) Supposons $\mu(A) = 0$ . Alors, pour toute $f \in \mathscr{K}_+(G)$ , le premier membre de (36) est nul, donc aussi le second. Par suite, il existe un ensemble M localement $\mu$ -négligeable tel que

\int \varphi_A(xy)d\nu(y) = 0,

pour $x \notin M$ . Comme $\mu \neq 0$ , on en conclut que ν(xA) = 0 pour certains $x \in G$ , d’où ν(A) = 0.

Appliquant la prop. 11 à G°, on voit que les mesures quasi-invariantes à droite sont identiques aux mesures quasi-invariantes à gauche. On les appelle simplement mesures quasi-invariantes sur G.

10. Corps localement compacts.

Définition 6

Soit K un corps localement compact. Pour $a \in K^*$ , on appelle module de a, et on note $\mathrm{mod}_K(a)$ ou simplement $\mathrm{mod}(a)$ , le module de l’automorphisme $x \to ax$ du groupe additif $K^+$ sous-jacent à K ; on pose $\mathrm{mod}(0) = 0$ .

Exemple 1

Soit $K = \mathbf{R}$ . Si $s > 0$ , on a $s \cdot (0,1) = (0,s)$ ; si $s < 0$ , on a $s \cdot (0,1) = (s,0)$ . Donc $\mathrm{mod}_\mathbf{R} t = |t|$ pour tout $t \in \mathbf{R}$ .

Exemple 2

Soit $K = \mathbf{Q}_p$ . Si $s \in \mathbf{Q}_p^*$ est tel que $|s|_p = p^{-n}$ , alors $s \mathbf{Z}_p$ est l’ensemble des $x \in \mathbf{Q}_p$ tels que $|x|_p \leq p^{-n}$ ; donc, si on désigne par $\mu$ la mesure de Haar normalisée sur $\mathbf{Q}_p$ , on a

\mu(s \mathbf{Z}_p) = p^{-n}.

Donc

\mathrm{mod}_{\mathbf{Q}_p} t = |t|_p

pour tout

t \in \mathbf{Q}_p

Proposition 12

La fonction mod est continue dans K, et on a $\mathrm{mod}(ab) = \mathrm{mod}(a)\mathrm{mod}(b)$ quels que soient $a, b$ dans K.

La dernière relation est évidente. La prop. 4 du n° 4 montre que la fonction mod est continue en tout point de $K^*$ . Il ne reste qu’à démontrer sa continuité en 0. Celle-ci est évidente pour K discret ; nous supposerons donc K non discret. Soient $\alpha$ une mesure de Haar sur $K^+$ et C une partie compacte de K telle que $\alpha(C) > 0$ ; pour $a \in K^*$ , on a $\alpha(aC) = \mathrm{mod}(a)\alpha(C)$ . Comme K n’est pas discret, on a $\alpha(\{0\}) = 0$ (n° 2, prop. 2); pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe donc un voisinage ouvert U de 0 tel que $\alpha(U) \leq \varepsilon$ . Comme le produit dans K est continu, on a $aC \subset U$ pour $a$ assez voisin de 0, et alors $\mathrm{mod}(a) \leq \varepsilon / \alpha(C)$ .

Proposition 13

Pour tout $M > 0$ , soit $V_M$ l’ensemble des $x \in K$ tels que $\mathrm{mod}(x) \leq M$ . Si K est non discret, les $V_M$ forment un système fondamental de voisinages compacts de 0 dans K.

Les $V_M$ sont des voisinages fermés de 0 d’après la prop. 12. Montrons qu’ils sont compacts. Soit U un voisinage compact de 0. Il existe un $r \neq 0$ dans K tel que $\mathrm{mod}(r) < 1$ et $r^n \in U$ pour tout $n > 0$ : en effet, soit W un voisinage de 0 tel que $WU \subset U$ ; d’après la prop. 12, il existe un $r \neq 0$ dans K tel que $\mathrm{mod}(r) < 1$ et $r \in U \cap W$ ; on a $r^2 \in WU \subset U$ , et $r^n \in U$ pour tout $n > 0$ , par récurrence sur $n$ . Nous allons montrer que $V_M$ est contenu dans une réunion finie d’ensemble $r^{-q}U$ ( $q$ entier $\geqslant 0$ ), ce qui prouvera bien que les $V_M$ sont compacts. Si $x$ est une valeur d’adhérence de la suite $(r^n)$ , $\mathrm{mod}(x)$ est valeur d’adhérence de la suite $(\mathrm{mod}(r)^n)$ , donc $\mathrm{mod}(x) = 0,\ x = 0$ ; comme U est compact, on en conclut (Top. Gén., chap. I, 3e éd., § 9, no 1, cor. du th. 7) que $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ . Soit alors $a \in V_M$ .

Comme la suite $(r^n a)_{n \geqslant 0}$ tend vers 0, il existe un plus petit entier $n \geqslant 0$ tel que $r^n a \in U$ . Si $n > 0$ , on a $r^{n-1} a \notin U$ , donc $r^n a \in U \cap C(rU)$ ; l’adhérence X de $U \cap C(rU)$ est compacte puisque U est compact, et ne contient pas 0 puisque $rU$ est un voisinage de 0 ; donc, dans X, $\mathrm{mod}\, x$ est minoré par un nombre $m > 0$ . Donc, si $n > 0$ , on a $m \leqslant \mathrm{mod}(r^n a)$ , d’où $\mathrm{mod}(r^{-1})^n \leqslant M/m$ . Comme $\mathrm{mod}(r^{-1}) > 1$ , l’entier $n$ n’est susceptible que d’un nombre fini de valeurs ne dépendant pas de $a$ , ce qui achève de prouver notre assertion.

Ceci étant, comme l’intersection des $V_M$ est réduite à {0}, les $V_M$ forment un système fondamental de voisinages de 0 (Top. Gén., Chap. I, 3e éd., § 9, no 2, prop. 1).

Corollaire

La topologie d’un corps localement compact non discret admet une base dénombrable*.

En effet, K est réunion des ensembles compacts $V_1, V_2, \ldots$ . D’autre part, K est métrisable d’après la prop. 1 de Top. Gén., Chap. IX, 2e éd., § 3, no 1. Donc la topologie de K admet une base dénombrable (loc. cit., § 2, cor. de la prop. 16).

Proposition 14

Soit $\alpha$ une mesure de Haar sur $K^+$ . Alors la mesure $\beta = (\mathrm{mod}_K)^{-1} \cdot \alpha$ sur $K^*$ est une mesure de Haar à gauche sur le groupe multiplicatif $K^*$ .

En effet, si $b \in K^*$ , l’application $a \to b^{-1}a$ de $K$ dans $K$ transforme $\alpha$ en $(\mathrm{mod}_K\ b)\alpha$ , donc $(\mathrm{mod}_K)^{-1}\alpha$ en elle-même, d’où la proposition.

Corollaire

Soit $f$ une fonction définie dans $K^*$ , à valeurs dans $\overline{\mathbf{R}}$ ou dans un espace de Banach. Pour que $f$ soit $\beta$ -intégrable, il faut et il suffit que $(\mathrm{mod}_K)^{-1}f$ soit $\alpha$ -intégrable, et on a

\int_{K^*} f(x)d\beta(x) = \int_{K^+} (\mathrm{mod}_K(x))^{-1}f(x)d\alpha(x).

Ceci résulte de la prop. 14, du cor. de la prop. 13, et du chap. V, § 5, no 3, th. 1.

Proposition 15

Supposons $K$ commutatif. Soit $u$ un automorphisme de l’espace vectoriel $E = K^n$ . Alors

\mathrm{mod}_E u = \mathrm{mod}_K (\det u).

Il suffit de vérifier la formule lorsque $u$ parcourt un système de générateurs de $\mathbf{GL}(E)$ . Or $\mathbf{GL}(E)$ est engendré par les éléments suivants (Alg., chap. II, 3e éd., § 10, no 13, cor. 2 de la prop. 14) : (a) les éléments $u_1$ de la forme

(x_1, \ldots, x_n) \to (x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)}),

où

\sigma \in \mathfrak{S}_n

; (b) les éléments

u_2

de la forme

(x_1, \ldots, x_n) \to (ax_1, x_2, \ldots, x_n)

avec

a \in K^*

; (c) les éléments

u_3

de la forme

(x_1, \ldots, x_n) \to (x_1 + \sum_{i=2}^n c_i x_i, x_2, \ldots, x_n).

Si $f \in \mathscr{K}(E)$ , on a, en notant $\alpha$ une mesure de Haar sur $K^+$ ,

\int \cdots \int_{K^n} f(x_1 + \sum_{i=2}^n c_i x_i, x_2, \ldots, x_n) d\alpha(x_1) d\alpha(x_2) \cdots d\alpha(x_n)

= \int \cdots \int_{K^{n-1}} d\alpha(x_2) \cdots d\alpha(x_n) \int_K f(x_1 + \sum_{i=2}^n c_i x_i, x_2, \ldots, x_n) d\alpha(x_1)

= \int \cdots \int_{K^{n-1}} d\alpha(x_2) \cdots d\alpha(x_n) \int_K f(x_1, x_2, \ldots, x_n) d\alpha(x_1)

= \int \cdots \int_{K^n} f(x_1, \ldots, x_n) d\alpha(x_1) \cdots d\alpha(x_n);

et d'autre part $\mathrm{mod}_K (\det u_3) = \mathrm{mod}_K(1) = 1$ , d'où le résultat pour $u_3$ . On l'établit de manière analogue pour $u_1$ et $u_2$ .

Soient K un corps localement compact commutatif, E un espace vectoriel de dimension finie n sur K. Si $\varphi$ est un isomorphisme de l'espace vectoriel $K^n$ sur l'espace vectoriel E, $\varphi$ transforme la topologie de $K^n$ en une topologie sur E qui fait de E un espace vectoriel localement compact. Cette topologie (dite canonique) est indépendante de $\varphi$ puisque tout automorphisme de l'espace vectoriel $K^n$ est bicontinu. Sauf mention du contraire, quand on parlera de E comme d'un espace vectoriel topologique, il s'agira toujours de la topologie qu'on vient de définir. Tout automorphisme $u$ de l'espace vectoriel E est bicontinu, donc $\mathrm{mod}_E u$ est défini. Par ailleurs, si $u$ est un endomorphisme non inversible de E, on pose $\mathrm{mod}_E u = 0$ . Alors :

Corollaire 1

Soient K un corps localement compact commutatif, E un espace vectoriel de dimension finie sur K, et u un endomorphisme de l'espace vectoriel E. On a*

\mathrm{mod}_E(u) = \mathrm{mod}_K(\det u).

u

est inversible, cela résulte de la prop. 15. Si

u

n'est pas inversible, on a

\det u = 0

, donc

\mathrm{mod}_K(\det u) = 0 = \mathrm{mod}_E u

Corollaire 2

Soient E un espace vectoriel réel de dimension finie n, $(e_1, e_2, \ldots, e_n)$ une base de E, P l'ensemble des $x = \sum_{i=1}^n \xi_i e_i \in E$ tels que $0 \leq \xi_i \leq 1$ pour tout i, $\mu$ l'unique mesure de Haar sur le groupe additif E telle que $\mu(P) = 1$ . Soient $x_1, \ldots, x_n$ des points de E, S l’enveloppe convexe fermée dans E de l’ensemble $\{0, x_1, \ldots, x_n\}$ . Si on pose $x_i = \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} e_j$ , on a

\mu(S) = \mu(\dot{S}) = \frac{1}{n!} |\det(\alpha_{ij})|.

Nous identifierons E à $\mathbf{R}^n$ par l’isomorphisme qui transforme $(e_i)$ en la base canonique de $\mathbf{R}^n$ . Alors $\mu$ s’identifie à la mesure de Lebesgue $\mu_n$ sur $\mathbf{R}^n$ .

Supposons d’abord que $x_i = e_i$ pour tout i. Alors S est l’ensemble $S_n$ des $x = (\xi_i) \in \mathbf{R}^n$ tels que

\xi_i \geqslant 0 \text{ pour tout } i \text{ et } \xi_1 + \ldots + \xi_n \leqslant 1.

Posons $\mu_n(S_n) = a_n$ . Soit $\lambda \in \mathbf{R}$ . Identifiant $\mathbf{R}^n$ à $\mathbf{R}^{n-1} \times \mathbf{R}$ , on peut considérer la coupe $C_\lambda$ de $S_n$ suivant $\lambda$ . Cette coupe est vide si $\lambda < 0$ ou $\lambda > 1$ ; si $0 \leqslant \lambda \leqslant 1$ , $C_\lambda$ est l’ensemble des $(\xi_1, \ldots, \xi_{n-1}) \in \mathbf{R}^{n-1}$ tels que

\xi_1 \geqslant 0, \ldots, \xi_{n-1} \geqslant 0, \quad \xi_1 + \ldots + \xi_{n-1} \leqslant 1 - \lambda,

donc se déduit de $S_{n-1}$ par une homothétie de rapport $1 - \lambda$ , de sorte que $\mu_{n-1}(C_\lambda) = (1 - \lambda)^{n-1} a_{n-1}$ . D’après le théorème de Lebesgue-Fubini,

a_n = \int_0^1 (1 - \lambda)^{n-1} a_{n-1} d\lambda = \frac{1}{n} a_{n-1}.

Comme $a_1 = 1$ , on voit que $a_n = \frac{1}{n!}$ .

Revenons au cas général du corollaire. Soit u l’endomorphisme de $\mathbf{R}^n$ tel que $u(e_i) = x_i$ pour tout i. On a $u(S_n) = S$ . Si u est inversible, la prop. 15 prouve que

\mu_n(S) = \frac{1}{n!} |\det u| = \frac{1}{n!} |\det(\alpha_{ij})|.

Comme $S - \dot{S}$ est contenu dans un nombre fini d’hyperplans, on a $\mu(\dot{S}) = \mu(S)$ . Enfin, si u est non inversible, S est contenu dans un hyperplan, de sorte que $\mu(S) = 0 = \det(\alpha_{ij})$ .

11. Algèbres de dimension finie sur un corps localement compact.

Soient K un corps commutatif, A une K-algèbre de rang fini à élément unité. Pour tout $a \in A$ , soient $L_a, R_a$ les endomorphismes $x \to ax, x \to xa$ de l’espace vectoriel A, et soient $N_{A/K}(a) \in K, N_{A^o/K}(a) \in K$ les normes de $a$ dans les représentations régulières de A et de l’algèbre opposée $A^o$ ; rappelons que $N_{A/K}(a) = \det(L_a), N_{A^o/K}(a) = \det(R_a)$ . Les conditions suivantes sont équivalentes : $a$ inversible, $L_a$ inversible dans $\mathrm{Hom}_K(A,A)$ , $R_a$ inversible dans $\mathrm{Hom}_K(A,A)$ , $N_{A/K}(a) \neq 0$ , $N_{A^o/K}(a) \neq 0$ . Notons $A^*$ l’ensemble des éléments inversibles de A.

Supposons maintenant le corps K localement compact, donc l’algèbre A localement compacte. Alors $N_{A/K}$ et $N_{A^o/K}$ sont des applications continues de A dans K, donc $A^*$ est ouvert dans A. D’après le cor. 1 de la prop. 15 du no 10, on a

\mathrm{mod}_A L_a = \mathrm{mod}_K N_{A/K}(a), \quad \mathrm{mod}_A R_a = \mathrm{mod}_K N_{A^o/K}(a).

Proposition 16

Soit $\alpha$ une mesure de Haar du groupe additif de A. Les mesures

(\mathrm{mod}_K N_{A/K}(a))^{-1} d\alpha(a), \quad (\mathrm{mod}_K N_{A^o/K}(a))^{-1} d\alpha(a)

sur $A^*$ sont des mesures de Haar respectivement à gauche et à droite du groupe multiplicatif $A^*$ .

En effet, soit $\alpha'$ la restriction de $\alpha$ à l’ensemble ouvert $A^*$ . Pour $a \in A^*$ , on a $L_a(\alpha') = (\mathrm{mod}_K N_{A/K}(a))^{-1} \alpha'$ , donc

(\mathrm{mod}_K N_{A/K}(a))^{-1} d\alpha'(a)

est une mesure de Haar à gauche sur $A^*$ (no 8, cor. 1 de la prop. 10). Passant à l’algèbre opposée, on voit que

(\mathrm{mod}_K N_{A^o/K}(a))^{-1} d\alpha'(a)

est une mesure de Haar à droite sur $A^*$ .

Proposition 17

Supposons que $A$ soit un corps (localement compact). Pour tout $a \in A$ , on $a \mod_A(a) = \mathrm{mod}_K N_{A/K}(a)$ .

C'est une traduction de la première formule (38).

Exemple 1

Prenons $K = \mathbf{R}$ , $A = \mathbf{C}$ . Compte tenu d'Alg., chap. VIII, § 12, n° 2, prop. 4, on obtient $\mathrm{mod}_C(z) = |z|^2$ pour tout $z \in \mathbf{C}$ .

Exemple 2

Prenons $K = \mathbf{R}$ , et pour $A$ le corps des quaternions $\mathbf{H}$ (Top. Gén., chap. VIII, 3e éd., § 1, n° 4). Considérons les éléments suivants de $\mathbf{M}_2(\mathbf{C})$ :

X_1 = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} \quad X_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad X_3 = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}

qui, avec $I_2$ , forment une base de $\mathbf{M}_2(\mathbf{C})$ sur $\mathbf{C}$ . On vérifie aisément que

X_1^2 = X_2^2 = X_3^2 = -I_2, \quad X_1 X_2 = -X_2 X_1 = X_3,

X_2 X_3 = -X_3 X_2 = X_1, \quad X_3 X_1 = -X_1 X_3 = X_2.

Donc l'application $a + b i + c j + d k \to a I_2 + b X_1 + c X_2 + d X_3$ se prolonge en un $\mathbf{C}$ -isomorphisme de l'algèbre $\mathbf{C} \otimes_\mathbf{R} \mathbf{H}$ sur l'algèbre $\mathbf{M}_2(\mathbf{C})$ . Comme $[\mathbf{H} : \mathbf{R}] = 4$ , $\mathbf{C}$ est un corps neutralisant de $\mathbf{H}$ , et la norme réduite de $q = a + b i + c j + d k \in \mathbf{H}$ est

\mathrm{Nrd}(q) = \det(a I_2 + b X_1 + c X_2 + d X_3)

= \det \begin{pmatrix} a + id & -c + ib \\ c + ib & a - id \end{pmatrix} = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \|q\|^2.

D'après Alg., chap. VIII, § 12, n° 3, prop. 8, on a

N_{\mathbf{H}/\mathbf{R}}(q) = (\mathrm{Nrd}_{\mathbf{H}/\mathbf{R}}(q))^2 = \|q\|^4.

Ceci posé, la prop. 17 montre que

\mathrm{mod}_\mathbf{H}(q) = \|q\|^4.

Une étude plus approfondie de la structure des corps localement compacts sera faite en Alg. comm., chap. VI, § 9.

Exercices

See the exercises for § 1.