Chapitre VII

Mesure de Haar

Dans ce chapitre et le suivant, lorsque nous parlerons d'une fonction (resp. d'une mesure), il s'agira indifféremment d'une fonction (resp. d'une mesure) réelle ou complexe ; si T est un espace localement compact, la notation $\mathscr{K}(T)$ désignera indifféremment l'espace $\mathscr{K}_\mathbf{R}(T)$ ou l'espace $\mathscr{K}_\mathbf{C}(T)$; de même pour les notations $\mathscr{K}(T)$, $\mathscr{C}(T)$, $L^p(T, \mu)$, $\mathscr{M}(T)$, etc. Il est naturellement sous-entendu que dans une question où interviennent plusieurs fonctions, mesures ou espaces vectoriels, les résultats obtenus sont valables lorsque ces fonctions, mesures ou espaces vectoriels sont tous réels ou tous complexes. L'espace $\mathscr{K}(T)$ sera toujours supposé muni de la topologie de la convergence uniforme, l'espace $\mathscr{C}(T)$ de la topologie de la convergence compacte, et l'espace $\mathscr{K}(T)$ de la topologie limite inductive dont la définition est rappelée en tête du chapitre VI. La notation $\mathscr{K}_+(T)$ désignera l'ensemble des fonctions $\geqslant 0$ de $\mathscr{K}(T)$. Si $A \subset T$, on notera toujours $\varphi_A$ la fonction caractéristique de A. Si $t \in T$, $\varepsilon_t$ désignera la mesure positive définie par la masse +1 au point t.

Tous les espaces localement convexes seront supposés séparés. On notera e les éléments neutres de tous les groupes considérés, sauf mention expresse du contraire.