Bài tập 28, § 1

Các giả thiết là các giả thiết của Bài tập 27 a), ta giả sử thêm rằng tồn tại một phép lát G khả tích theo $\mu$ F.

a) Với mọi hàm số số học khả tích theo $\mu$ $f \geq 0$ xác định trên X, đặt $\tilde{f}(x) = \sum_{s \in G} f(sx)$, sao cho $\int_F \tilde{f}(x) d\mu(x) = \int_X f(x) d\mu(x)$ § 2, No. 10, Mệnh đề 15). Cho $(f_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một họ hữu hạn các hàm số số học $\geq 0$, khả tích theo $\mu$ trong $X$; đặt, với $i \neq j$,

và $c_i = \sup_{x \in X} \tilde{f}_i(x)$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại ít nhất một cặp chỉ số phân biệt $(i, j)$ sao cho

(Hạ thấp tổng $\sum_{i \neq j} m_{ij}$ bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz).

Suy ra rằng nếu $(A_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một họ hữu hạn các phép lát G khả tích theo $\mu$, và nếu $\sum_{i=1}^n \mu(A_i) > \mu(F)$, thì tồn tại một cặp $(i, j)$ gồm các chỉ số phân biệt và một $s \in G$ sao cho $\mu(A_i s \cap A_j) > 0$.

b) Nếu $G_0$ là một nhóm con của $G$ có chỉ số hữu hạn $(G : G_0) = h$, và nếu $(s_1, \ldots, s_h)$ là một hệ các đại diện của các lớp trái mod $G_0$ trong $G$, $F_0 = \bigcup_{1 \leq i \leq h} s_i F$ là một phép lát $G_0$.

c) Trong $X = \mathbf{R}^n$, cho $A$ là một thể lồi đối xứng; cho $u_i : (x_j) \to \sum_{j=1}^n c_{ij} x_j$, là $m$ dạng tuyến tính trên $X$, với các hệ số nguyên $c_{ij}$ $(m < n)$.

Bây giờ chứng minh rằng, với mọi số nguyên $p \geq 1$ và mọi số $r \geq 0$ sao cho $\mu(A)r^n \geq 2^n p^m$, tồn tại một điểm $x \in rA$, phân biệt với 0 và sao cho $u_i(x) \equiv 0$ (mod. $p$) với $1 \leq i \leq m$ (áp dụng định lý Minkowski cho nhóm con $G_0$ của $\mathbf{Z}^n$ tạo bởi các $z \in \mathbf{Z}^n$ sao cho $u_i(z) \equiv 0$ (mod. $p$) với $1 \leq i \leq m$, và sử dụng b)). Trường hợp riêng khi $n = 2$, $m = 1$, và $A$ được xác định bởi $|x_1| \leq 1,\ |x_2| \leq 1$ (Định lý Thue).