Exercice 28, § 1

Les hypothèses étant celles de l’exerc. 27 a), on suppose en outre qu’il existe un G-pavage $\mu$-intégrable F.

a) Pour toute fonction numérique $\mu$-intégrable $f \geq 0$ définie dans X, on pose $\tilde{f}(x) = \sum_{s \in G} f(sx)$, de sorte que $\int_F \tilde{f}(x) d\mu(x) = \int_X f(x) d\mu(x)$ § 2, n° 10, prop. 15). Soit $(f_i)_{1 \leq i \leq n}$ une famille de fonctions numériques $\geq 0$, $\mu$-intégrables dans $X$; on pose, pour $i \neq j$,

et $c_i = \sup_{x \in X} \tilde{f}_i(x)$. Montrer qu’il existe au moins un couple d’indices distincts $(i, j)$ tel que

(Minorer la somme $\sum_{i \neq j} m_{ij}$ en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz).

En déduire que si $(A_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une famille finie de G-remplissages $\mu$-intégrables, et si $\sum_{i=1}^n \mu(A_i) > \mu(F)$, il existe un couple $(i, j)$ d’indices distincts et un $s \in G$ tels que $\mu(A_i s \cap A_j) > 0$.

b) Si $G_0$ est un sous-groupe de $G$ d’indice fini $(G : G_0) = h$, et si $(s_1, \ldots, s_h)$ est un système de représentants des classes à gauche mod $G_0$ dans $G$, $F_0 = \bigcup_{1 \leq i \leq h} s_i F$ est un $G_0$-pavage.

c) Dans $X = \mathbf{R}^n$, soit $A$ un corps convexe symétrique ; soient $u_i : (x_j) \to \sum_{j=1}^n c_{ij} x_j$, $m$ formes linéaires sur $X$, à coefficients $c_{ij}$ entiers $(m < n)$.

Montrer que, pour tout entier $p \geq 1$ et tout nombre $r \geq 0$ tel que $\mu(A)r^n \geq 2^n p^m$, il existe un point $x \in rA$, distinct de 0 et tel que $u_i(x) \equiv 0$ (mod. $p$) pour $1 \leq i \leq m$ (appliquer le th. de Minkowski au sous-groupe $G_0$ de $\mathbf{Z}^n$ formé des $z \in \mathbf{Z}^n$ tels que $u_i(z) \equiv 0$ (mod. $p$) pour $1 \leq i \leq m$, et utiliser b)). Cas particulier où $n = 2$, $m = 1$, et $A$ est défini par $|x_1| \leq 1,\ |x_2| \leq 1$ (théorème de Thue).