(i) Hạn chế lên $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$ của song ánh chính tắc

(S, R, §4, No. 14) là một đẳng cự của không gian Banach $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$ lên không gian Banach $\mathscr{K}(X, K; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C}))$.

(ii) Không gian vectơ $\mathscr{K}(X, K; \mathbf{C}) \otimes_{\mathbf{C}} \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$, được đồng nhất một cách chính tắc với một không gian con của $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$ (A, II, §7, No. 7, các chú thích sau Hệ quả của Mệnh đề 15), là trù mật trong không gian Banach này.

Ngay lập tức thấy rằng ảnh qua $\omega$ của $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$ được chứa trong $\mathscr{K}(X, K; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C}))$. Ngược lại, nếu $u$ là một ánh xạ liên tục từ $X$ vào $\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$, có giá đỡ được chứa trong $K$, thì ánh xạ $(x, y) \mapsto u(x)(y)$ từ $X \times Y$ vào $\mathbf{C}$ là liên tục và có giá đỡ được chứa trong $K \times L$, do đó hạn chế của $\omega$ lên $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$ là một song ánh của không gian này lên $\mathscr{K}(X, K; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C}))$; việc hạn chế này là một đẳng cự của không gian Banach suy ra từ quan hệ

Điều này chứng minh (i); mặt khác, ảnh qua $\omega$ của

được đồng nhất với một không gian con của $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$, lại chính là không gian $\mathscr{K}(X, K; \mathbf{C}) \otimes_{\mathbf{C}} \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$ nhưng lần này được đồng nhất một cách chính tắc với một không gian các ánh xạ từ $X$ vào $\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$ (A, II, §7, No. 7, Hệ quả của Mệnh đề 15); nhưng không gian con này của $\mathscr{K}(X, K; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C}))$ được biết là trù mật trong không gian sau (§ 1, No. 2, Prop. 5), vì vậy kết luận của (ii) suy ra từ việc hạn chế của $\omega$ là một đẳng cấu tôpô.

Sau khi đã chứng minh bổ đề, bây giờ ta nhận thấy rằng mọi tập con compact của $X \times Y$ đều được chứa trong một tích $K \times L$, trong đó $K$ (tương ứng $L$) là một tập con compact của $X$ (tương ứng của $Y$). Vì vậy từ Bổ đề 1, (ii) suy ra rằng không gian con $\mathscr{K}(X; \mathbf{C}) \otimes_{\mathbf{C}} \mathscr{K}(Y; \mathbf{C})$ là trù mật trong $\mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$; vì quan hệ (1) cũng có thể viết là $\nu(g \otimes h) = \lambda(g)\mu(h)$ với $g \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$, $h \in \mathscr{K}(Y; \mathbf{C})$, nên tính duy nhất của $\nu$ suy ra ngay lập tức. Để chứng minh sự tồn tại của $\nu$, ta sẽ dùng bổ đề sau:

thuộc $\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$.

Với mọi hàm $u \in \mathscr{K}(X; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C}))$, tích phân $\int u(x) d\lambda(x)$ thuộc $\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$ vì không gian sau là một không gian Banach (§ 3, No. 3, Cor. 1 of Prop. 7); nhưng với $u = \omega(f)$ và với mọi $y \in Y$,

do đó suy ra bổ đề.

Xét, khi đó, với mọi hàm $f \in \mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$, số $\nu(f) = \mu(\int f(x, y) d\lambda(x))$ (mà ta cũng sẽ viết là $\int d\mu(y) \int f(x, y) d\lambda(x)$ do lạm dụng ký hiệu); nếu K (resp. L) là một tập con compact của X (resp. Y), thì tồn tại một số $a_K$ (resp. $b_L$) sao cho, với mọi hàm $g \in \mathscr{K}(X, K; \mathbf{C})$ (resp. $h \in \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$), ta có $|\lambda(g)| \leq a_K \|g\|$ (resp. $|\mu(h)| \leq b_L \|h\|$). Suy ra rằng với mọi hàm $f \in \mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$,

với mọi $y \in Y$, do đó $|\nu(f)| \leq a_K b_L \|f\|$. Dạng tuyến tính $\nu$ trên $\mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$ vì thế là một độ đo trên $X \times Y$ hiển nhiên thỏa mãn (1), điều này hoàn tất chứng minh của Định lý 1.

Do công thức cuối cùng, tích phân của $f$ đối với tích độ đo $\nu$ thường được ký hiệu là $\iint f\, d\lambda\, d\mu$, hoặc $\iint f\, d\mu\, d\lambda$, hoặc $\iint f\, \lambda\mu$, hoặc $\iint f\, \mu\lambda$, hoặc $\iint f(x, y)\, d\lambda(x)\, d\mu(y)$, hoặc $\iint f(x, y)\, d\mu(y)\, d\lambda(x)$, hoặc $\iint f(x, y)\, \lambda(x)\mu(y)$, hoặc $\iint f(x, y)\, \mu(y)\lambda(x)$; nó được gọi là tích phân kép của $f$ đối với $\lambda$ và $\mu$. Với ký hiệu này, công thức (3) có thể được viết

Công thức (3) cho thấy rằng nếu $\lambda$ và $\mu$ là các độ đo thực (resp. dương), thì tích độ đo $\nu$ là thực (resp. dương).

Với mọi hàm $f \in \mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$, theo công thức (3) của No. 1, ta có

điều này chứng minh công thức (6).

Trước hết ta nhận thấy rằng quan hệ $\lambda \otimes \mu = 0$ kéo theo một trong hai độ đo $\lambda, \mu$ là không (A, II, §7, No. 7, Prop. 16, (ii)). Mặt khác, nếu U (tương ứng V) là một tập mở trong X (tương ứng trong Y), thì hạn chế của $\lambda \otimes \mu$ lên tích $U \times V$ là tích của các hạn chế của $\lambda$ lên U và của $\mu$ lên V, như suy ra từ Th. 1 của No. 1 và định nghĩa của hạn chế của một độ đo lên một tập mở (§ 2, No. 1). Do đó suy ra rằng để hạn chế của $\lambda \otimes \mu$ lên $U \times V$ là không thì điều kiện cần và đủ là hoặc hạn chế của $\lambda$ lên U hoặc hạn chế của $\mu$ lên V là không; điều này chứng minh mệnh đề, có tính đến định nghĩa của giá của một độ đo (§ 2, No. 2).

Cho $f \in \mathscr{K}_+(X \times Y),\ g \in \mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$ sao cho $|g| \leq f$; ta có (§ 1, No. 6, công thức (13))

Suy ra $\langle f, |\lambda \otimes \mu| \rangle \leq \langle f, |\lambda| \otimes |\mu| \rangle$, và do đó

Mặt khác, cho $u \in \mathscr{K}_+(X),\ v \in \mathscr{K}_+(Y)$. Với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại $u_1 \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C}),\ v_1 \in \mathscr{K}(Y; \mathbf{C})$ sao cho $|u_1| \leq u,\ |v_1| \leq v$ và

(§ 1, No. 6). Suy ra $|u_1 \otimes v_1| \leq u \otimes v$ và

Vì $\varepsilon$ là tùy ý, ta suy ra rằng

Có tính đến (8), ta thấy rằng

Vì mọi hàm trong $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ (tương ứng $\mathscr{K}(Y; \mathbf{C})$) đều là một tổ hợp tuyến tính của các hàm trong $\mathscr{K}_+(X)$ (tương ứng $\mathscr{K}_+(Y)$), công thức trước vẫn đúng cho $u \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ và $v \in \mathscr{K}(Y; \mathbf{C})$; do đó mệnh đề suy ra từ việc $\mathscr{K}(X; \mathbf{C}) \otimes_{\mathbf{C}} \mathscr{K}(Y; \mathbf{C})$ trù mật trong $\mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$.

Thật vậy, theo Prop. 3,

Lập luận đối với $(\lambda \otimes \mu)^-$ là tương tự.

với quy ước rằng vế thứ hai được thay bằng 0 mỗi khi một trong các thừa số là 0 và thừa số kia là $+\infty$. Đặc biệt, nếu $\lambda$ và $\mu$ bị chặn thì $\lambda \otimes \mu$ bị chặn.

Theo Mệnh đề 3 ở trên, và §1, No. 8, Hệ quả 1 của Mệnh đề 10, ta có thể chỉ xét trường hợp $\lambda$ và $\mu$ là các độ đo dương. Nếu $\lambda = 0$ hoặc $\mu = 0$ thì kết quả là tầm thường; do đó giả sử $\lambda \neq 0$ và $\mu \neq 0$. Trước hết hãy chứng minh rằng $\|\lambda \otimes \mu\| \leq \|\lambda\| \cdot \|\mu\|$. Ta có thể giả sử $\lambda$ và $\mu$ bị chặn. Với mọi $f \in \mathscr{K}_+(X \times Y)$,

và

với mọi $x \in X$, vậy nên

điều này chứng minh mệnh đề của ta. Mặt khác, cho

là hai số thực $\geqslant 0$. Tồn tại $g \in \mathscr{K}_+(X) , \ h \in \mathscr{K}_+(Y)$ sao cho

Khi đó $g \otimes h \in \mathscr{K}_+(X \times Y) , \ \| g \otimes h \| \leqslant 1$ và $\langle g \otimes h , \lambda \otimes \mu \rangle \geqslant \alpha \beta ;$ do đó $\| \lambda \otimes \mu \| \geqslant \alpha \beta$ và cuối cùng $\| \lambda \otimes \mu \| \geqslant \| \lambda \| \cdot \| \mu \|$, điều này hoàn tất chứng minh.

Với mọi hàm $f \in \mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$, ta biết rằng hàm $h(y) = \int f(x, y) d\lambda_0(x)$ thuộc $\mathscr{K}(Y; \mathbf{C})$ (No. 1, Bổ đề 2), và $\langle f , \lambda_0 \otimes \mu \rangle = \langle h , \mu \rangle$, do đó suy ra mệnh đề.

Cho $K \subset X , \ L \subset Y$ là hai tập compact, $A$ là một tập con compact của $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$, và $B$ là một tập con bị chặn mơ hồ và đóng của $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$; ta biết rằng $B$ là compact mơ hồ (§ 1, No. 9, Mệnh đề 15), nên cũng compact đối với tôpô hội tụ compact chặt (§ 1, No. 10, Mệnh đề 17). Mặt khác, không gian Banach $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$ đẳng cự với $\mathscr{K}(X, K; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C}))$ (No. 1, Bổ đề 1); ánh xạ $\varphi$ từ $\mathscr{K}(X, K; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})) \times \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ vào $\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$, sao cho $\varphi(g, \lambda)$ là hàm $h$ xác định bởi $h(y) = \int g(x, y) d\lambda(x)$, là liên tục riêng theo § 3, No. 4, Mệnh đề 8 và 9. Vì $\mathscr{K}(X, K; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C}))$ là thùng, suy ra ánh xạ $\varphi$ là hypoliên tục đối với các tập con bị chặn mơ hồ của $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ (TVS, III, § 5, No. 3, Mệnh đề 6); do đó hạn chế của ánh xạ này lên $A \times B$ là liên tục (loc. cit., Mệnh đề 4). Ảnh $C$ của $A \times B$ qua ánh xạ này do đó là một tập con compact của không gian Banach $\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$. Bây giờ, $C$ không là gì khác ngoài tập các hàm $h(y) = \int f(x, y) d\lambda(x)$ khi $f$ chạy qua $A$ và $\lambda$ chạy qua $B$; theo công thức (3) của No. 1, các điều kiện $\lambda \in B$ và $\mu \in C^\circ$ do đó kéo theo $\lambda \otimes \mu \in A^\circ$. Xét định nghĩa của tôpô hội tụ compact chặt, điều này chứng minh mệnh đề (TVS, III, § 5, No. 3, Định nghĩa 2).

Kết luận của Mệnh đề 6 không còn đúng nữa khi tôpô hội tụ compact chặt được thay bằng tôpô mơ hồ (Bài tập 2 c)). Tuy nhiên, nếu B (tương ứng C) là một tập con bị chặn mơ hồ của $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ (tương ứng $\mathscr{M}(Y; \mathbf{C})$), thì ảnh của $B \times C$ qua ánh xạ $(\lambda, \mu) \mapsto \lambda \otimes \mu$ là bị chặn mơ hồ trong $\mathscr{M}(X \times Y; \mathbf{C})$ và do đó hạn chế của ánh xạ này lên $B \times C$ là liên tục mơ hồ, theo Mệnh đề 6, §1, No. 10, Mệnh đề 17, và Mệnh đề 4 của TVS, III, §5, No. 3 (x. Bài tập 3).

Thật vậy, hai độ đo này trùng nhau, theo (12), trên mọi hàm thuộc $\bigotimes_{i=1}^n \mathscr{K}(X_i; \mathbf{C})$.

Tích phân của một hàm $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ đối với độ đo tích được ký hiệu là

hoặc hoặc hoặc cũng hoặc với $n$ dấu $\int$; người ta gọi đó là một tích phân bội cấp $n$, hoặc một tích phân $n$ lần. Do tính kết hợp của tích các độ đo và định lý về việc đảo thứ tự lấy tích phân (No. 1, Định lý 2), ta có, với mọi phép hoán vị $\sigma$ của $[1, n]$, (14)

Ký hiệu tích phân và công thức (14) có thể được mở rộng một cách hiển nhiên cho các hàm $f \in \mathscr{K}(X; E)$ nhận giá trị trong một không gian lồi địa phương Hausdorff $E$, sao cho $f(X)$ được chứa trong một tập con lồi đầy đủ của $E$. Chúng tôi để bạn đọc tự tổng quát hóa cho tích của một số hữu hạn bất kỳ các độ đo các kết quả của Nos. 2 và 3 liên quan đến tích của hai độ đo.

Đặc biệt, người ta gọi độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}^n$ là tích của $n$ độ đo đồng nhất với độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}$; tích phân của một hàm $f \in \mathscr{K}(\mathbf{R}^n; E)$, thỏa mãn điều kiện trước đó, được ký hiệu là

và bằng Độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}^n$ là bất biến dưới mọi phép tịnh tiến.

(iv) *Nếu các $p_{\alpha \beta}$ là toàn ánh, thì mọi hệ ngược $(\mu_\alpha)$ của các độ đo dương đều có một giới hạn ngược $\mu$, là một độ đo dương trên $X$, và $\| \mu \| = \| \mu_\alpha \|$ với mọi $\alpha$.

(i) Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:

Trước hết ta chú ý rằng nếu $g = g_\beta \circ p_\beta$ và $h = h_\gamma \circ p_\gamma$, trong đó $g_\beta \in \mathscr{C}(X_\beta; \mathbf{C})$ và $h_\gamma \in \mathscr{C}(X_\gamma; \mathbf{C})$, thì tồn tại một $\alpha \in I$ sao cho $\alpha \geq \beta$ và $\alpha \geq \gamma$, và do đó $p_\beta = p_{\beta \alpha} \circ p_\alpha$, $p_\gamma = p_{\gamma \alpha} \circ p_\alpha$, điều này cho thấy rằng

thuộc F; tương tự, ta cũng thấy rằng $gh \in F$; do đó F là một đại số con C của $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$, chứa các hằng số và có tính chất là quan hệ $f \in F$ kéo theo $\overline{f} \in F$. Cuối cùng, nếu $x \neq y$ là hai điểm của X, thì tồn tại một $\alpha \in I$ sao cho $p_\alpha(x) \neq p_\alpha(y)$, do đó có một hàm $f_\alpha \in \mathscr{C}(X_\alpha; \mathbf{C})$ sao cho $f_\alpha(p_\alpha(x)) \neq f_\alpha(p_\alpha(y))$. Vậy kết luận suy ra từ định lý Stone–Weierstrass (GT, X, §4, No. 4, Prop. 7).

Bổ đề đã được thiết lập, cho $\mu, \mu'$ là hai độ đo trên X sao cho $(p_\alpha)_*(\mu) = (p_\alpha)_*(\mu')$ với mọi $\alpha \in I$; điều này có nghĩa là, với mọi $\alpha \in I$ và mọi hàm $f_\alpha \in \mathscr{C}(X_\alpha; \mathbf{C})$, ta có

nghĩa là, $\langle f_\alpha \circ p_\alpha, \mu \rangle = \langle f_\alpha \circ p_\alpha, \mu' \rangle$; nói cách khác, $\mu$ và $\mu'$ trùng nhau trên không gian con F của $\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$, không gian này là trù mật theo Bổ đề 3, do đó $\mu = \mu'$, điều này chứng minh (i).

(ii) Quan hệ (15) áp dụng cho $p_\alpha$ cho thấy rằng nếu $\mu$ là giới hạn ngược của hệ ngược $(\mu_\alpha)$, thì tất yếu

với mọi $\alpha \in I$.

(iii) Giả sử các $p_{\alpha \beta}$ là toàn ánh; khi đó người ta biết rằng các $p_\alpha$ cũng có tính chất ấy (GT, I, §9, No. 6, Prop. 8). Xét một hệ ngược các độ đo $(\mu_\alpha)$ và trước hết ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một dạng tuyến tính $\lambda$ trên F (theo các ký hiệu của Bổ đề 3) sao cho, với mọi $\alpha \in I$ và mọi $f_\alpha \in \mathscr{C}(X_\alpha; \mathbf{C})$, $\lambda(f_\alpha \circ p_\alpha) = \mu_\alpha(f_\alpha)$. Muốn vậy, cho $\beta, \gamma$ là hai chỉ số trong I, và $f_\beta \in \mathscr{C}(X_\beta; \mathbf{C})$, $f_\gamma \in \mathscr{C}(X_\gamma; \mathbf{C})$ là hai hàm sao cho $f_\beta \circ p_\beta = f_\gamma \circ p_\gamma$; khi đó tồn tại một chỉ số $\alpha \in I$ sao cho $\alpha \geq \beta$ và $\alpha \geq \gamma$, do đó

vì $p_\alpha$ là toàn ánh, điều này kéo theo $f_\beta \circ p_{\beta \alpha} = f_\gamma \circ p_{\gamma \alpha}$, do đó

nhưng theo định nghĩa quan hệ cuối cùng cũng có thể viết là $\mu_\beta(f_\beta) = \mu_\gamma(f_\gamma)$, do đó có mệnh đề của ta.

Điều này đã có, giả sử rằng tồn tại một số hữu hạn $a > 0$ sao cho $\| \mu_\alpha \| \leq a$ với mọi $\alpha \in I$; khi đó, với mọi hàm $f_\alpha \in \mathscr{C}(X_\alpha; \mathbf{C})$,

vì $p_\alpha$ là toàn ánh. Điều này cho thấy dạng tuyến tính $\lambda$ là liên tục trên $F$, và từ Bổ đề 3 suy ra rằng $\lambda$ có thể được mở rộng thành một độ đo $\mu$ trên $X$ sao cho $(p_\alpha)_*(\mu) = \mu_\alpha$ với mọi $\alpha \in I$, điều đó chứng minh (iii).

(iv) Để chứng minh sự tồn tại của $\mu$ thì theo (iii), chỉ cần kiểm tra rằng họ các chuẩn $(\| \mu_\alpha \|)$ bị chặn. Nhưng $\| \mu_\alpha \| = \mu_\alpha(1)$ và, khi $\alpha \leq \beta$, quan hệ $\mu_\alpha = (p_{\alpha \beta})_*(\mu_\beta)$ kéo theo $\mu_\alpha(1) = \mu_\beta(1)$; vì $I$ có hướng, nên các khối lượng toàn phần của mọi độ đo $\mu_\alpha$ do đó đều bằng nhau, do đó có mệnh đề của chúng ta. Hơn nữa, không gian con $F$ hiển nhiên thỏa mãn tính chất (P) của §1, No. 7, Mệnh đề 9, vì vậy độ đo giới hạn ngược $\mu$ của $(\mu_\alpha)$ là dương. Cuối cùng, quan hệ $\mu_\alpha = (p_\alpha)_*(\mu)$ cho thấy như trên rằng $\mu(1) = \mu_\alpha(1)$.