(ii) L’espace vectoriel $\mathscr{K}(X, K ; \mathbf{C}) \otimes_c \mathscr{K}(Y, L ; \mathbf{C})$, identifié canoniquement à un sous-espace de $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L ; \mathbf{C})$, (Alg., chap. II, 3e éd., § 7, no 7, commentaires suivant le cor. de la prop. 15) est dense dans cet espace de Banach.

Il est immédiat que l’image par $\omega$ de $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L ; \mathbf{C})$ est contenue dans $\mathscr{K}(X, K ; \mathscr{K}(Y, L ; \mathbf{C}))$. Inversement, si $u$ est une application continue de $X$ dans $\mathscr{K}(Y, L ; \mathbf{C})$, de support contenu dans $K$, l’application $(x, y) \mapsto u(x)(y)$ de $X \times Y$ dans $\mathbf{C}$ est continue et a son support contenu dans $K \times L$, donc la restriction de $\omega$ à $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L ; \mathbf{C})$ est une bijection de cet espace sur $\mathscr{K}(X, K ; \mathscr{K}(Y, L ; \mathbf{C}))$; le fait que cette restriction est une isométrie d’espaces de Banach résulte de la relation

Ceci prouve (i); d’autre part, l’image par $\omega$ de identifié à un sous-espace de $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L ; \mathbf{C})$, est l’espace $\mathscr{K}(X, K ; \mathbf{C}) \otimes_c \mathscr{K}(Y, L ; \mathbf{C})$ identifié canoniquement cette fois à un espace d’applications de $X$ dans $\mathscr{K}(Y, L ; \mathbf{C})$ (Alg., chap. II, 3e éd., § 7, no 7, cor. de la prop. 15); mais on sait que ce sous-espace de $\mathscr{K}(X, K ; \mathscr{K}(Y, L ; \mathbf{C}))$ est dense dans ce dernier (§ 1, no 2, prop. 5), donc la conclusion de (ii) résulte de ce que la restriction de $\omega$ est un isomorphisme topologique.

Ce lemme étant démontré, notons maintenant que toute partie compacte de $X \times Y$ est contenue dans un produit $K \times L$, où $K$ (resp. $L$) est une partie compacte de $X$ (resp. $Y$). Il résulte donc du lemme 1, (ii) que le sous-espace $\mathscr{K}(X ; \mathbf{C}) \otimes_c \mathscr{K}(Y ; \mathbf{C})$ est dense dans $\mathscr{K}(X \times Y ; \mathbf{C})$; comme la relation (1) s’écrit aussi $\nu(g \otimes h) = \lambda(g)\mu(h)$ pour $g \in \mathscr{K}(X ; \mathbf{C}), h \in \mathscr{K}(Y ; \mathbf{C})$, on en déduit aussitôt l’unicité de $\nu$. Pour prouver l’existence de $\nu$, nous utiliserons le lemme suivant:

En effet, pour toute fonction $u \in \mathscr{K}(X; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C}))$, l’intégrale $\int u(x) \, d\lambda(x)$ appartient à $\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$, puisque ce dernier est un espace de Banach ($§ 3$, n° 3, cor. 1 de la prop. 7); mais pour $u = \omega(f)$ et pour tout $y \in Y$, on a

d’où le lemme.

Considérons alors, pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$, le nombre $v(f) = \mu(\int f(x, y) \, d\lambda(x))$ (que nous noterons encore $\int d\mu(y) \int f(x, y) \, d\lambda(x)$ par abus de notation); si K (resp. L) est une partie compacte de X (resp. Y), il existe un nombre $a_K$ (resp. $b_L$) tel que, pour toute fonction $g \in \mathscr{K}(X, K; \mathbf{C})$ (resp. $h \in \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$), on ait $|\lambda(g)| \leq a_K \|g\|$ (resp. $|\mu(h)| \leq b_L \|h\|$). Il en résulte que pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$, on a

pour tout $y \in Y$, puis $|v(f)| \leq a_K b_L \|f\|$. La forme linéaire $v$ sur $\mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$ est donc une mesure sur $X \times Y$ et vérifie (1) de façon évidente, ce qui achève la démonstration du th. 1.

En raison de cette dernière formule, l’intégrale de $f$ par rapport à la mesure produit $\nu$ se note le plus souvent $\int \int \int d\lambda\, d\mu$, ou $\int \int f\, d\mu\, d\lambda$, ou $\int \int f\lambda\mu$, ou $\int \int f\mu\lambda$, ou $\int \int f(x, y)\, d\lambda(x)\, d\mu(y)$, ou $\int \int f(x, y)\, d\mu(y)\, d\lambda(x)$, ou $\int \int f(x, y)\lambda(x)\mu(y)$, ou $\int \int f(x, y)\mu(y)\lambda(x)$; on dit que c’est l’intégrale double de $f$ par rapport à $\lambda$ et à $\mu$. Avec cette notation, la formule (3) s’écrit

(4)

La formule (3) montre que si $\lambda$ et $\mu$ sont des mesures réelles (resp. positives), la mesure produit $\nu$ est réelle (resp. positive).

En effet, pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$, on a, en vertu de la formule (3) du n° 1,

ce qui prouve la formule (6).

Remarquons en premier lieu que la relation $\lambda \otimes \mu = 0$ entraîne que l’une des mesures $\lambda, \mu$ est nulle (Alg., chap. II, 3e éd., § 7, n° 7, prop. 16, (ii)). D’autre part, si $U$ (resp. $V$) est un ensemble ouvert dans $X$ (resp. $Y$), la restriction de $\lambda \otimes \mu$ au produit $U \times V$ est le produit des restrictions de $\lambda$ à $U$ et de $\mu$ à $V$, comme il résulte du th. 1 du n° 1 et de la définition de la restriction d’une mesure à un ensemble ouvert (§ 2, n° 1). Pour que la restriction de $\lambda \otimes \mu$ à $U \times V$ soit nulle, il faut et il suffit par conséquent que la restriction de $\lambda$ à $U$ ou la restriction de $\mu$ à $V$ soit nulle, ce qui démontre la proposition, compte tenu de la définition du support d’une mesure (§ 2, n° 2).

Soient $f \in \mathscr{K}_+(X \times Y)$, $g \in \mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$ telles que $|g| \leq f$; on a (§ 1, n° 6, formule (13))

On en conclut que $\langle f, |\lambda \otimes \mu| \rangle \leq \langle f, |\lambda| \otimes |\mu| \rangle$, et finalement

(8)

D’autre part, soient $u \in \mathscr{K}_+(X)$, $v \in \mathscr{K}_+(Y)$. Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $u_1 \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$, $v_1 \in \mathscr{K}(Y; \mathbf{C})$ telles que $|u_1| \leq u$, $|v_1| \leq v$ et

(§ 1, n° 6). On en déduit que $|u_1 \otimes v_1| \leq u \otimes v$, et

Comme $\varepsilon$ est arbitraire, on en conclut que

Compte tenu de (8), on voit que

Toute fonction de $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ (resp. $\mathscr{K}(Y; \mathbf{C})$) étant combinaison linéaire de fonctions de $\mathscr{K}_+(X)$ (resp. $\mathscr{K}_+(Y)$), la formule précédente est encore vraie pour $u \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ et $v \in \mathscr{K}(Y; \mathbf{C})$; la proposition résulte donc de ce que $\mathscr{K}(X; \mathbf{C}) \otimes_{\mathbf{C}} \mathscr{K}(Y; \mathbf{C})$ est dense dans $\mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$.

En vertu de la prop. 3 ci-dessus, et du § 1, n° 8, cor. de le prop. 10, on peut se ramener au cas où $\lambda$ et $\mu$ sont des mesures positives. Si $\lambda = 0$ ou $\mu = 0$, le résultat est trivial ; supposons donc $\lambda \neq 0$ et $\mu \neq 0$. Prouvons d’abord que $\|\lambda \otimes \mu\| \leq \|\lambda\| \cdot \|\mu\|$. On peut supposer $\lambda$ et $\mu$ bornées. Pour toute $f \in \mathscr{K}_+(X \times Y)$, on a

et pour tout $x \in X$, donc ce qui démontre notre assertion. D’autre part, soient deux nombres réels $\geq 0$. Il existe $g \in \mathscr{K}_+(X), h \in \mathscr{K}_+(Y)$ telles que $\|g\| \leq 1, \|h\| \leq 1, \lambda(g) \geq \alpha, \mu(h) \geq \beta$. Alors on a $g \otimes h \in \mathscr{K}_+(X \times Y)$, $\|g \otimes h\| \leq 1$ et $\langle g \otimes h, \lambda \otimes \mu \rangle \geq \alpha \beta$; donc $\|\lambda \otimes \mu\| \geq \alpha \beta$ et finalement $\|\lambda \otimes \mu\| \geq \|\lambda\| \cdot \|\mu\|$, ce qui achève la démonstration.

En effet, pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(X \times Y; \mathbf{C})$, on sait que la fonction $h(y) = \int f(x, y) d\lambda_0(x)$ appartient à $\mathscr{K}(Y; \mathbf{C})$ (n° 1, lemme 2), et l’on a $\langle f, \lambda_0 \otimes \mu \rangle = \langle h, \mu \rangle$, d’où la proposition.

Soient $K \subset X, L \subset Y$ deux ensembles compacts, $A$ une partie compacte de $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$, $B$ une partie vaguement bornée et fermée de $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$; on sait que $B$ est vaguement compacte (§ 1, n° 9, prop. 15), donc aussi compacte pour la topologie de la convergence strictement compacte (§ 1, n° 10, prop. 17). D’autre part, l’espace de Banach $\mathscr{K}(X \times Y, K \times L; \mathbf{C})$ est isométrique à $\mathscr{K}(X, K; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C}))$ (n° 1, lemme 1); l’application $\varphi$ de $\mathscr{K}(X, K; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})) \times \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ dans $\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$ telle que $\varphi(g, \lambda)$ soit la fonction $h$ définie par $h(y) = \int g(x, y) d\lambda(x)$, est séparément continue en vertu du § 3, n° 4, prop. 8 et 9. Comme $\mathscr{K}(X, K; \mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C}))$ est tonnelé, on en conclut que l’application $\varphi$ est hypocontinue relativement aux parties vaguement bornées de $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ (Esp. vect. top., chap. III, § 4, n° 2, prop. 6); la restriction de cette application à $A \times B$ est donc continue (loc. cit., prop. 4). L’image $C$ de $A \times B$ par cette application est par suite une partie compacte de l’espace de Banach $\mathscr{K}(Y, L; \mathbf{C})$. Or, $C$ n’est autre que l’ensemble des fonctions $h(y) = \int f(x, y) d\lambda(x)$ lorsque $f$ parcourt $A$ et $\lambda$ parcourt $B$; en vertu de la formule (3) du n° 1, les conditions $\lambda \in B$ et $\mu \in C^\circ$ entraînent donc $\lambda \otimes \mu \in A^\circ$. En vertu de la définition de la topologie de la convergence strictement compacte, cela prouve la proposition (Esp. vect. top., chap. III, § 4, n° 2, déf. 2).

La conclusion de la prop. 6 n’est plus valable lorsqu’on remplace la topologie de la convergence strictement compacte par la topologie vague (exerc. 2c)). Toutefois, si $B$ (resp. $C$) est une partie vaguement bornée de $\mathscr{M}(X, \mathbf{C})$ (resp. $\mathscr{M}(Y; \mathbf{C})$), l’image de $B \times C$ par l’application $(\lambda, \mu) \mapsto \lambda \otimes \mu$ est vaguement bornée dans $\mathscr{M}(X \times Y; \mathbf{C})$ en vertu de la prop. 6, donc la restriction de cette application à $B \times C$ est vaguement continue en vertu de la prop. 4 et du § 1, n° 10, prop. 17 (cf. exerc. 3).

(ii) Si un système projectif $(\mu_\alpha)$ admet une limite projective, la famille des normes $(\|\mu_\alpha\|)$ est bornée.

(iii) Si les $p_{\alpha\beta}$ sont surjectives et la famille ($\| \mu_\alpha \|$) bornée; le système projectif de mesures ($\mu_\alpha$) admet une limite projective.

(iv) Si les $p_{\alpha\beta}$ sont surjectives, tout système projectif ($\mu_\alpha$) de mesures positives admet une limite projective $\mu$, qui est une mesure positive sur $X$, et l’on a $\| \mu \| = \| \mu_\alpha \|$ pour tout $\alpha$.

(i) Nous prouverons d’abord le lemme suivant:

Notons d’abord que si $g = g_\beta \circ p_\beta$ et $h = h_\gamma \circ p_\gamma$, où $g_\beta \in \mathscr{C}(X_\beta ; \mathbf{C})$ et $h_\gamma \in \mathscr{C}(X_\gamma ; \mathbf{C})$, il existe $\alpha \in I$ tel que $\alpha \geq \beta$ et $\alpha \geq \gamma$, et l’on a donc $p_\beta = p_{\beta \alpha} \circ p_\alpha$, $p_\gamma = p_{\gamma \alpha} \circ p_\alpha$, ce qui montre que

appartient à $F$; on voit de même que $gh \in F$; $F$ est donc une sous-$\mathbf{C}$-algèbre de $\mathscr{C}(X ; \mathbf{C})$, qui contient les constantes et est telle que la relation $f \in F$ entraîne $\bar{f} \in F$. Enfin, si $x \neq y$ sont deux points de $X$, il existe $\alpha \in I$ tel que $p_\alpha(x) \neq p_\alpha(y)$, donc il y a une fonction $f_\alpha \in \mathscr{C}(X_\alpha ; \mathbf{C})$ telle que $f_\alpha(p_\alpha(x)) \neq f_\alpha(p_\alpha(y))$. La conclusion résulte par suite du th. de Weierstrass–Stone (Top. gén., chap. X, 2e éd., § 4, n° 4, prop. 7).

Ce lemme étant établi, soient $\mu, \mu'$ deux mesures sur $X$ telles que $(p_\alpha)_*(\mu) = (p_\alpha)_*(\mu')$ pour tout $\alpha \in I$; cela signifie que, pour tout $\alpha \in I$ et toute fonction $f_\alpha \in \mathscr{C}(X_\alpha ; \mathbf{C})$, on a

ou encore $\langle f_\alpha \circ p_\alpha, \mu \rangle = \langle f_\alpha \circ p_\alpha, \mu' \rangle$; autrement dit, $\mu$ et $\mu'$ coïncident dans le sous-espace $F$ de $\mathscr{C}(X ; \mathbf{C})$, qui est partout dense en vertu du lemme 3, donc $\mu = \mu'$, ce qui démontre (i).

(ii) La relation (15) appliquée à $p_\alpha$ montre que si $\mu$ est limite projective du système projectif $(\mu_\alpha)$, on a nécessairement

pour tout $\alpha \in I$.

(iii) Supposons les $p_{\alpha\beta}$ surjectives; on sait qu’il en est alors de même des $p_\alpha$ (Top. gén., chap. I, 3e éd., § 9, n° 6, prop. 8). Considérons un système projectif de mesures $(\mu_\alpha)$, et montrons d’abord qu’il existe sur $F$ (avec les notations du lemme 3) une forme linéaire $\lambda$ telle que pour tout $\alpha \in I$ et toute $f_\alpha \in \mathscr{C}(X_\alpha ; \mathbf{C})$, on ait λ(f_α \circ p_α) = μ_α(f_α). En effet, soient β, γ deux indices dans I, f_β ∈ C(X_β ; C), f_γ ∈ C(X_γ ; C) deux fonctions telles que f_β \circ p_β = f_γ \circ p_γ ; il existe alors un indice α ∈ I tel que α ≥ β et α ≥ γ, donc p_β = p_{βα} \circ p_α, p_γ = p_{γα} \circ p_α, et (f_β \circ p_{βα}) \circ p_α = (f_γ \circ p_{γα}) \circ p_α ; comme p_α est surjective, cela entraîne f_β \circ p_{βα} = f_γ \circ p_{γα}, donc

mais par définition cette dernière relation s’écrit aussi $\mu_\beta(f_\beta) = \mu_\gamma(f_\gamma)$, d’où notre assertion.

Cela étant, supposons qu’il existe un nombre fini $a > 0$ tel que $\|\mu_\alpha\| \leq a$ pour tout $\alpha \in I$; alors, on a, pour toute fonction $f_\alpha \in C(X_\alpha ; C)$

puisque $p_\alpha$ est surjective. Ceci montre que la forme linéaire $\lambda$ est continue dans F, et il résulte du lemme 3 que $\lambda$ se prolonge en une mesure $\mu$ sur X telle que $(p_\alpha)_*(\mu) = \mu_\alpha$ pour tout $\alpha \in I$, ce qui prouve (iii).

(iv) Pour prouver l’existence de $\mu$, il suffit, en vertu de (iii), de vérifier que la famille des normes ($\|\mu_\alpha\|$) est bornée. Mais on a $\|\mu_\alpha\| = \mu_\alpha(1)$, et pour $\alpha \leq \beta$, la relation $\mu_\alpha = (p_{\alpha\beta})_*(\mu_\beta)$ entraîne que $\mu_\alpha(1) = \mu_\beta(1)$; comme I est filtrant, les masses totales de toutes les mesures $\mu_\alpha$ sont donc égales, d’où notre assertion. En outre, le sous-espace F vérifie de façon évidente la propriété (P) du § 1, n° 7, prop. 9, donc la mesure $\mu$, limite projective de $(\mu_\alpha)$, est positive. Enfin la relation $\mu_\alpha = (p_\alpha)_*(\mu)$ montre comme ci-dessus que $\mu(1) = \mu_\alpha(1)$.