§ 3. Intégrales de fonctions vectorielles continues

Dans tout ce paragraphe, on note $X$ un espace localement compact, $E$ un espace localement convexe sur $\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$ . On note $E'$ le dual de $E$ (espace des formes linéaires continues sur $E$ ), ${E'}^*$ le dual algébrique de $E'$ (espace de toutes les formes linéaires sur $E'$ ); pour $z \in E$ , $z' \in E'$ , ${z'}^* \in {E'}^*$ , on écrit $\langle z, z' \rangle = z'(z)$ , $\langle {z'}^*, z' \rangle = {z'}^*(z')$ .

On rappelle que si $E$ est séparé, $E$ s’identifie à un sous-espace de ${E'}^*$ en identifiant un élément $z \in E$ à la forme linéaire $z' \mapsto \langle z, z' \rangle$ sur $E'$ , et que ${E'}^*$ , muni de la topologie faible $\sigma({E'}^*, E')$ , s’identifie canoniquement au complété de $E$ muni de la topologie affaiblie $\sigma(E, E')$ .

1. Définition de l’intégrale d’une fonction vectorielle

Rappelons qu’une application $f$ de $X$ dans $E$ est dite faiblement continue si, pour tout $z' \in E'$ , l’application $x \mapsto \langle f(x), z' \rangle$ de $X$ dans $\mathbf{C}$ (autrement dit l’application $z' \circ f$ , notée aussi $\langle f, z' \rangle$ ) est continue. Nous dirons qu’une application $f$ de $X$ dans $E$ est scalairement à support compact si, pour tout $z' \in E'$ , l’application $x \mapsto \langle f(x), z' \rangle$ a un support compact. Nous désignerons par $\tilde{\mathscr{K}}(X; E)$ l’espace des applications de $X$ dans $E$ qui sont faiblement continues et scalairement à support compact ; il est clair que l’on a $\tilde{\mathscr{K}}(X; E) \supset \mathscr{K}(X; E)$ , mais ces deux espaces ne sont pas nécessairement identiques (voir ci-dessous, Exemple 2); ils le sont toutefois lorsque $E$ est de dimension finie.

On notera que dans la définition d’une fonction faiblement continue (resp. scalairement à support compact), la topologie de $E$ n’intervient que par l’intermédiaire du dual $E'$ de $E$ ; on ne change donc pas l’ensemble de ces fonctions quand on remplace la topologie de $E$ par toute topologie localement convexe pour laquelle le dual est le même.

Si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels en dualité, on notera qu’il revient au même de dire qu’une application de $X$ dans $E$ est continue pour $\sigma(E, F)$ ou qu’elle est faiblement continue.

Soit $f$ une application de $X$ dans $E$ , faiblement continue et scalairement à support compact, et soit $\mu$ une mesure sur $X$ ; pour tout $z' \in E'$ , on a $z' \circ f \in \mathscr{K}(X)$ ; posons

\varphi(z') = \int \langle f(x), z' \rangle \, d\mu(x) = \mu(z' \circ f).

Il est clair que $\varphi$ est une forme linéaire sur $E'$ , donc un élément de ${E'}^*$ .

Définition 1

Pour toute fonction $f \in \tilde{\mathscr{K}}(X; E)$ , on appelle intégrale de $f$ par rapport à $\mu$ et on note $\int f \, d\mu$ ou $\int f(x) \, d\mu(x)$ , ou $\int f \mu$ , ou $\int f(x) \mu(x)$ , l’élément de ${E'}^*$ défini par

\left\langle \int f \, d\mu, z' \right\rangle = \int \left\langle f, z' \right\rangle \, d\mu \quad \text{pour tout } z' \in E'.

Lorsque $E$ est séparé, on notera que l’on n’a pas nécessairement $\int f \, d\mu \in E$ , même lorsque $f \in \mathscr{K}(X; E)$ (exerc. 1 ; cf. n° 3).

Exemple 1

Supposons que $E$ soit de dimension finie sur $\mathbf{C}$ et séparé, de sorte que si $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une base de $E$ , l’application

(\xi_1, \ldots, \xi_n) \mapsto \sum_{i=1}^n \xi_i e_i

est un isomorphisme de $\mathbf{C}^n$ sur $E$ . On sait alors que toute forme linéaire sur $E$ est continue, autrement dit $E'$ est identique au dual algébrique $E^*$ de $E$ , et ${E'}^*$ s’identifie canoniquement à $E$ . Soit $(e'_i)_{1 \leq i \leq n}$ la base duale de $(e_i)$ dans $E'$ ; pour qu’une application $f$ de $X$ dans $E$ soit faiblement continue et scalairement à support compact, il faut et il suffit que les fonctions $f_i = e'_i \circ f$ soient continues à support compact; on a alors $f(x) = \sum_{i=1}^n f_i(x) e_i$ pour

tout $x \in X$ , et

\int f d\mu = \sum_{i=1}^n \mu(f_i) e_i.

Exemple 2

Prenons pour E l’espace $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ des mesures sur X, muni de la topologie vague ( $§ 1$ , n° 9); le dual $E'$ de E s’identifie alors canoniquement à l’espace $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ (Esp. vect. top., chap. I, 2e éd., $§ 6$ , n° 2, prop. 3). L’application $x \mapsto \varepsilon_x$ de X dans E est continue ( $§ 1$ , n° 9, prop. 13), mais son support n’est pas compact si X n’est pas compact; toutefois elle est scalairement à support compact, car pour toute fonction $f \in E'$ , la fonction $x \mapsto \langle \varepsilon_x, f \rangle = f(x)$ a par définition un support compact. En outre, on a

\int \langle \varepsilon_x, f \rangle d\mu = \int f(x) d\mu(x) = \langle \mu, f \rangle

pour toute fonction

f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C}) = E'

, ce qui prouve que

\int \varepsilon_x d\mu(x) = \mu

pour toute mesure

\mu

sur X.

Exemple 3

Si E est séparé, pour tout point $y \in X$ et toute fonction $f \in \tilde{\mathscr{K}}(X; E)$ , on a

\int f d\varepsilon_y = f(y)

car

\int \langle f, z' \rangle d\varepsilon_y = \langle f(y), z' \rangle

par définition.

Remarque 1

Si E est un espace localement convexe, N l’adhérence de $\{0\}$ dans E, de sorte que $E_1 = E/N$ est l’espace localement convexe séparé associé à E, on sait que les duals $E'$ et $E'_1$ sont identiques; pour qu’une fonction $f$ appartienne à $\tilde{\mathscr{K}}(X; E)$ , il faut et il suffit que $f_1 = \pi \circ f$ (où $\pi : E \to E_1$ est l’homomorphisme canonique) appartienne à $\tilde{\mathscr{K}}(X; E_1)$ , et l’on alors $\int f d\mu = \int f_1 d\mu$ . On peut donc se limiter à ne considérer que des espaces localement convexes séparés.

Remarque 2

Soit E un espace localement convexe sur $\mathbf{C}$ , et soit $E_0$ l’espace localement convexe sur $\mathbf{R}$ sous-jacent à E; on sait que l’application $z' \mapsto \Re z'$ qui à toute forme linéaire (complexe) continue $z'$ sur E fait correspondre la forme linéaire continue (réelle) $z \mapsto \Re \langle z, z' \rangle$ sur $E_0$ , est un $\mathbf{R}$ -isomorphisme du dual $E'$ sur le dual $E'_0$ de $E_0$ (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., $§ 8$ , n° 1). De même le dual algébrique $E'_0*$ de l’espace vectoriel réel $E'_0$ s’identifie canoniquement à l’espace réel sous-jacent au dual algébrique $E'*$ de $E'$ . On en déduit que si $\mu$ est une mesure réelle et $f$ une application de $\tilde{\mathscr{K}}(X; E)$ , la formule (1) est encore valable lorsque l’on considère $f$ comme prenant ses valeurs dans $E_0$ et que les formes bilinéaires canoniques figurant aux deux membres sont respectivement relatives à la dualité entre $E'_0$ et $E'_0*$ au premier membre, à la dualité entre $E_0$ et $E'_0$ au second.

2. Propriétés de l’intégrale vectorielle

Proposition 1

L’application

(f, \mu) \mapsto \int f d\mu

\tilde{\mathscr{K}}(X; E) \times \mathscr{M}(X; \mathbf{C})

dans

{E'}^*

est bilinéaire. La proposition résulte immédiatement de la déf. 1 du n° 1.

Soit $u$ une application linéaire continue de $E$ dans un espace localement convexe $F$ ; on sait que la transposée $'u$ est une application linéaire du dual $F'$ de $F$ dans le dual $E'$ de $E$ ; nous désignerons par $"u$ l’application ${E'}^* \to {F'}^*$ , transposée de $'u$ (au sens algébrique); lorsque $E$ et $F$ sont séparés, et identifiés canoniquement à des sous-espaces de ${E'}^*$ et ${F'}^*$ respectivement, $"u$ prolonge l’application $u$ . Avec ces notations :

Proposition 2

Soit $u$ une application linéaire continue de $E$ dans un espace localement convexe $F$ ; pour toute fonction $f \in \tilde{\mathscr{K}}(X; E)$ , la fonction $u \circ f$ appartient à $\tilde{\mathscr{K}}(X; F)$ , et l’on a

\int u(f(x))\, d\mu(x) = "u \left( \int f(x)\, d\mu(x) \right).

Pour toute forme linéaire continue

z' \in F'

, on a

z' \circ u \circ f = y' \circ f

en posant

y' = z' \circ u = 'u(z') \in E'

, d’où la première assertion ; en outre, on a, pour tout

z' \in F'

\left\langle \int (u \circ f)\, d\mu, z' \right\rangle = \int \left\langle u \circ f, z' \right\rangle\, d\mu = = \int \left\langle f, 'u(z') \right\rangle\, d\mu = \left\langle \int f\, d\mu, 'u(z') \right\rangle = \left\langle "u \left( \int f\, d\mu \right), z' \right\rangle

d’où la formule (2).

Proposition 3

Pour toute fonction $g \in \mathscr{C}(X; \mathbf{C})$ et toute fonction $f \in \tilde{\mathscr{K}}(X; E)$ , la fonction $gf$ appartient à $\tilde{\mathscr{K}}(X; E)$ , et l’on a

\int f\, d(g \cdot \mu) = \int fg\, d\mu.

En effet, pour tout

z' \in E'

, on a

\langle gf, z' \rangle = g \langle f, z' \rangle

, d’où la première assertion ; en outre

\left\langle \int f\, d(g \cdot \mu), z' \right\rangle = \int \left\langle f, z' \right\rangle\, d(g \cdot \mu) = \int g \left\langle f, z' \right\rangle\, d\mu = \int \left\langle gf, z' \right\rangle\, d\mu = \left\langle \int gf\, d\mu, z' \right\rangle

d’où (3).

Proposition 4

Soient $\mu$ une mesure positive sur $X$ , S son support, $f$ une fonction de $\mathscr{K}(X; E)$ . On suppose E séparé, et on munit l’espace ${E'}^*$ de la topologie faible $\sigma({E'}^*, E')$ .

(i) L’intégrale $\int f \, d\mu$ appartient à l’adhérence $C$ dans ${E'}^*$ du cône convexe engendré par $f(S)$ .

(ii) Si $\mu$ est bornée, l’intégrale $\int f \, d\mu$ appartient à l’ensemble $\| \mu \| . D$ , où $D$ est l’enveloppe convexe fermée de $f(S)$ dans ${E'}^*$ .

Si E est complexe, munissons E de sa structure d’espace vectoriel réel sous-jacente, ce qui, comme on l’a vu, ne modifie pas la formule (1).

(i) On sait que $C$ est l’intersection des demi-espaces fermés dans ${E'}^*$ contenant $f(S)$ , et déterminés par des hyperplans fermés passant par 0 ; il suffit donc de démontrer que, pour $z' \in E'$ , la relation $\langle f(x), z' \rangle \geqslant 0$ pour tout $x \in S$ entraîne

\left\langle \int f \, d\mu, z' \right\rangle \geqslant 0;

mais comme

\left\langle \int f \, d\mu, z' \right\rangle = \int \langle f, z' \rangle \, d\mu,

cela résulte du § 2, n° 3, cor. 2 de la prop. 8.

(ii) On sait que $D$ est l’intersection des demi-espaces fermés dans ${E'}^*$ qui contiennent $f(S)$ ; il suffit donc de démontrer que, pour $z' \in E'$ , la relation $\langle f(x), z' \rangle \leqslant a$ pour tout $x \in S$ entraîne

\left\langle \int f \, d\mu, z' \right\rangle \leqslant a \| \mu \|;

mais cela résulte du § 2, n° 3, cor. 3 de la prop. 8.

Corollaire

Soient $\mu$ une mesure positive sur $X$ , $f$ une application appartenant à $\mathscr{K}(X; E)$ , $D$ l’enveloppe fermée convexe de $f(X)$ dans ${E'}^*$ . Il existe un nombre $a > 0$ tel que l’on ait $\int f \, d\mu \in a . D$ .

Si $\nu$ est une mesure quelconque sur $X$ , il existe des nombres $a_1, a_2, a_3, a_4 > 0$ tels que $\int f \, d\nu \in a_1 D - a_2 D + i a_3 D - i a_4 D$ .

Supposons d’abord $\mu$ positive ; par hypothèse, le support K de $f$ est compact ; si $\nu$ est la restriction de $\mu$ à un voisinage ouvert relativement compact de K, $\nu$ est bornée, et l’on a $\int f \, d\mu = \int f \, d\nu \in \| \nu \| . D$ en vertu de la prop. 4, (ii). Le deuxième résultat s’en déduit puisqu’une mesure complexe quelconque s’écrit $\mu_1 - \mu_2 + i \mu_3 - i \mu_4$ , où les $\mu_j$ sont positives.

Proposition 5

Supposons l’espace $X$ compact, et soit $f$ une application continue de $X$ dans un espace localement convexe séparé $E$ . L’enveloppe fermée convexe de $f(X)$ dans ${E'}^*$ (pour $\sigma({E'}^*, E')$ ) est égale à l’ensemble des vecteurs $\int f \, d\mu$ pour toutes les mesures positives $\mu$ de masse 1 sur $X$ .

Soit C l’enveloppe fermée convexe de $f(X)$ dans $E'$ ; comme $f(X)$ est compact et $E'$ complet, C est compact. On sait déjà (prop. 4) que l’on a $\int f d\mu \in C$ pour toute mesure $\mu$ appartenant à l’ensemble convexe $H$ des mesures positives sur $X$ de masse totale égale à 1. D’autre part, $H$ est convexe et compact pour la topologie vague ( $§ 1, n° 9,$ cor. 3 de la prop. 15), et est l’adhérence (pour cette topologie) de l’ensemble convexe $H_0$ des mesures positives de masse 1 et de support fini ( $§ 2, n° 5,$ cor. 3 du th. 1). Or, l’image de $H_0$ par l’application $\mu \mapsto \int f d\mu$ est l’enveloppe convexe $C_0$ de $f(X)$ dans $E'$ . D’autre part, cette application est continue pour la topologie vague sur $\mathscr{M}(X; C)$ et la topologie $\sigma(E', E')$ sur $E'$ puisque $\langle \int f d\mu, z' \rangle = \int \langle f, z' \rangle d\mu$ par définition; donc l’image de $H = \overline{H}_0$ est un ensemble convexe compact contenant $C_0$ et contenu dans $C$ ; comme $C = \overline{C}_0$ , cette image est égale à $C$ .

Proposition 6

Pour toute application continue et à support compact* $f$ de $X$ dans un espace localement convexe séparé $E$ , toute semi-norme continue $q$ sur $E$ et toute mesure $\mu$ sur $X$ telle que $\int f d\mu \in E$ , on a

q\left( \int f d\mu \right) \leq \int (q \circ f) d|\mu|.

(4)

Soit $D$ l’ensemble des $z \in E$ tels que $q(z) \leq 1$ ; $D$ est fermé, convexe et contient 0, donc on a $D = D^{oo}$ (Esp. vect. top. chap. IV, $§ 2, n° 3,$ cor. 2 de la prop. 4). Il suffit donc de prouver que pour tout $z' \in D^o$ on a

|\langle \int f d\mu, z' \rangle| \leq \int (q \circ f) d|\mu|;

comme

\langle \int f d\mu, z' \rangle = \int \langle f, z' \rangle d\mu,

et que par définition de

D^o

, on a

|\langle f(x), z' \rangle| \leq q(f(x))

pour tout

x \in X

, cela résulte de l’inégalité (13) du

§ 1, n° 6

3. Critères pour que l’intégrale appartienne à $E$ .

Proposition 7

Soient* $E$ un espace localement convexe séparé $E$ , et $f \in \mathscr{H}(X; E)$ . Si $f(X)$ est contenu dans une partie convexe complète $A$ de $E$ , on a $\int f d\mu \in E$ .

Soit $K$ le support de $f$ , qui est compact par hypothèse. Comme $f$ est nulle dans $X - K$ , $f(X)$ est égal à $f(K)$ ou à $f(K) \cup \{0\}$ , donc est compact puisque $f$ est continue et $E$ séparé ; l’enveloppe convexe fermée $C$ de $f(X)$ dans $E$ est alors précompacte (pour la structure uniforme induite par celle de $E$ ) (Esp. vect. top., chap. II, 2\textsuperscript{e} éd., § 4, n\textsuperscript{o} 1, prop. 3). Mais comme $C$ est une partie fermée de l’espace complet $A$ , $C$ est complet, donc compact ; a fortiori, $C$ est compact pour la topologie affaiblie $\sigma(E, E')$ ; mais comme celle-ci est induite par $\sigma({E'}^*, E')$ , $C$ est l’enveloppe convexe fermée de $f(X)$ dans ${E'}^*$ pour la topologie $\sigma({E'}^*, E')$ ; on conclut donc par le cor. de la prop. 4 du n\textsuperscript{o} 2.

Corollaire 1

Soit* $E$ un espace localement convexe séparé ; pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(X; E)$ , $\int f \, d\mu$ appartient au complété $\hat{E}$ de $E$ .

Comme les duals de $E$ et de $\hat{E}$ sont identiques, il suffit d’appliquer la prop. 6 en considérant que $f$ prend ses valeurs dans $\hat{E}$ .

Corollaire 2

Si* $E$ est un espace localement convexe séparé quasi-complet, on a $\int f \, d\mu \in E$ pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(X; E)$ .

On a remarqué au début de la démonstration de la prop. 7 que $f(X)$ est compact et que son enveloppe convexe fermée $C$ dans $E$ est précompacte, donc bornée ; mais comme l’ensemble $C$ est fermé et borné, il est complet par hypothèse, et il suffit d’appliquer la prop. 7.

On verra au chap. VI, § 1, n\textsuperscript{o} 2, d’autres critères pour que $\int f \, d\mu$ appartienne à $E$ , qui s’appliquent en particulier aux fonctions de $\mathscr{K}(X; E)$ , et non plus seulement à celles de $\mathscr{K}(X; E)$ .

Le cor. 2 de la prop. 7 s’applique dans les deux cas suivants : 1\textsuperscript{o} $E$ est un espace de Banach ; 2\textsuperscript{o} $E$ est le dual d’un espace localement convexe séparé tonnelé $G$ , et on munit $E$ d’une $\mathscr{S}$ -topologie, où $\mathscr{S}$ est un recouvrement de $G$ par des parties bornées (Esp. vect. top., chap. III, § 3, n\textsuperscript{o} 7, cor. 2 du th. 4). Par exemple, on peut appliquer le cor. 2 de la prop. 7 lorsque $E$ est le dual faible d’un espace de Banach, ou un espace de mesures $\mathscr{M}(Y; \mathbf{C})$ , muni de la topologie vague.

Si $X = \mathbf{R}$ , si $\mu$ est la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}$ , et si $E$ est un espace de Banach, l’intégrale $\int f \, d\mu$ d’une fonction de $\mathscr{K}(X; E)$ n’est autre que l’intégrale

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx

définie dans Fonct. var. réelle, chap. II, § 3, n\textsuperscript{o} 1 ; cela résulte de la formule (1) et de Fonct. var. réelle, chap. II, § 3, n\textsuperscript{o} 1, formule (10).

4. Propriétés de continuité de l’intégrale

Proposition 8

Supposons E séparé; soit $\mu$ une mesure sur X. L’application $f \mapsto \int f d\mu$ de $\mathscr{K}(X;E)$ dans $\hat{E}$ (n° 3, cor. 1 de la prop. 7) est l’unique application linéaire continue $\Phi$ telle que $\Phi(g.a) = \mu(g).a$ pour tout vecteur $a \in E$ et toute fonction $g \in \mathscr{K}(X;C)$ .

Pour prouver la continuité de l’application $f \mapsto \int f d\mu$ , il suffit de montrer que sa restriction à $\mathscr{K}(X,K;E)$ est continue pour toute partie compacte K de X (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., §4, n° 4, prop. 5). Notons que si la topologie de E est définie par une famille de semi-normes $(q_\alpha)$ , celle de $\mathscr{K}(X,K;E)$ est définie par la famille des semi-normes

p_\alpha(f) = \sup_{x \in K} q_\alpha(f(x)).

Or, soit h une application continue de X dans $[0,1]$ , à support compact et telle que $h(x) = 1$ dans K; on a, en vertu du n° 2, prop. 6, pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(X,K;E)$ ,

q_\alpha\left( \int f d\mu \right) = q_\alpha\left( \int h f d\mu \right) \leq \int h(x) q_\alpha(f(x)) d|\mu|(x) \leq |\mu|(h) \cdot p_\alpha(f)

(les $q_\alpha$ étant prolongées par continuité à $\hat{E}$ ) ce qui démontre la continuité de $f \mapsto \int f d\mu$ . D’autre part, avec les notations de l’énoncé,

\int (g(x).a) d\mu(x) = \mu(g).a

en vertu du n° 1, Exemple 1 et de la prop. 2 du n° 2 appliquée à l’injection canonique $C.a \to E$ . En outre, le sous-espace de $\mathscr{K}(X;E)$ formé des combinaisons linéaires $\sum_i g_i.a_i$ , où $a_i \in E$ et $g_i \in \mathscr{K}(X;C)$ , est dense dans $\mathscr{K}(X;E)$ (§ 1, n° 2, prop. 5), ce qui achève la démonstration.

Proposition 9

Supposons E séparé: soit f une application continue à support compact de X dans E. Lorsqu’on munit l’espace $\mathscr{M}(X;C)$ de la topologie de la convergence strictement compacte (§ 1, n° 10), l’application $\mu \mapsto \int f d\mu$ de $\mathscr{M}(X;C)$ dans $\hat{E}$ est l’unique application linéaire continue $\Psi$ telle que $\Psi(\varepsilon_x) = f(x)$ pour tout $x \in X$ .

Pour tout $z' \in E'$ , on a

\left\langle \int f d\varepsilon_x, z' \right\rangle = \int (z' \circ f) d\varepsilon_x = z'(f(x)) = \left\langle f(x), z' \right\rangle

d’où $\int f d\varepsilon_x = f(x)$ . On sait par ailleurs que l’ensemble des mesures ponctuelles est dense dans $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ pour la topologie de la convergence strictement compacte ( $§ 2$ , n° 4, cor. 4 du th. 1). Tout revient donc à prouver la continuité de l’application linéaire $u : \mu \mapsto \int f\, d\mu$ . Pour cela, considérons l’application linéaire $v : z' \mapsto \langle f, z' \rangle$ de $E'$ dans $\mathscr{H}(X; \mathbf{C})$ , et montrons que l’image par $v$ d’une partie équicontinue $H$ de $E'$ est contenue dans une partie strictement compacte de $\mathscr{H}(X; \mathbf{C})$ . En effet, si $K$ est le support de $f$ , les fonctions $\langle f, z' \rangle$ pour $z' \in H$ ont leur support contenu dans $K$ ; d’autre part, ces fonctions forment un ensemble équicontinu, et pour tout $x \in X$ , l’ensemble des $z'(f(x))$ est borné ; notre assertion résulte donc du th. d’Ascoli (Top. gén., chap. X, 2e éd., § 2, n° 5, cor. 3 du th. 2). Cela étant, il résulte de la formule (1) du n° 1 que $u$ n’est autre que la restriction à $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ de la transposée $'v$ (au sens algébrique); sa continuité résulte donc de ce qui précède (Esp. vect. top., chap. IV, 2e éd.).

Corollaire

Les hypothèses et notations étant celles de la prop. 9, la restriction de l’application $\mu \mapsto \int f\, d\mu$ à l’ensemble $\mathscr{M}_+(X)$ des mesures positives, ou à une partie vaguement bornée B de $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ , est vaguement continue.

En effet, il résulte du § 1, n° 10, prop. 17 et 18, que sur $\mathscr{M}_+(X)$ ou sur B la topologie induite par la topologie de la convergence strictement compacte est la même que la topologie induite par la topologie vague.

Par contre, l’application $\mu \mapsto \int f\, d\mu$ n’est pas nécessairement continue dans $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ tout entier pour la topologie vague (exerc. 2).

Exercices

See the exercises for § 3.