Montrons en premier lieu que toute fonction $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ peut s’écrire sous la forme d’une somme finie $f = \sum_i f_i$, où, pour chacune des fonctions $f_i \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$, il existe un indice $\alpha_i$ tel que $\operatorname{Supp}(f_i) \subset Y_{\alpha_i}$. Si $K = \operatorname{Supp}(f)$, il existe un nombre fini d’indices $\alpha_i$ ($1 \leq i \leq n$) tels que les $Y_{\alpha_i}$ forment un recouvrement de $K$; soient $h_i$ ($1 \leq i \leq n$) des applications continues de $X$ dans $]0, 1[$ telles que le support de $h_i$ soit compact et contenu dans $Y_{\alpha_i}$ pour $1 \leq i \leq n$, et que l’on ait $\sum_{i=1}^n h_i(x) = 1$ dans $K$ ($§ 1$, n° 2, lemme 1); les fonctions $f_i = f h_i$ répondent à la question. Ceci montre en premier lieu que s’il existe une mesure $\mu$ répondant à la question, elle est unique, car pour toute somme finie $f = \sum_{i=1}^n f_i$, où $f_i \in \mathscr{K}(Y_{\alpha_i}; \mathbf{C})$, on doit avoir $\mu(f) = \sum_{i=1}^n \mu_{\alpha_i}(f_i)$. On aura en outre montré l’existence d’une forme linéaire $\mu$ sur $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ dont la restriction à chaque sous-espace $\mathscr{K}(Y_\alpha; \mathbf{C})$ est $\mu_\alpha$, pourvu qu’on démontre la propriété suivante : si $(g_i)_{1 \leq i \leq m}$ et $(h_j)_{1 \leq j \leq n}$ sont deux suites finies de fonctions de $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ telles que $g_i \in \mathscr{K}(Y_{\alpha_i}; \mathbf{C})$ pour $1 \leq i \leq m$, $h_j \in \mathscr{K}(Y_{\beta_j}; \mathbf{C})$ pour $1 \leq j \leq n$, et

dans K, on a

Or, on a

d’où

De même

Mais comme le support de $f g_i h_j$ est contenu dans $Y_{\alpha_i} \cap Y_{\beta_j}$, on a $\mu_{\alpha_i}(f g_i h_j) = \mu_{\beta_j}(f g_i h_j)$, ce qui établit notre assertion.

Il reste à voir que $\mu$ est une mesure sur $X$; or, tout point de $X$ admet un voisinage compact contenu dans un des $Y_\alpha$; la conclusion résulte donc aussitôt de la définition de $\mu$ et de la prop. 6 du n° 3 du § 1.

En effet, si la restriction de $\mu$ à un ouvert $U$ est nulle, il en est de même de la restriction de $|\mu|$ (resp. de $\mu^+$ et de $\mu^-$ lorsque $\mu$ est réelle), et réciproquement.

On notera que les supports de $\mu^+$ et $\mu^-$ peuvent être non vides et identiques (cf. chap. V, § 5, exerc. 6).

En effet, si la restriction de $\nu$ à un ensemble ouvert est nulle, il en est de même de celle de $\mu$.

En effet, si les restrictions de deux mesures à un ensemble ouvert sont nulles, il en est de même de la restriction de leur somme.

Si $\mu$ et $\nu$ sont deux mesures positives, le support de $\lambda = \mu + \nu$ est égal à la réunion des supports de $\mu$ et de $\nu$ : en effet, si $x_0$ est un point de cette réunion, $V$ un voisinage quelconque de $x_0$, il existe une fonction continue $f \geq 0$, de support contenu dans $V$, et telle que l’un des deux nombres $\mu(f)$, $\nu(f)$ soit $> 0$ ; a fortiori, on a

La proposition est évidente à partir des définitions.

En effet, c’est l’intersection des hyperplans vaguement fermés d’équation $\mu(f) = 0$, où $f$ parcourt l’ensemble des fonctions de $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ dont le support ne rencontre pas $F$.

Supposons $X$ non compact : étant donné un filtre $\Phi$ sur l’espace $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ des mesures sur $X$, nous dirons que le support d’une mesure $\mu$ s’éloigne indéfiniment suivant $\Phi$ si, pour toute partie compacte $K$ de $X$, il existe un ensemble $M \in \Phi$ tel que, pour toute mesure $\mu \in M$, on ait $\operatorname{Supp}(\mu) \cap K = \emptyset$.

En effet, soit $f$ une fonction quelconque de $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$, et soit $K$ son support. Par hypothèse, il existe un ensemble $M \in \Phi$ tel que pour toute mesure $\mu \in M$, $\operatorname{Supp}(\mu) \cap K = \emptyset$; on a par suite $\mu(f) = 0$ pour toute $\mu \in M$, ce qui démontre la proposition.

Posons $K = \operatorname{Supp}(f)$, $S = \operatorname{Supp}(\mu)$. Etant donné un nombre $\varepsilon > 0$, soit $V$ l’ensemble des $x \in X$ tels que $|f(x)| < \varepsilon$; $V$ est un ensemble ouvert contenant $S$ par hypothèse ; donc $\mathbf{C} S$ est un voisinage de l’ensemble compact $\mathbf{C} V$. Il existe par suite une application continue $h$ de $X$ dans $[0, 1]$, égale à 1 dans $\mathbf{C} V$ et dont le support est contenu dans $\mathbf{C} S$ (§ 1, n° 2, lemme 1). Comme le support de $fh$ ne rencontre pas $S$, on a $\mu(fh) = 0$. D’autre part, on a $f = fh$ dans $K \cap \mathbf{C} V$, et $|fh| \leq |f|$ dans $X$, donc $|f - fh| \leq 2\varepsilon$ dans $X$, d’après le choix de $V$. Remarquons enfin qu’il existe un nombre $M_K$ tel que $|\mu(g)| \leq M_K \|g\|$ pour toute fonction $g \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ dont le support est contenu dans $K$; comme le support de $f - fh$ est contenu dans $K$, on a

et par suite $|\mu(f)| = |\mu(f - fh)| \leq 2M_K \varepsilon$; comme $\varepsilon$ est arbitraire, on a $\mu(f) = 0$.

En effet, posons $S = \operatorname{Supp}(\mu)$; soit $x_0$ un point n’appartenant pas à $T$; il existe un voisinage ouvert $V$ de $x_0$ tel qu’en tout point de $V \cap S$, $g$ soit nulle ; si $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ a son support dans $V$, $fg$ est nulle dans $S$, donc (prop. 8) $\mu(gf) = 0$; autrement dit, la restriction de $g.\mu$ à $V$ est nulle.

Inversement, supposons que la restriction de $g.\mu$ à un voisinage ouvert $W$ d’un point $x_0 \in X$ soit nulle, et montrons qu’il n’existe aucun point de $W \cap S$ où $g$ soit $\neq 0$. En effet, s’il existait un tel point $y$, il existerait un voisinage compact $U$ de $y$, contenu dans $W$, et en tout point $x$ duquel on aurait $g(x) \neq 0$; mais alors toute fonction $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$, dont le support est contenu dans $U$, peut s’écrire $f = gh$, où $h \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ a son support dans $U \subset W$; on aurait par suite $\mu(f) = \mu(gh) = 0$, contrairement à l’hypothèse $y \in S$.

On notera que $T$ est contenu dans l’intersection du support $S$ de $\mu$ et du support de $g$, sans être nécessairement égal à cette intersection. Par exemple, si $X = \mathbf{R}$, si $\mu$ est la mesure de Dirac au point 0 et si $g(x) = x$, on a $g.\mu = 0$ bien que l’intersection des supports de $g$ et de $\mu$ soit réduite au point 0, donc non vide.

En effet, $|\mu|$ est aussi une mesure à support compact, donc on peut se borner au cas où $\mu \geqslant 0$; si $h$ est une application continue de $X$ dans $\{0, 1\}$, à support compact, égale à 1 dans $\operatorname{Supp}(\mu)$, on a, pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$, $|f(x)| \leq \|f\| h(x)$ dans $\operatorname{Supp}(\mu)$, donc (cor. 2 de la prop. 8) $\mu(|f|) \leq \mu(h)\|f\|$, ce qui prouve la proposition (§ 1, n° 8).

En effet, une telle mesure $\mu$ est nulle pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ satisfaisant aux $n$ relations $f(a_i) = 0$ (n° 3, prop. 8); comme ces relations s’écrivent $\varepsilon_{a_i}(f) = 0$, $\mu$ est combinaison linéaire des $\varepsilon_{a_i}$ (Alg., chap. II, 3e éd., § 7, n° 5, cor. 1 du th. 7).

En particulier, toute mesure dont le support est vide ou réduit à un seul point x est de la forme $\alpha \varepsilon_x$, où $\alpha$ est un nombre complexe; on dit qu’une telle mesure est une mesure ponctuelle; toute mesure dont le support est fini est donc une somme de mesures ponctuelles.

Il suffit de prouver que $\mu$ est orthogonale au sous-espace $V^o$ de $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ orthogonal à $V$ (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 6, n° 3, cor. 2 du th. 1), c’est-à-dire que les relations $\langle f, \varepsilon_a \rangle = 0$, où $a$ parcourt le support de $\mu$, entraînent $\langle f, \mu \rangle = 0$; mais cela n’est autre que la prop. 8 du n° 3.

Pour prouver la première assertion, il suffit d’établir que la mesure $\mu$ appartient à l’ensemble polaire de l’ensemble $A^o$, polaire de $A$ dans $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ (Esp. vect. top, chap. II, 2e éd., § 6, n° 3, th. 1); cela signifie que, pour $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$, les relations $| \langle f, \varepsilon_a \rangle | \leq 1 / \| \mu \|$ pour tout $a \in \mathrm{Supp}(\mu)$, entraînent $| \langle f, \mu \rangle | \leq 1$; or, c’est là une conséquence du cor. 3 de la prop. 8 du n° 3.

Pour prouver la seconde assertion, notons que l’on a

puisque la fonction $v \mapsto \| v \|$ est semi-continue inférieurement pour la topologie vague (§ 1, n° 9, cor. 4 de la prop. 15), et la conclusion résulte de ce que $\| v \| \leq \| \mu \|$ pour $v \in A$ par définition.

On peut supposer $\mu \neq 0$. Soit $V$ un voisinage ouvert de 0 pour la topologie vague; pour tout $\varepsilon$ tel que $0 < \varepsilon < 1$, il existe, en vertu du cor. 1, une mesure $v_0$ dont le support est fini et contenu dans $\mathrm{Supp}(\mu)$ et qui est telle que $v_0 - \mu \in V$, et que

Le même raisonnement que dans le cor. 2 montre qu’on peut se borner à prouver que $\mu$ est vaguement adhérente à l’ensemble convexe $B$ formé des mesures positives de support fini contenu dans $\mathrm{Supp}(\mu)$ et de norme $\leq \|\mu\|$. Il suffit encore d’établir que $\mu$ appartient à l’ensemble polaire de l’ensemble $B^0$, polaire de $B$ dans $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 6, n° 3, th. 1); mais cela signifie que pour $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ les relations $\langle f, \varepsilon_a \rangle \leq 1/\|\mu\|$ pour tout $a \in \mathrm{Supp}(\mu)$ entraînent $\langle f, \mu \rangle \leq 1$, ce qui est une conséquence du n° 3, cor. 2 de la prop. 8.

En effet, sur le cône $\mathscr{M}_+(X)$, la topologie de la convergence strictement compacte est identique à la topologie vague (§ 1, n° 10, prop. 18), et toute mesure sur $X$ s’écrit $\mu_1 - \mu_2 + i\mu_3 - i\mu_4$, où les $\mu_j$ ($1 \leq j \leq 4$) sont des mesures positives; la conclusion résulte donc du th. 1.

La condition est évidemment suffisante en vertu de la prop. 6 du n° 2. Pour voir qu’elle est nécessaire, supposons $x_0 \in \mathrm{Supp}(\mu)$; considérons un nombre fini de fonctions $f_k$ ($1 \leq k \leq n$) de $\mathscr{K}(X; \mathbf{C})$, et un nombre arbitraire $\delta > 0$; il s’agit de prouver qu’il existe une fonction $g \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ telle que $\|g.\mu\| \leq 1$ et que l’on ait

pour $1 \leq k \leq n$. Soit U un voisinage ouvert relativement compact de $x_0$ tel que l’oscillation de chacune des $f_k$ ($1 \leq k \leq n$) dans U soit $\leq \delta/2$. Par hypothèse, comme $x_0 \in \mathrm{Supp}\ (\mu)$, il existe une fonction $g_0 \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ dont le support est contenu dans U et qui est telle que $\mu(g_0) \neq 0$; la mesure $\nu = g_0 \cdot \mu$ n’est pas nulle, car pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ égale à 1 dans U, on a $\nu(f) = \mu(g_0) \neq 0$. En outre, $\nu$ est bornée (n° 3, prop. 11); en multipliant $g_0$ par un scalaire, on peut supposer que $\| \nu \| = 1$. Cela étant, en posant $\alpha_k = f_k(x_0)$, on peut écrire, pour $1 \leq k \leq n$ et pour toute fonction $h \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$

Comme $\nu$ a son support dans U, on peut l’identifier à sa restriction à U; l’hypothèse $\| \nu \| = 1$ entraîne alors qu’il existe une fonction $h \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$, de support contenu dans U, telle que $\| h \| \leq 1$ et que l’on ait $|\alpha_k (1 - \nu(h))| \leq \delta/2$ pour $1 \leq k \leq n$. La définition de U montre par ailleurs que $|(\alpha_k - f_k(x)) h(x)| \leq \delta/2$ pour tout $x \in U$; comme $\| \nu \| = 1$ et que $\mathrm{Supp}(\nu) \subset U$, on a donc $|\nu((\alpha_k - f_k) h)| \leq \delta/2$, et par suite, en posant $g = g_0 h$,

Cela démontre la proposition, puisque

En effet, $\mathrm{Supp}(g \cdot \mu) \subset \mathrm{Supp}(\mu)$ en vertu du n° 3, prop. 10; le support de toute limite vague de mesures de la forme $g \cdot \mu$ est donc aussi contenu dans $\mathrm{Supp}(\mu)$ (n° 2, prop. 6). Inversement, si $\mathrm{Supp}(\nu) \subset \mathrm{Supp}(\mu)$, $\nu$ est limite vague de mesures de support fini contenu dans $\mathrm{Supp}(\mu)$ (th. 1), donc est vaguement adhérente à l’ensemble des mesures $g \cdot \mu$ d’après la prop. 13.

Soit $\mu$ une mesure discrète sur X, définie par les masses $h(x) \neq 0$ placées aux points $x$ d’un sous-espace fermé discret N de X; montrons que $\mathrm{Supp}(\mu) = N$. En effet, pour tout $a \in \mathbf{N}$ et tout voisinage V de $a$, il existe une fonction $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ de support contenu dans V, égale à 1 au point $a$ et à 0 aux autres points de $N$; d’où $\mu(f) = h(a) \neq 0$. Au contraire, si $b \notin N$, il existe un voisinage W de $b$ ne rencontrant pas $N$; pour toute fonction $g \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ à support contenu dans $N$, on a donc $\mu(g) = 0$, ce qui prouve que $b \notin \mathrm{Supp}(\mu)$.

Inversement, soit $\mu$ une mesure telle que $\mathrm{Supp}(\mu)$ soit un sous-espace fermé discret $N$ de $X$. Pour tout $a \in N$, il existe un voisinage ouvert $V_a$ de $a$ ne contenant aucun point de $N$ distinct de $a$; la restriction de $\mu$ à $V_a$ est donc une mesure ponctuelle de support $\{a\}$ (n° 2, prop. 5), et par suite (n° 4, prop. 12) de la forme $h(a)\varepsilon_a$, où $h(a) \neq 0$. Si l’on pose $h(x) = 0$ aux points de $\mathbf{C}N$, et si l’on désigne par $\nu$ la mesure définie par les masses $h(x)$, le principe de localisation montre que $\nu = \mu$.

On voit ainsi que sur un espace discret $X$, toute mesure est discrète.