Exercice 6, § 5

a) Soit $\mu$ une mesure positive sur $T$. Si $A \subset T$ est universellement mesurable et n’est pas localement $\mu$-négligeable, montrer qu’il existe une mesure positive $\nu$ portée par $A$ et telle que $\nu \neq 0$ et $\nu \leq \mu$. (Prendre $\nu = \varphi_K . \mu$, $K$ étant une partie compacte de $A$ qui n’est pas $\mu$-négligeable.)

b) Soit $M$ une partie universellement mesurable de $T$. Pour qu’une mesure positive $\lambda$ sur $T$ soit portée par $M$, il faut et il suffit que $\lambda$ soit étrangère à toute mesure positive portée par $\mathscr{C}M$ (utiliser a)).

c) Déduire de b) que les mesures $\rho$ sur $T$, telles que $|\rho|$ soit portée par $M$, forment une bande dans $\mathscr{M}(T)$. Cette bande est vaguement fermée dans $\mathscr{M}(T)$ si $M$ est une partie fermée de $T$ (chap. III, 2e éd., § 2, prop. 6).

d) Montrer que la mesure de Lebesgue sur $I = [0, 1]$ est limite vague d’une suite de mesures atomiques portées par un ensemble dénombrable fixe $A \subset I$ (cf. chap. III, 2e éd., § 2, th. 1 et prop. 13). La bande des mesures portées par $A$ n’est donc pas vaguement fermée.