§ 5. Mesures définies par des densités numériques

1. Fonctions localement intégrables

Proposition 1

Soit $g$ une fonction définie localement presque partout dans T (pour la mesure positive $\mu$ ), à valeurs dans un espace de Banach F (resp. dans $\bar{\mathbf{R}}$ ). Les propriétés suivantes sont équivalentes:

a) Pour tout point $t \in T$ , il existe un voisinage $V$ de $t$ tel que la fonction $g \varphi_V$ soit $\mu$ -intégrable.

b) La fonction $g$ est $\mu$ -mesurable et, pour tout ensemble compact $K \subset T$ , on a $\int^* |g| \varphi_K d\mu < +\infty$ .

c) Pour toute fonction numérique $h \in \mathscr{K}(T)$ , $gh$ est $\mu$ -intégrable.

Montrons que a) entraîne b); la fonction $g$ est en effet mesurable en vertu du principe de localisation (chap. IV, § 5, n° 2, prop. 4). D’autre part, pour tout $t \in K$ , il existe par hypothèse un voisinage $V_t$ de $t$ dans $T$ tel que $g \varphi_{V_t}$ soit intégrable; on peut donc recouvrir $K$ par un nombre fini de voisinages $V_i (1 \leq i \leq n)$ tels que les fonctions $g \varphi_{V_i}$ soient intégrables. Comme

|g| \varphi_K \leq \sum_{i=1}^n |g| \varphi_{V_i},

on a $\int^* |g| \varphi_K d\mu < +\infty$ .

En second lieu, b) entraîne c), car $gh$ est alors mesurable, et si $L$ est le support compact de $h$ , on a $|gh| \leq \|h\| \cdot |g| \varphi_L$ , donc $\int^* |gh| d\mu < +\infty$ par hypothèse; $gh$ est par suite intégrable en vertu du critère d’intégrabilité (chap. IV, § 5, n° 6, th. 5).

Enfin, c) entraîne a). En effet, pour tout $t \in T$ , soit $V$ un voisinage compact de $t$ . Il existe une application continue $h$ de $T$ dans $[0, 1]$ , égale à 1 dans $V$ et à support compact (chap. III, 2e éd., § 1, n° 2, lemme 1); par hypothèse $gh$ est intégrable, donc il en est de même de $g \varphi_V = (gh) \varphi_V$ (chap. IV, § 5, n° 6, cor. 3 du th. 5).

Définition 1

On dit qu’une fonction $g$ , définie localement presque partout dans $T$ (pour la mesure positive $\mu$ ), à valeurs dans un espace de Banach $F$ (resp. dans $\bar{\mathbf{R}}$ ) est localement intégrable pour $\mu$ (ou localement $\mu$ -intégrable) si elle satisfait aux conditions $a), b), c)$ de la prop. 1. Si $\theta$ est une mesure complexe, on dit qu’une fonction $g$ définie localement $\theta$ -presque partout est localement $\theta$ -intégrable si elle est localement intégrable pour la mesure positive $|\theta|$ .

Si $g$ est localement $\theta$ -intégrable, toute fonction égale à $g$ localement presque partout est localement intégrable. Il est clair que la somme de deux fonctions localement intégrables est localement intégrable. Les fonctions à valeurs dans $F$ , partout définies et localement intégrables pour $\theta$ forment un espace vectoriel noté $\mathscr{L}_{loc}^1(T, \theta; F)$ ; lorsque $F = \mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$ , la mention de $F$ est souvent omise s’il n’y a pas d’ambiguïté. Cet espace sera toujours muni (sauf mention expresse du contraire) de la topologie définie par les semi-normes $g \mapsto \int |g \varphi_K| d|\theta|$ , où $K$ parcourt l’ensemble des compacts de T. L’espace séparé associé, quotient de $\mathscr{L}_{\text{loc}}^1(T, \theta ; F)$ par le sous-espace $\mathscr{N}^\infty(F)$ des applications nulles localement presque partout, est noté $L_{\text{loc}}^1(T, \theta ; F)$ . Les espaces $L_{\text{loc}}^1(T, \theta ; F)$ et $L_{\text{loc}}^1(T, |\theta| ; F)$ sont identiques.

On peut montrer que les espaces vectoriels topologiques qui viennent d’être définis sont complets (exerc. 31).

Toute fonction mesurable g essentiellement bornée dans tout ensemble compact est localement intégrable. Pour tout nombre $p$ tel que $1 \leq p \leq +\infty$ , toute fonction $g \in \mathscr{L}_F^p$ est localement intégrable; en effet, pour toute fonction $h \in \mathscr{K}(T)$ , $h$ appartient à $\mathscr{L}^q$ (où $q$ est l’exposant conjugué de $p$ ), donc $gh$ est intégrable (chap. IV, 2e éd., § 6, no 4, cor. 4 du th. 2).

Soient F, G, H trois espaces de Banach, et $(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \mapsto \Phi(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ une application bilinéaire continue de $F \times G$ dans H. Si $f$ est localement intégrable et prend ses valeurs dans F, et si $g \in \mathscr{L}_G^\infty$ , $\Phi(f, g)$ est localement intégrable (chap. IV, § 6, no 4, cor. 1 du th. 2).

2. Mesures définies par des densités numériques

Soit $g$ une fonction numérique positive définie localement $\mu$ -presque partout dans T, localement $\mu$ -intégrable; l’ensemble des $t$ tels que $g(t) = +\infty$ est alors localement $\mu$ -négligeable, car $g \varphi_K$ est $\mu$ -intégrable pour tout compact K (chap. IV, § 2, no 3, prop. 7). Soit alors $g'$ une fonction localement intégrable positive et finie, égale à $g$ localement $\mu$ -presque partout; posons $\lambda'_t = g'(t) \varepsilon_t$ . L’application $t \mapsto \lambda'_t$ de T dans $\mathscr{M}_+(T)$ est vaguement $\mu$ -mesurable et scalairement essentiellement intégrable (ou encore, le couple (I, $g'$ ), où I est l’application identique de T, est $\mu$ -adapté); l’intégrale $\nu = \int \lambda'_t \, d\mu(t)$ ne dépend pas de la fonction $g'$ , localement presque partout égale à $g$ , utilisée dans la définition des mesures $\lambda'_t$ . Cette mesure $\nu$ est définie par la condition

\int f(t) \, d\nu(t) = \int f(t)g(t) \, d\mu(t) \quad \text{pour } f \in \mathscr{K}(T).

Si maintenant $\theta$ est une mesure complexe, et si $u$ est une fonction complexe (ou une fonction à valeurs dans $\overline{\mathbf{R}}$ ) définie localement $\theta$ -presque partout et localement intégrable pour $\theta$ , on peut écrire

\begin{align*} \mu &= g_1 - g_2 + i(g_3 - g_4) \\ \theta &= \mu_1 - \mu_2 + i(\mu_3 - \mu_4). \end{align*}

où $\mu_1 = (\mathscr{R}\theta)^+,\ \mu_2 = (\mathscr{R}\theta)^-,\ \mu_3 = (\mathscr{I}\theta)^+,\ \mu_4 = (\mathscr{I}\theta)^-$ (chap. III, 2e éd., ), et où $g_1, g_2, g_3, g_4$ ont des significations analogues ; $|\mu|$ étant localement $|\theta|$ -intégrable, chacune des fonctions positives $g_i\ (i = 1, 2, 3, 4)$ est localement intégrable pour chaque mesure positive $\mu_j\ (j = 1, 2, 3, 4)$ , de sorte que l’application

f \mapsto \int f(t)u(t)\ d\theta(t)

sur $\mathscr{K}(T)$ est une mesure complexe.

Définition 2

Soit $\theta$ une mesure complexe, et soit $u$ une fonction complexe (ou une fonction à valeurs dans $\bar{\mathbf{R}}$ ) définie localement $\theta$ -presque partout et localement $\theta$ -intégrable. On dit que la mesure complexe $f \mapsto \int fu\ d\theta$ sur $T$ est le produit de la mesure $\theta$ par la fonction $u$ , ou la mesure de densité $u$ par rapport à $\theta$ , et on la note $u . \theta$ .

Toute mesure complexe, produit d’une mesure positive $\mu$ par une fonction localement $\mu$ -intégrable, est appelée mesure de base $\mu$ .

La relation $\eta = u . \theta$ s’écrit encore par convention

d\eta(t) = u(t)\ d\theta(t).

Lorsque $u$ est partout définie et continue, on retrouve la définition donnée au chap. III, 2e éd., § 1, n° 4. Il est clair que si $u_1$ et $u_2$ sont localement $\theta$ -intégrables, on a $(u_1 + u_2) . \theta = u_1 . \theta + u_2 . \theta$ . De même, si $\theta_1$ et $\theta_2$ sont deux mesures sur $T$ , et si $u$ est une fonction localement intégrable pour $\theta_1$ et $\theta_2$ , $u$ est localement intégrable pour $\theta_1 + \theta_2$ et on a $u . (\theta_1 + \theta_2) = u . \theta_1 + u . \theta_2$ .

Nous nous bornerons désormais au cas des fonctions partout définies ; l’extension aux fonctions définies localement presque partout, toujours évidente, est laissée au lecteur.

La proposition suivante permet de ramener en grande partie le cas des mesures complexes à celui des mesures positives :

Proposition 2

Soient $\theta$ une mesure complexe, $u$ une fonction complexe localement $\theta$ -intégrable ; on a

(3)

|u . \theta| = |u| . |\theta|

Nous commencerons par un résultat auxiliaire :

*Lemme 1. — Soit $\theta$ une mesure complexe, et soit $f$ un élément de $\bar{\mathscr{L}}_c^1(T, \theta)$ . On a alors

\langle |\theta|, |f| \rangle = \sup_{c \in \mathscr{K}_1} |\langle \theta, cf \rangle| = \sup_{c \in \mathscr{B}_1} |\langle \theta, cf \rangle|

où $\mathscr{K}_1$ (resp. $\mathscr{B}_1$ ) désigne l’ensemble des fonctions complexes c continues à support compact (resp. boréliennes) telles que $|c| \leq 1$ .

Traitons d’abord le cas où $f \in \mathscr{K}(T; \mathbf{C})$ . On a évidemment $\sup_{c \in \mathscr{K}_1} |\langle \theta, cf \rangle| \leq \sup_{c \in \mathscr{B}_1} |\langle \theta, cf \rangle| \leq \langle |\theta|, |f| \rangle$ (chap. IV, § 4, n° 2, prop. 2).

D’autre part, soit g un élément de $\mathscr{K}(T; \mathbf{C})$ tel que $|g| \leq |f|$ ; g est limite uniforme d’une suite $(g_n)$ d’éléments de $\mathscr{K}(T; \mathbf{C})$ , dont les supports sont contenus dans l’ouvert U formé des t tels que $f(t) \neq 0$ , et l’on peut évidemment supposer que $|g_n| \leq |f|$ pour tout n. Posons $c_n(t) = g_n(t)/f(t)$ pour $t \in U$ , $c_n(t) = 0$ pour $t \notin U$ ; on a $c_n \in \mathscr{K}_1$ , $g = \lim_{n \to \infty} c_n f$ , donc $|\langle \theta, g \rangle| = \lim_{n \to \infty} |\langle \theta, c_n f \rangle|$ , et finalement $\sup_{|g| \leq |f|, g \in \mathscr{K}(T; \mathbf{C})} |\langle \theta, g \rangle| \leq \sup_{c \in \mathscr{K}_1} |\langle \theta, cf \rangle|$ . On conclut en remarquant que le premier membre de cette inégalité est égal à $\langle |\theta|, |f| \rangle$ (chap. III, 2e éd., § 1, n° 6, formule (12)).

Désignons ensuite par f un élément de $\bar{\mathscr{L}}_c^1(\theta)$ , et montrons que (4) est encore vraie : il suffit de vérifier que les trois membres de cette relation dépendent continûment de f pour la topologie de $\bar{\mathscr{L}}_c^1(\theta)$ , puisqu’ils coïncident sur le sous-espace dense $\mathscr{K}(T; \mathbf{C})$ . Cela résulte aussitôt des inégalités suivantes, où f et $f'$ désignent des éléments de $\bar{\mathscr{L}}_c^1(\theta)$ :

|\langle |\theta|, |f| \rangle - \langle |\theta|, |f'| \rangle| \leq \langle |\theta|, |f - f'| \rangle = N_1(f - f')

|\langle \theta, cf \rangle - \langle \theta, cf' \rangle| \leq \langle |\theta|, |c| |f - f'| \rangle \leq N_1(f - f')

pour tout $c \in \mathscr{B}_1$ . Le lemme est donc établi.

Passons à la démonstration de la proposition 2 : appliquons le lemme à la fonction uh, où h appartient à $\mathscr{K}_+(T)$ . Il vient :

\langle |\theta|, |uh| \rangle = \sup_{c \in \mathscr{K}_1} |\langle \theta, cuh \rangle| = \sup_{c \in \mathscr{K}_1} |\langle u . \theta, ch \rangle| = \langle |u . \theta|, h \rangle

Mais le premier membre est aussi égal à

\langle |\theta|, |u|h \rangle = \langle |u| . |\theta|, h \rangle.

Les deux mesures $|u| . |\theta|$ et $|u . \theta|$ sont donc égales.

Corollaire

Soient $g_1$ et $g_2$ deux fonctions numériques localement $\mu$ -intégrables ; on a $\inf(g_1 . \mu, g_2 . \mu) = \inf(g_1, g_2) . \mu$ ; $\sup(g_1 . \mu, g_2 . \mu) = \sup(g_1, g_2) . \mu$ .

En particulier, si g est une fonction numérique localement $\mu$ -intégrable, on a

(g \cdot \mu)^+ = g^+ \cdot \mu; \quad (g \cdot \mu)^- = g^- \cdot \mu.

Cela résulte aussitôt de la prop. 2 et des formules (6) du chap. II, § 1, n° 1.

3. Intégration par rapport à une mesure définie par une densité

Dans les énoncés de ce numéro, g désigne une fonction numérique positive, partout définie et localement $\mu$ -intégrable, $\theta$ désigne une mesure complexe, et u une fonction complexe localement $\theta$ -intégrable.

Les remarques du n° 2 montrent que les résultats du § 4 sont applicables à la mesure $v = g \cdot \mu = \int g(t) \varepsilon_t \, d\mu(t)$ (bien que la mesure $g(t) \varepsilon_t$ ne soit définie que si $g(t) \neq +\infty$ ). On obtient ainsi l’énoncé suivant:

Proposition 3

Pour toute fonction numérique $f \geq 0$ , définie dans T, on a

\int^* f dv = \int^* (fg) \, d\mu

Cela résulte du th. 1 du § 4, n° 2.

Corollaire 1

Pour qu’une fonction $\mathbf{f}$ , à valeurs dans un espace de Banach ou dans $\bar{\mathbf{R}}$ , soit localement négligeable pour la mesure $u \cdot \theta$ , il faut et il suffit que $u \mathbf{f}$ soit localement négligeable pour $\theta$ .

Dire que $\mathbf{f}$ (resp. $u \mathbf{f}$ ) est localement négligeable pour $u \cdot \theta$ (resp. pour $\theta$ ) équivaut à dire que $|\mathbf{f}|$ (resp. $|u| \cdot |\mathbf{f}|$ ) est localement négligeable pour $|u \cdot \theta|$ (resp. pour $|\theta|$ ). On est donc ramené, compte tenu de la prop. 2 du n° 2, au cas où $f, u, \theta$ sont positives ; l’énoncé résulte alors aussitôt de la prop. 3.

Corollaire 2

Soient $u_1$ et $u_2$ deux fonctions complexes localement $\theta$ -intégrables. Pour que $u_1 \cdot \theta = u_2 \cdot \theta$ , il faut et il suffit que $u_1$ et $u_2$ soient égales localement presque partout.

On se ramène aussitôt à montrer que $u \cdot \theta = 0$ entraîne $u(t) = 0$ localement presque partout ; mais $u \cdot \theta = 0$ signifie que la fonction 1 est localement négligeable pour la mesure $u . \theta$ . On applique alors le corollaire 1.

Corollaire 3

Soit $u$ une fonction complexe localement intégrable pour la mesure positive $\mu$ . Pour que $u . \mu$ soit une mesure positive, il faut et il suffit que $u(t) \geqslant 0$ localement presque partout. En effet, $u . \mu$ est positive si et seulement si

u . \mu = |u . \mu| = |u| . \mu

(prop. 2), et cela équivaut à

u = |u|

localement presque partout (cor. 2).

Proposition 4

Pour qu’une application $f$ de $T$ dans un espace topologique $G$ soit mesurable pour la mesure $u . \theta$ , il faut et il suffit que la restriction de $f$ à l’ensemble $\theta$ -mesurable $S$ des $t$ tels que $u(t) \neq 0$ soit $\theta$ -mesurable. Lorsque $u$ et $\theta$ sont positives, cela résulte aussitôt de la prop. 3 du § 4, n° 3. Le résultat s’étend alors au cas où $u$ et $\theta$ sont complexes grâce à la prop. 2.

Corollaire

Soit $f$ une fonction définie dans $T$ , à valeurs dans un espace de Banach $F$ ou dans $\bar{\mathbf{R}}$ . Pour que $f$ soit $(u . \theta)$ -mesurable, il faut et il suffit que $uf$ soit $\theta$ -mesurable. En effet, $uf$ est le prolongement par 0 de $(uf)|_S$ à $T$ .

Théorème 1

Soit $f$ une fonction définie dans $T$ , à valeurs dans un espace de Banach $F$ ou dans $\bar{\mathbf{R}}$ . Pour que $f$ soit essentiellement intégrable pour la mesure $\eta = u . \theta$ , il faut et il suffit que $uf$ soit essentiellement $\theta$ -intégrable, et on a alors

\int f \, d\eta = \int (uf) \, d\theta.

Supposons en outre que

u

soit continue et que

u(t) \neq 0

pour tout

t \in T

;

f

est alors intégrable pour la mesure

\eta

si et seulement si

uf

est intégrable pour

\theta

. Le cas où

u

\theta

sont positives résulte aussitôt du th. 2 du § 4, n° 4. La première et la dernière assertion de l’énoncé s’en déduisent aussitôt, car

f

est essentiellement intégrable (resp. intégrable) par rapport à

\eta = u . \theta

si et seulement si elle est essentiellement intégrable (resp. intégrable) pour

|\eta| = |u| . |\theta|

. Enfin, supposons que

f

soit essentiellement intégrable pour

\eta

(donc pour

|\eta|

); utilisons la décomposition (2):

f

est essentiellement intégrable pour chacune des mesures

\eta_{ij} = g_i : \mu_j

(

i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2, 3, 4

), car celles-ci sont majorées par

|\eta|

. On a

\int \mathbf{f}\ d\eta_{ij} = \int g_i \mathbf{f}\ d\mu_j.

La formule (6) s’en déduit immédiatement.

Corollaire

Pour que la mesure $u.\theta$ soit bornée, il faut et il suffit que $u$ soit essentiellement $\theta$ -intégrable.

Exemple

Soit A une partie de T ; pour que $\varphi_A$ soit localement $\mu$ -intégrable, il faut et il suffit que A soit $\mu$ -mesurable. Supposant cette condition remplie, posons $v = \varphi_A . \mu$ ; pour toute fonction numérique $f \geqslant 0$ définie dans T, on a alors

\int^\ast f dv = \int^\ast f \varphi_A\ d\mu,

valeur que l’on note encore $\int_A^\ast f\ d\mu$ (cf. chap. IV, § 5, n° 6). Pour qu’une application $g$ de T dans un espace topologique G soit $v$ -mesurable, il faut et il suffit que la restriction de $g$ à A soit $\mu$ -mesurable. Pour qu’une application $\mathbf{f}$ de T dans un espace de Banach F ou dans $\bar{\mathbf{R}}$ soit essentiellement $v$ -intégrable, il faut et il suffit que $\mathbf{f} \varphi_A$ soit essentiellement $\mu$ -intégrable, et on a

\int \mathbf{f}\ dv = \int \mathbf{f} \varphi_A\ d\mu,

expression qu’on note encore $\int_A \mathbf{f}\ d\mu$ . On notera que, si deux applications de T dans G (resp. F, $\bar{\mathbf{R}}$ ) coïncident dans A, pour que l’une d’elles soit $v$ -mesurable (resp. essentiellement $v$ -intégrable) il faut et il suffit que l’autre le soit. Si maintenant $g$ est une application dans G d’une partie quelconque $B \supset A$ de T, on dit que $g$ est $\mu$ -mesurable dans A si un prolongement quelconque à T de la restriction de $g$ à A est $v$ -mesurable, ce qui revient à dire que la restriction de $g$ à A est $\mu$ -mesurable. On dit qu’une application $\mathbf{f}$ de B dans un espace de Banach F, ou dans $\bar{\mathbf{R}}$ , est essentiellement $\mu$ -intégrable dans A si un prolongement $\bar{\mathbf{f}}$ à T de la restriction de $\mathbf{f}$ à A est essentiellement $v$ -intégrable ; on pose alors

\int_A \mathbf{f}\ d\mu = \int_A \bar{\mathbf{f}} d\mu = \int \bar{\mathbf{f}} \varphi_A\ d\mu,

et on dit que $\int_A \mathbf{f}\ d\mu$ est l’intégrale de $\mathbf{f}$ dans A (ou étendue à A).

Si $f$ est une fonction numérique $\geqslant 0$ définie dans $B \supset A$ , on définit de même $\int_A^* f d\mu$ et $\int_A^\bullet f d\mu$ . Enfin, on dit qu’une fonction numérique $g$ définie dans $B \supset A$ est localement $\mu$ -intégrable dans $A$ si un prolongement $\bar{g}$ à $T$ de la restriction de $g$ à $A$ est localement $\nu$ -intégrable : cela équivaut à dire que, pour toute partie compacte $K$ de $T$ , $\bar{g} \varphi_{K \cap A}$ est $\mu$ -intégrable.

4. Comportement du produit par rapport aux opérations usuelles

Proposition 5

Soit* $(\lambda_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille de mesures positives sur $T$ , filtrante pour la relation $\leqslant$ , admettant dans $\mathscr{M}(T)$ une borne supérieure $\lambda$ . Pour qu’une fonction numérique positive $g$ soit localement $\lambda$ -*intégrable*, il faut et il suffit que $g$ soit localement $\lambda_\alpha$ *-intégrable pour tout* $\alpha \in A$ , et que la famille $(g \cdot \lambda_\alpha)$ soit majorée dans $\mathscr{M}(T)$ ; *on a alors

g \cdot \lambda = \sup_{\alpha \in A} g \cdot \lambda_\alpha.

Il est clair que la condition est nécessaire. Inversement, supposons que $g$ soit localement intégrable pour chaque mesure $\lambda_\alpha$ , et que la famille $(g \cdot \lambda_\alpha)_{\alpha \in A}$ soit majorée ; désignons par $\lambda'$ sa borne supérieure. La fonction $g$ est alors $\lambda$ -mesurable (§ 1, n° 4, cor. 2 de la prop. 11) ; on a de plus, pour toute fonction $h \in \mathscr{K}_+(T)$

\int^\bullet (hg) \, d\lambda = \sup_{\alpha \in A} \int^\bullet (hg) \, d\lambda_\alpha = \sup_{\alpha \in A} \int^\bullet h \, d(g \cdot \lambda_\alpha) = \int^\bullet h \, d\lambda'

(§ 1, n° 4, prop. 11). Cela entraîne d’abord que le premier membre est fini quel que soit $h$ , de sorte que $g$ est localement $\lambda$ -intégrable ; on peut donc remplacer le symbole $\int^\bullet$ par $\int$ , et la formule s’écrit $\int h \, d(g \cdot \lambda) = \int h \, d\lambda'$ . Il en résulte que $g \cdot \lambda = \lambda'$ , et ceci achève la démonstration.

Corollaire

Supposons que* $\mu$ soit la somme d’une famille $(\mu_\alpha)_{\alpha \in A}$ de mesures sur $T$ . Pour qu’une fonction numérique positive $g$ définie dans $T$ soit localement $\mu$ *-intégrable*, il faut et il suffit que $g$ soit localement $\mu_\alpha$ *-intégrable pour tout* $\alpha \in A$ , et que la famille $(g \cdot \mu_\alpha)_{\alpha \in A}$ soit sommable. *On a dans ce cas

(7)

g \cdot \mu = \sum_{\alpha \in A} g \cdot \mu_\alpha.

Soit $(g_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille de fonctions positives $\mu$ -mesurables définies dans $T$ . Soit $A_\alpha$ l’ensemble des $t \in T$ tels que $g_\alpha(t) \neq 0$ . Nous dirons que la famille $(g_\alpha)$ est localement dénombrable si la famille $(A_\alpha)$ est localement dénombrable (chap. IV, 2e éd., , n° 9); cela revient à dire que, pour tout compact $K$ de $T$ , l’ensemble des $\alpha \in A$ tels que $g_\alpha|K$ ne soit pas nulle est dénombrable

Proposition 6

Soit $(g_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille localement dénombrable de fonctions numériques positives localement $\mu$ -intégrables définies dans $T$ . Pour que la fonction $g = \sum_{\alpha \in A} g_\alpha$ soit localement $\mu$ -intégrable, il faut et il suffit que la famille de mesures $(g_\alpha \cdot \mu)_{\alpha \in A}$ soit sommable, et on a dans ce cas*:

g \cdot \mu = \sum_{\alpha \in A} g_\alpha \cdot \mu.

Il est clair que $g$ est $\mu$ -mesurable (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 10, prop. 16). Pour que $g$ soit localement $\mu$ -intégrable, il faut et il suffit par conséquent que $\mu^*(gf)$ soit fini pour tout $f \in \mathscr{H}_+(T)$ . Or l’ensemble des $\alpha \in A$ tels que $g_\alpha f \neq 0$ étant dénombrable, on a $\mu^*(gf) = \sum_{\alpha \in A} \mu^*(g_\alpha f)$ (§ 1, n° 1, cor. de la prop. 2). Posons $v_\alpha = g_\alpha \cdot \mu$ ; la condition $\mu^*(gf) < +\infty$ équivaut à la condition $\sum_{\alpha \in A} v_\alpha(f) < +\infty$ : autrement dit, $g$ est localement $\mu$ -intégrable si et seulement si la famille $(v_\alpha)$ est sommable. Si l’on désigne alors par $v$ la somme de cette famille, le calcul précédent donne l’égalité $v(f) = \mu^*(gf)$ , qui équivaut à (8).

Corollaire

Soit $(g_n)$ une suite de fonctions numériques localement $\mu$ -intégrables, et telle que la suite des mesures $g_n \cdot \mu$ soit croissante. Pour que cette suite soit majorée dans l’espace vectoriel ordonné $\mathscr{M}(T)$ des mesures sur $T$ , il faut et il suffit que la fonction $g = \sup g_n$ soit localement $\mu$ -intégrable; la borne supérieure dans $\mathscr{M}(T)$ de la suite $(g_n \cdot \mu)$ est alors la mesure $g \cdot \mu$ .

Il suffit d’appliquer la prop. 6 aux fonctions (positives localement presque partout) $g'_n = g_{n+1} - g_n$ .

Proposition 7

Soit $X$ un espace localement compact dénombrable à l’infini, et soit $t \mapsto \lambda_t$ une application $\mu$ -adéquate de $T$ dans $\mathscr{M}_+(X)$ . Soit $g$ une fonction numérique positive définie dans $X$ , localement intégrable pour la mesure $v = \int \lambda_t \, d\mu(t)$ . L’ensemble des $t \in T$ tels que $g$ ne soit pas localement $\lambda_t$ -intégrable est alors localement négligeable pour $\mu$ , l’application $t \mapsto g . \lambda_t$ (définie localement $\mu$ -presque partout) est $\mu$ -adéquate, et on a:

g . v = \int (g . \lambda_t) \, d\mu(t).

Soit $(K_n)_{n \in \mathbf{N}}$ une suite croissante de compacts de $X$ dont les intérieurs recouvrent $X$ ; si $\eta$ est une mesure positive quelconque sur $X$ , dire que $g$ est localement $\eta$ -intégrable équivaut à dire que $g \varphi_{K_n}$ est $\eta$ -intégrable pour tout $n$ . Or soit $H_n$ l’ensemble des $t \in T$ tels que $g \varphi_{K_n}$ ne soit pas $\lambda_t$ -intégrable, et soit $H = \bigcup_n H_n$ ; $H_n$ étant localement $\mu$ -négligeable pour tout $n$ ( $§ 3$ , no 3, th. 1), il en est de même de $H$ , ce qui établit la première assertion de l’énoncé. Quitte à remplacer $\lambda_t$ par 0 sur $H$ (ce qui ne change pas la mesure $v$ ), on peut supposer que $g$ est localement $\lambda_t$ -intégrable pour tout $t \in T$ . On a pour toute fonction positive $v$ -mesurable $h$ définie dans $X$ , d’après la prop. 3, et la prop. 5 du $§ 3$ , no 2,

\int^\bullet h \, d(g . v) = \int^\bullet (gh) \, dv = \int^\bullet d\mu(t) \int^\bullet (gh) \, d\lambda_t = \int^\bullet d\mu(t) \int^\bullet h \, d(g . \lambda_t).

Cette formule et la prop. 5 du $§ 3$ , no 2 montrent d’abord (en prenant $h \in \mathscr{K}_+(T)$ ) que l’application $t \mapsto g . \lambda_t$ est scalairement essentiellement $\mu$ -intégrable, et que son intégrale est $g . v$ ; autrement dit, on a la relation (9). Ensuite, remplaçons $\mu$ par une mesure positive $\mu' \leq \mu$ , et prenons pour $h$ une fonction semi-continue inférieurement positive : il résulte aussitôt de ces relations que $t \mapsto g . \lambda_t$ est $\mu$ -adéquate ( $§ 3$ , no 1, déf. 1).

Proposition 8

Soient $\theta$ une mesure complexe sur $T$ , $g_1$ une fonction complexe localement $\theta$ -intégrable, $\theta_1$ la mesure $g_1 . \theta$ . Pour qu’une fonction complexe $g_2$ définie dans $T$ soit localement $\theta_1$ -intégrable, il faut et il suffit que $g_2 g_1$ soit localement $\theta$ -intégrable, et on a dans ce cas

g_2 . \theta_1 = g_2 . (g_1 . \theta) = (g_2 g_1) . \theta

(« formule d’associativité »).

D’après le cor. de la prop. 4, dire que $g_2$ est $\theta_1$ -mesurable équivaut à dire que $g_2 g_1$ est $\theta$ -mesurable. Supposons que cette condition soit satisfaite. On a, pour toute fonction $f \in \mathscr{K}_+(T)$ , en vertu des propositions 2 et 3

\int^\bullet |g_2| f d|\theta_1| = \int^\bullet |g_2| f |g_1| d|\theta| = \int^\bullet |g_2 g_1| f d|\theta|.

Dire que $g_2$ est localement $\theta_1$ -intégrable équivaut donc à dire que $g_2 g_1$ est localement $\theta$ -intégrable. Cette condition étant supposée satisfaite, on a d’après le th. 1

\int f d(g_2 \cdot \theta_1) = \int fg_2\, d\theta_1 = \int fg_2g_1\, d\theta = \int f d(g_2g_1 \cdot \theta)

formule équivalente à (10).

5. Caractérisation des mesures de base $\mu$

Théorème 2 (Lebesgue–Nikodym). — Soient $\mu$ et $\nu$ deux mesures positives sur $T$ . Les propriétés suivantes sont équivalentes:

1) $\nu$ est une mesure de base $\mu$ . 2) Tout ensemble localement $\mu$ -négligeable est localement $\nu$ -négligeable. 3) Tout compact $\mu$ -négligeable est $\nu$ -négligeable.

Il est clair que 1) entraîne 2) (cor. 1 de la prop. 3), et que 2) entraîne 3). Nous allons montrer que 3) entraîne 1). Notons d’abord que, si la condition 3) est remplie, tout ensemble $A$ , universellement mesurable et localement $\mu$ -négligeable, est localement $\nu$ -négligeable ; on a en effet $\nu^*(A) = \sup \nu(K)$ , $K$ parcourant l’ensemble des compacts contenus dans $A$ ( $§ 1$ , n° 3, prop. 10, a) et chap. IV, 2e éd., § 4, n° 6, cor. 2 du th. 4). Nous établirons ensuite deux lemmes.

Lemme 2

Soient $\alpha$ une mesure positive bornée sur $T$ , $\beta$ une mesure réelle sur $T$ telle que $|\beta| \leq M \alpha$ , où $M$ est une constante positive. Il existe alors une fonction réelle $u$ , $\alpha$ -intégrable, telle que $\beta = u \cdot \alpha$ .

Soit $g$ un élément de l’espace $\mathscr{L}^2_{\mathbf{R}}(T, \alpha)$ ; $g$ est $\beta$ -mesurable et on a $\int^* |g|^2\, d|\beta| \leq M \int^* |g|^2\, d\alpha < +\infty$ . La fonction $g$ appartient donc à $\mathscr{L}^2(T, |\beta|)$ , et aussi à $\mathscr{L}^1(T, |\beta|)$ puisque $\beta$ est bornée. On a d’après l’inégalité de Cauchy–Schwarz

|\beta(g)|^2 \leq (\int |g| d|\beta|)^2 \leq (\int d|\beta|)(\int |g|^2\, d|\beta|) \leq M^2 \alpha(1)\alpha(|g|^2).

L’application $g \mapsto \beta(g)$ est donc une forme linéaire continue sur $\mathscr{L}^2(T, \alpha)$ . L’espace séparé associé à $\mathscr{L}^2(T, \alpha)$ étant un espace hilbertien, il existe alors (Esp. Vect. Top., chap. V, § 1, th. 3) une fonction réelle $u \in \mathscr{L}^2(T, \alpha)$ , donc appartenant aussi à $\mathscr{L}^1(T, \alpha)$ , telle que $\beta(g) = \alpha(ug)$ pour tout $g \in \mathscr{L}^2(T, \alpha)$ . En appliquant cette relation pour $g \in \mathscr{H}(T)$ , on voit que $\beta = u \cdot \alpha$ .

Lemme 3

Supposons que la mesure positive $v$ soit telle que tout compact $\mu$ -négligeable soit $v$ -négligeable. Soit $\mathfrak{K}$ l’ensemble des compacts $K$ de $T$ possédant la propriété suivante :

(11) Il existe une constante $M \geq 0$ telle que $\varphi_K \cdot v \leq M \varphi_K \cdot \mu$ .

L’ensemble $\mathfrak{K}$ est alors $\mu$ -dense dans $T$ .

Si $K$ satisfait à (11), et si $A$ est une partie borélienne contenue dans $K$ , il résulte aussitôt de la prop. 8 que $\varphi_A \cdot v \leq M \varphi_A \cdot \mu$ ; on en déduit que la réunion de deux éléments $K, K'$ de $\mathfrak{K}$ appartient à $\mathfrak{K}$ car $\varphi_{K \cup K'} = \varphi_K + \varphi_A$ , où $A = K' \cap C K$ . Pour établir le lemme, il reste à prouver que tout compact $L$ tel que $\mu(L) > 0$ contient un compact $K \in \mathfrak{K}$ tel que $\mu(K) > 0$ (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 8, prop. 12). Choisissons un nombre $M > v(L)/\mu(L)$ , et appliquons le lemme 1 à la mesure positive bornée $\alpha = \varphi_L \cdot (v + M \mu)$ et à la mesure $\beta = \varphi_L \cdot (v - M \mu)$ . Quitte à modifier la fonction $u$ telle que $\beta = u \cdot \alpha$ par une fonction qui lui est égale $\alpha$ -presque partout, on peut supposer que $u$ est universellement mesurable (§ 3, n° 5, prop. 7), et nulle hors de $L$ . L’ensemble $H$ des $t \in T$ tels que $u(t) < 0$ , qui est contenu dans $L$ , ne saurait être $\mu$ -négligeable, car il serait alors $v$ -négligeable (d’après la remarque faite au début de la démonstration du th. 2), donc $\alpha$ -négligeable, et on aurait $\beta(L) > 0$ , ce qui contredit le choix de $M$ . Soit $K$ un compact contenu dans $H$ , tel que $\mu(K) > 0$ ; montrons que $K \in \mathfrak{K}$ , ce qui établira le lemme. On a d’après la prop. 8

\varphi_K \cdot (v - M \mu) = \varphi_K \cdot \beta = \varphi_K \cdot (u \cdot \alpha) = (\varphi_K u) \cdot \alpha.

La fonction $\varphi_K u$ est négative, et on a bien par conséquent $\varphi_K \cdot v \leq M \varphi_K \cdot \mu$ .

Achevons alors la démonstration du théorème 2. On suppose la condition 3) vérifiée et on définit $K$ comme dans le lemme 3. Soit $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille localement dénombrable d’éléments de $\mathfrak{K}$ deux à deux disjoints, telle que l’ensemble $N = T - \bigcup_{\alpha \in A} K_\alpha$ soit localement $\mu$ -négligeable (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 9, prop. 14); la famille $(K_\alpha)$ étant localement dénombrable, $N$ est universellement mesurable, et donc localement $v$ -négligeable. Posons $\mu_\alpha = \varphi_{K_\alpha} \cdot \mu, \nu_\alpha = \varphi_{K_\alpha} \cdot v$ ; les fonctions $\varphi_{K_\alpha}$ formant une famille localement dénombrable, dont la somme est égale à 1 localement presque partout pour $\mu$ et pour $v$ , la proposition 6 entraîne que $\mu = \sum_{\alpha \in A} \mu_\alpha, \nu = \sum_{\alpha \in A} \nu_\alpha$ . D’autre part, par définition de $\mathfrak{K}$ , il existe pour tout $\alpha$ une constante $M_\alpha$ telle que $\nu_\alpha \leq M_\alpha \mu_\alpha$ ; le lemme 2 entraîne donc l’existence d’une fonction $g_\alpha$ , que l’on peut supposer nulle hors de $K_\alpha$ et positive (cor. 3 de la prop. 3), telle que $v_\alpha = g_\alpha \cdot \mu_\alpha$ . On a donc (n° 4, prop. 8)

v_\alpha = g_\alpha \cdot \mu_\alpha = g_\alpha \cdot (\varphi_{K_\alpha} \cdot \mu) = (g_\alpha \varphi_{K_\alpha}) \cdot \mu = g_\alpha \cdot \mu.

Posons

g = \sum_{\alpha \in A} g_\alpha

; la famille

(g_\alpha)

étant localement dénombrable, et la famille

(v_\alpha)

étant sommable, la proposition 6 entraîne que g est localement

\mu

-intégrable, et que

v = g \cdot \mu

, ce qui établit le théorème.

Corollaire 1

Soit $\mathscr{N}$ un ensemble de mesures positives de base $\mu$ , admettant dans $\mathscr{M}(T)$ une borne supérieure $v$ ; alors $v$ est une mesure de base $\mu$ .

Le cor. de la prop. 2 permet de se ramener au cas où $\mathscr{N}$ est un ensemble filtrant croissant. On a alors, pour tout ensemble localement $\mu$ -négligeable A, d’après la prop. 11 du § 1, n° 4,

v^\bullet(A) = \sup_{\lambda \in \mathscr{N}} \lambda^\bullet(A) = 0.

Le théorème 2 entraîne donc que

v

est une mesure de base

\mu

Corollaire 2

Soit $v$ une mesure réelle sur T. Pour que $v$ appartienne à la bande engendrée par $\mu$ dans l’espace complètement réticulé $\mathscr{M}(T)$ (chap. II, § 1, n° 5), il faut et il suffit que $v$ soit une mesure de base $\mu$ .

On se ramène aussitôt, en considérant $v^+$ et $v^-$ , au cas d’une mesure $v$ positive (n° 2, cor. de la prop. 2). Posons alors $v_n = \inf(n\mu, v)$ ; $v$ appartient à la bande engendrée par $\mu$ si et seulement si $v = \sup_n v_n$ (chap. II, 2e éd., § 1, n° 5, cor. de la prop. 6). Or $v_n$ , majorée par $n\mu$ , est une mesure de base $\mu$ d’après le th. 2; la relation $v = \sup_n v_n$ entraîne donc que $v$ est une mesure de base $\mu$ (cor. 1). Inversement, supposons que $v$ soit une mesure de base $\mu : v = g \cdot \mu$ , où $g$ est localement $\mu$ -intégrable et positive. On a alors $v_n = \inf(g, n) \cdot \mu$ (cor. de la prop. 2), et il résulte aussitôt du théorème de Lebesgue (chap. IV, § 4, n° 3, prop. 4) que $v = \sup_n v_n$ .

Corollaire 3

Soit $\theta$ une mesure complexe; il existe une fonction universellement mesurable $v$ , telle que $|v| = 1$ , et qu’on ait $\theta = v \cdot |\theta|, \ |\theta| = \bar{v} \cdot \theta$ .

Posons en effet $\theta = \theta_1 - \theta_2 + i(\theta_3 - \theta_4)$ , où $\theta_1 = (\Re \theta)^+$ , $\theta_2 = (\Re \theta)^-$ , $\theta_3 = (\Im \theta)^+$ , $\theta_4 = (\Im \theta^-)$ ; les mesures positives $\theta_i$ ( $i = 1, 2, 3, 4$ ), étant majorées par $|\theta|$ (chap. III, 2e éd., § 1, n° 6, formule (17)), sont des mesures de base $|\theta|$ d’après le théorème 2. Il en résulte qu’il existe une fonction localement $|\theta|$ -intégrable $v$ telle que $\theta = v . |\theta|$ . La proposition 2 donne alors la relation $|\theta| = |v| . |\theta|$ , ce qui entraîne que $|v| = 1$ localement $|\theta|$ -presque partout (cor. 2 de la prop. 3). On a enfin, d’après la prop. 8, $\bar{v} . \theta = (v \bar{v}) . |\theta| = |\theta|$ . La fonction $v$ n’étant définie qu’à une fonction localement $|\theta|$ -négligeable près, on peut supposer que $v$ est universellement mesurable (§ 3, n° 4, prop. 7) et que $|v| = 1$ partout.

Remarques — 1) Supposons que $\lambda$ soit une mesure positive, que $v$ soit une fonction $\lambda$ -mesurable telle que $|v| = 1$ localement $\lambda$ -presque partout (ce qui entraîne que $v$ est localement $\lambda$ -intégrable), et qu’on ait $\theta = v . \lambda$ . La prop. 2 montre aussitôt que $\lambda = |\theta|$ ; autrement dit, la propriété de l’énoncé précédent caractérise la mesure positive $|\theta|$ .

2) Si $|\theta| \leq a \mu$ , où $\mu$ est une mesure positive et $a$ un nombre $\geq 0$ , $\theta$ est une mesure de base $\mu$ .

Corollaire 4

Soient $\rho$ et $\theta$ deux mesures complexes. Pour qu’il existe une fonction $u$ , localement $\theta$ -intégrable, telle que $\rho = u . \theta$ , il faut et il suffit que tout compact $\theta$ -négligeable soit $\rho$ -négligeable.

Cette condition est évidemment nécessaire. Inversement, supposons que tout compact $\theta$ -négligeable soit $\rho$ -négligeable ; le théorème 2 entraîne l’existence d’une fonction localement $|\theta|$ -intégrable $g$ telle que $|\rho| = g . |\theta|$ . Le cor. 3 entraîne d’autre part l’existence d’une fonction $v_1$ (resp. $v_2$ ), de valeur absolue 1, mesurable pour la mesure $|\rho|$ (resp. $\theta$ ), telle que $\rho = v_1 . |\rho|$ (resp. $|\theta| = \bar{v}_2 . \theta$ ). D’après la prop. 8, on a alors $\rho = u . \theta$ , où $u = v_1 g \bar{v}_2$ .

Corollaire 5

Soient $\mu$ et $v$ deux mesures positives sur T. Les conditions 1), 2), 3) du th. 2 sont encore équivalentes aux suivantes:

4) Pour toute fonction numérique $f \geq 0$ $v$ -intégrable et pour tout nombre $\varepsilon > 0$ , il existe $\delta > 0$ tel que les relations $0 \leq h \leq f$ et $\int^* h \, d\mu \leq \delta$ entraînent $\int^* h \, dv < \varepsilon$ .

5) Pour toute fonction $g \in \mathscr{K}_+(\mathrm{T})$ et tout nombre $\varepsilon > 0$ , il existe $\delta > 0$ tel que, pour toute $h \in \mathscr{K}_+(\mathrm{T})$ majorée par $g$ et vérifiant $\int h \, d\mu \leq \delta$ , on ait $\int h \, dv \leq \varepsilon$ .

6) Pour tout ensemble compact $K \subset \mathrm{T}$ et tout nombre $\varepsilon > 0$ , il existe $\delta > 0$ tel que les relations $A \subset K$ et $\mu^*(A) \leq \delta$ entraînent $v^*(A) \leq \varepsilon$ .

Les implications 4) ⇒ 6) ⇒ 3) sont évidentes.

Supposons qu’il existe une fonction finie $k \geq 0$ , universellement mesurable, localement $\mu$ -intégrable, telle que $\nu = k . \mu$ , et montrons que la condition 4) est remplie. Soient $f$ une fonction $\geq 0$ , $\nu$ -intégrable, et $\varepsilon > 0$ . Pour tout entier $n \geq 0$ , soit $A_n$ l’ensemble des $t \in T$ tels que $k(t) \geq n$ . Les fonctions $f \varphi_{A_n}$ tendent simplement vers 0 en décroissant et sont majorées par $f$ , donc il existe $N$ tel que $\int f \varphi_{A_N} d\nu \leq \varepsilon / 2$ (chap. IV, § 4, n° 3, prop. 4). Si $h$ est une fonction sur $T$ vérifiant $0 \leq h \leq f$ et $\int^* h \, d\mu \leq \varepsilon / 2N$ , on a

\nu^*(h) \leq \nu^*(h \varphi_{A_N}) + \nu^*(h(1 - \varphi_{A_N}))

\leq \nu^*(f \varphi_{A_N}) + \mu^*(h(1 - \varphi_{A_N})k) \leq \frac{\varepsilon}{2} + N \mu^*(h) \leq \varepsilon.

On a ainsi prouvé que les conditions 4) et 6) sont équivalentes aux conditions du th. 2.

Il est clair que 4) entraîne 5). Enfin, si la condition 5) est remplie, $\nu$ appartient à la bande engendrée par $\mu$ (chap. II, § 2, n° 2, prop. 4), donc est de base $\mu$ (cor. 2).

Scholie

Pour tout $\dot{f} \in L^1_{loc}(T, \mu ; \mathbf{B})$ , posons $\varphi(\dot{f}) = f . \mu$ , où $f \in \dot{f}$ ; l’application $\varphi$ est linéaire, croissante, injective (cor. 2 de la prop. 3), et admet pour image dans $\mathscr{M}(T)$ la bande $\mathbf{B}$ engendrée par $\mu$ (cor. 2 du th. 2). L’application $\varphi$ permet donc d’identifier $L^1_{loc}(T, \mu ; \mathbf{R})$ à un espace de mesures réelles sur $T$ ; comme tous les espaces $L^p_R(T, \mu)$ sont des sous-espaces de $L^1_{loc}(T, \mu ; \mathbf{R})$ , ils peuvent eux aussi être identifiés à des sous-espaces de $\mathscr{M}(T)$ . On a des considérations analogues pour les fonctions et mesures à valeurs complexes. On notera que l’application $\varphi$ envisagée ci-dessus est un isomorphisme des structures d’espace vectoriel ordonné de $L^1_{loc}$ et de $\mathbf{B}$ , mais n’est évidemment pas un isomorphisme pour les structures d’espace vectoriel topologique de ces espaces.

Comme toute bande dans un espace complètement réticulé est elle-même un espace complètement réticulé (chap. II, § 1, n° 5), on voit que l’espace $L^1_{loc}$ est complètement réticulé; mais il convient de rappeler que la borne supérieure dans $L^1_{loc}$ d’une famille non dénombrable $(\dot{f}_\alpha)$ de classes d’équivalence n’est pas nécessairement identique à la classe de l’enveloppe supérieure des fonctions $f_\alpha$ . Toutefois, nous avons vu que, pour une suite croissante $(f_n)$ de fonctions localement $\mu$ -intégrables, dont l’enveloppe supérieure $f$ est localement $\mu$ -intégrable, $f . \mu$ est la borne supérieure de la suite de mesures $(f_n . \mu)$ dans $\mathscr{M}(T)$ (cor. de la prop. 6).

Voici une conséquence intéressante du corollaire 3 du th. 2:

Proposition 9

Soit $\theta$ une mesure complexe bornée ; pour que $\theta$ soit une mesure positive, il faut et il suffit qu’on ait $\| \theta \| = \theta(1)$ .

Cette condition est évidemment nécessaire. Inversement, supposons qu’on ait $\| \theta \| = \int d\theta$ , et désignons par $v$ une fonction $|\theta|$ -mesurable, de valeur absolue 1, telle que $\theta = v . |\theta|$ . Comme on a $\| \theta \| = \int d|\theta|$ (chap. III, 2e éd., § 1, n° 8, cor. 2 de la prop. 10), et $\int d\theta = \int v . d|\theta|$ (th. 1), l’hypothèse entraîne que $\int (1 - v) d|\theta| = 0$ , et donc aussi que $\int \mathscr{R}(1 - v) d|\theta| = 0$ . La fonction $\mathscr{R}(1 - v)$ , étant positive, est donc nulle presque partout, ce qui entraîne que $v = 1$ presque partout, et achève la démonstration.

6. Mesures équivalentes

Proposition 10

Soient $\mu$ et $v$ deux mesures positives sur $T$ . Les conditions suivantes sont équivalentes :

a) Les ensembles localement négligeables sont les mêmes pour $\mu$ et $v$ .

b) Les bandes engendrées par $\mu$ et $v$ dans $\mathscr{M}(T)$ sont identiques.

c) On a $v = g . \mu$ , où $g$ est localement $\mu$ -intégrable et $g(t) > 0$ localement presque partout pour $\mu$ .

Les conditions a) et b) sont équivalentes en vertu du cor. du th. 2 du n° 5. Si elles sont remplies, on a $v = g . \mu$ et $\mu = h . v$ , où $g$ (resp. $h$ ) est positive et localement intégrable pour $\mu$ (resp. $v$ ). Donc (n° 4, prop. 8) $hg$ est localement $\mu$ -intégrable, et on a $\mu = (hg) . \mu$ . Il en résulte (n° 3, cor. 2 de la prop. 3) que $hg$ est égale à 1 localement presque partout pour $\mu$ , de sorte que $g(t) > 0$ et $h(t) = 1/g(t)$ localement presque partout pour $\mu$ . Réciproquement, supposons que $v = g . \mu$ , avec $g(t) > 0$ localement presque partout pour $\mu$ ; comme $(1/g)g$ est définie localement presque partout et est localement $\mu$ -intégrable, $1/g$ est localement $v$ -intégrable et $(1/g) . v = \mu$ (n° 4, prop. 8).

Définition 3

Sur un espace localement compact $T$ , on dit que deux mesures complexes $\theta, \theta'$ sont équivalentes si les mesures $|\theta|$ et $|\theta'|$ satisfont aux conditions a), b), c) de la prop. 10.

Pour que $\theta$ et $\theta'$ soient équivalentes, il faut et il suffit donc que $|\theta|$ et $|\theta'|$ le soient.

Remarque

Si $\mu$ et $\nu$ sont deux mesures positives équivalentes, les fonctions mesurables définies dans $T$ , à valeurs dans un espace topologique quelconque $G$ , sont les mêmes pour $\mu$ et $\nu$ , comme il résulte aussitôt de la prop. 4 du n° 3.

Proposition 11

Soit $\mu$ une mesure positive sur $T$ . Si $T$ est dénombrable à l’infini, il existe une fonction continue $h$ telle que $h(t) > 0$ pour tout $t \in T$ et que la mesure $\nu = h . \mu$ (équivalente à $\mu$ ) soit bornée.

En effet, soit $(K_n)$ une suite d’ensembles compacts formant un recouvrement de $T$ , et pour tout $n$ , soit $f_n$ une fonction de $\mathscr{K}(T)$ telle que $0 \leq f_n \leq 1$ et $f_n(t) = 1$ dans $K_n$ (chap. III, 2e éd., § 1, n° 2, lemme 1). Soit $(a_n)$ une suite de nombres $> 0$ telle que $\sum_n a_n < +\infty$ ; la série $h = \sum_n a_n f_n$ est alors normalement convergente dans $T$ , et $h$ est par suite une fonction continue dans $T$ , telle que $h(t) > 0$ pour tout $t \in T$ , par construction. En posant $\nu = h . \mu$ , on a alors (prop. 3 et chap. IV, § 1, n° 3, prop. 13)

\nu^*(1) = \int^* h \, d\mu \leq \sum_n a_n \int f_n \, d\mu.

En prenant par exemple $a_n = 2^{-n} (\int f_n \, d\mu)^{-1}$ lorsque $\int f_n \, d\mu > 1$ , $a_n = 2^{-n}$ dans le cas contraire, on a $\sum_n a_n < +\infty$ et $\nu^*(1) < +\infty$ , ce qui démontre la proposition.

Proposition 12

Soit $(\mu_n)$ une suite de mesures positives bornées sur $T$ ; il existe une mesure positive bornée $\mu$ sur $T$ telle que la relation $\mu^*(N) = 0$ soit équivalente à « quel que soit $n$ , $\mu_n^*(N) = 0$ »; chacune des mesures $\mu_n$ est de base $\mu$ . En outre, si $\mu'$ est une seconde mesure positive sur $T$ ayant cette propriété, $\mu$ et $\mu'$ sont équivalentes.

La dernière partie de l’énoncé résulte aussitôt de la déf. 3. Pour démontrer l’existence de $\mu$ , on peut se borner au cas où $\mu_n \neq 0$ pour tout $n$ ; la famille de mesures $\mu_n / 2^n \| \mu_n \|$ est alors sommable dans $\mathscr{M}(T)$ , et sa somme $\mu$ est telle que $\| \mu \| \leq 1$ . En outre, comme $\mu_n \leq 2^n \| \mu_n \| . \mu$ , la relation $\mu(N) = 0$ entraîne $\mu_n(N) = 0$ pour tout $n$ ; inversement, si $N$ est un ensemble négligeable pour toutes les $\mu_n$ , il est localement négligeable pour $\mu$ (§ 2, n° 2, cor. 2 de la prop. 1), et par suite $\mu$ -négligeable puisque $\mu$ est bornée (§ 1, n° 2, cor. 2 de la prop. 7).

7. Mesures étrangères

Étant données deux mesures réelles $\rho, \sigma$ sur $T$ , rappelons que l’on dit que $\rho$ et $\sigma$ sont étrangères si l’on à $\inf(|\rho|, |\sigma|) = 0$ dans $\mathscr{M}(T)$ (chap. II, § 1, n° 1). On sait que les mesures réelles étrangères à une mesure donnée forment une bande (chap. II, § 1, n° 5, th. 1). Cette définition s’étend aussitôt au cas des mesures complexes.

Définition 4

On dit qu’une mesure complexe $\theta$ sur $T$ est concentrée sur une partie $M$ de $T$ , ou que $M$ porte $\theta$ , si $\mathbf{C}M$ est localement négligeable pour $\theta$ .

L’ensemble $M$ porte $\theta$ si et seulement s’il porte $|\theta|$ . Il est équivalent de dire que $M$ porte $\theta$ , ou que $M$ est $\theta$ -mesurable et $\theta = \varphi_M \cdot \theta$ . Si $\theta$ est concentrée sur $M$ , toute mesure de base $|\theta|$ est concentrée sur $M$ .

Proposition 13

Pour que deux mesures complexes $\rho$ et $\sigma$ sur $T$ soient étrangères, il faut et il suffit qu’il existe dans $T$ deux ensembles $R$ et $S$ sans point commun, tels que $\rho$ soit concentrée sur $R$ et $\sigma$ sur $S$ ; $R$ et $S$ peuvent être supposés universellement mesurables.

Posons $\mu = |\rho|, v = |\sigma|, \lambda = \mu + v$ ; $\mu$ et $v$ étant majorées par $\lambda$ , il existe deux fonctions localement $\lambda$ -intégrables $u$ et $v$ (que l’on peut supposer universellement mesurables ( $§ 3, \mathrm{n}^\circ 4$ , prop. 7)) telles que $\mu = u \cdot \lambda, v = v \cdot \lambda$ . On a alors

\inf(|\rho|, |\sigma|) = \inf(\mu, v) = \inf(u, v) \cdot \lambda

(n° 2, cor. de la prop. 2). Soit A (resp. B) l’ensemble des $t \in T$ tels que $u(t) > 0$ et $v(t) = 0$ (resp. $u(t) = 0$ et $v(t) > 0$ ). Si $\rho$ et $\sigma$ sont étrangères, on a $\inf(u, v) = 0$ localement $\lambda$ -presque partout (n° 3, cor. 2 de la prop. 3), de sorte que les ensembles universellement mesurables disjoints A et B portent respectivement $\mu$ et $v$ . Inversement, supposons que $\mu$ et $v$ soient portées respectivement par des ensembles disjoints $R$ et $S$ ; $\varphi_R$ est mesurable pour la mesure $\mu = u \cdot \lambda$ , et $\mu = \varphi_R \cdot \mu$ . D’après la prop. 8 du n° 4, la fonction $u' = u \varphi_R$ est $\lambda$ -mesurable, et $\mu = u' \cdot \lambda$ . De même, si $v' = v \varphi_S$ , on a $v = v' \cdot \lambda$ ; on conclut en remarquant que $\inf(u', v') = 0$ (n° 2, cor de la prop. 2).

Corollaire 1

Pour toute mesure réelle $v$ sur $T$ , il existe deux ensembles disjoints $M, N$ portant respectivement $v^+$ et $v^-$ .

On aura soin de ne pas confondre la notion de support d’une mesure $v$ , et celle d’ensemble où $v$ est concentrée. Le support $S$ de ν est le plus petit ensemble fermé portant ν (chap. III, 2e éd., , n° 2, prop. 2 et chap. IV, § 2, n° 2, prop. 5). Mais il peut exister des parties de S, distinctes de S et portant ν. Plus précisément, on peut avoir inf(μ, ν) = 0 pour deux mesures positives μ et ν de même support (exerc. 5)

On notera aussi que l’intersection des ensembles portant ν est l’ensemble des points t ∈ T tels que |ν|({t}) > 0, et peut être vide (par exemple dans le cas de la mesure de Lebesgue); il n’y a donc pas en général de plus petit ensemble portant ν.

Corollaire 2

Soient ρ et σ deux mesures complexes étrangères, et soient ρ′ et σ′ deux mesures complexes admettant des densités par rapport à ρ et à σ respectivement; ρ′ et σ′ sont alors étrangères.

Corollaire 3

Soient ρ et σ deux mesures complexes étrangères; on a alors |ρ + σ| = |ρ| + |σ|.

Désignons en effet par v (resp. w) une fonction universellement mesurable de valeur absolue 1 telle que ρ = v . |ρ| (resp. σ = w . |σ|) (cor. 3 du th. 2), par A un ensemble universellement mesurable portant ρ, tel que B = CA porte σ (prop. 13); on a alors aussi ρ + σ = (vφ_A + wφ_B) . (|ρ| + |σ|). La fonction vφ_A + wφ_B ayant une valeur absolue égale à 1, le corollaire résulte de la prop. 2.

Théorème 3 (Lebesgue)

Toute mesure complexe θ sur T peut s’écrire d’une seule manière sous la forme θ = g . μ + θ′, où g est localement μ-intégrable, et θ′ est une mesure étrangère à μ. On a alors |θ| = |g| . μ + |θ′|.

Lorsque θ est positive, ceci résulte aussitôt du th. de F. Riesz (chap. II, § 1, n° 5, th. 1) appliqué à l’espace complètement réticulé $\mathscr{M}(T)$ des mesures réelles sur T, et à la bande engendrée par μ dans cet espace, compte tenu du n° 5, cor. 2 du th. 2; de plus, θ′ et g . μ sont alors positives, ce qui entraîne que g est positive localement μ-presque partout (cor. 3 de la prop. 3). Pour traiter le cas où θ n’est pas positive, posons ν = |θ|, ν = f . μ + ν′ (où f est positive, et où ν′ et μ sont étrangères), et θ = v . ν, où v est une fonction universellement mesurable de valeur absolue 1 (cor. 3 du th. 2). Nous avons alors (prop. 8) θ = g . μ + θ′, avec g = vf (de sorte que |g| = f) et θ′ = v . ν′ (de sorte que |θ′| = ν′ d’après la prop. 2); les mesures θ′ et μ sont étrangères d’après le cor. 2 de la prop. 12. Il reste seulement à établir l’unicité de la décomposition. Supposons donc que $\theta = g . \mu + \theta' = g_1 . \mu + \theta'_1$ , où $\theta_1$ et $\theta'_1$ sont étrangères à $\mu$ ; $|\theta' - \theta'_1|$ est majorée par $|\theta'| + |\theta'_1|$ , donc $\theta' - \theta'_1$ est étrangère à $\mu$ , et par conséquent aussi à $(g_1 - g) . \mu$ . La relation $\theta' - \theta'_1 = (g_1 - g) . \mu$ entraîne alors que les deux membres sont nuls, ce qui prouve l’unicité.

Rappelons (th. 2, Scholie) que l’espace $L^1_{loc}(T, \mu; \mathbf{C})$ peut être identifié (au moyen de l’application $\dot{g} \mapsto g . \mu$ ) à un sous-espace de $\mathscr{M}_\mathbf{C}(T)$ . Avec cette convention, le théorème 3 prend la forme suivante:

Corollaire

Il existe un projecteur* $p$ de l’espace $\mathscr{M}_\mathbf{C}(T)$ sur l’espace $L^1_{loc}(T, \mu; \mathbf{C})$ , dont le noyau $\bar{p}^1(0)$ est l’ensemble des mesures complexes étrangères à $\mu$ , tel que

|\theta| = |p(\theta)| + |\theta - p(\theta)|, \qquad p(|\theta|) = |p(\theta)|

pour toute mesure complexe

\theta

Si l’on restreint $p$ à l’ensemble des mesures bornées, on obtient un projecteur $p^1$ de l’espace $\mathscr{M}_\mathbf{C}^1(T)$ sur l’espace $L^1_\mathbf{C}(T, \mu)$ ; la relation $\| \theta \| = | \theta |(1)$ entraîne que $\| \theta \| = \| p^1(\theta) \| + \| \theta - p^1(\theta) \|$ pour toute mesure complexe bornée $\theta$ .

8. Applications: I. Dualité des espaces $L^p$

Nous ne traiterons ici que le cas des espaces $L^p$ réels.

Rappelons que deux nombres $p, q$ tels que $1 \leq p \leq +\infty$ , $1 \leq q \leq +\infty$ , $1/p + 1/q = 1$ , sont appelés des exposants conjugués (chap. IV, § 6, n° 4). Toute fonction $g \in \mathscr{L}^q$ définit une forme linéaire continue $\theta_g$ sur $L^p$ , qu’on obtient par passage au quotient à partir de la forme linéaire $f \mapsto \int fg \, d\mu$ sur $\mathscr{L}^p$ , et on a $N_q(g) = \| \theta_g \|$ (chap. IV, 2e éd., § 6, n° 4, cor. de la prop. 3). Par passage au quotient, on déduit donc de l’application $g \mapsto \theta_g$ une application linéaire isométrique $\varphi$ de $L^q$ dans le dual $(L^p)'$ de $L^p$ . Nous allons montrer que, pour $1 \leq p < +\infty$ , $\varphi$ applique $L^q$ sur $(L^p)'$ , de sorte que nous pourrons désormais identifier l’espace de Banach $L^q$ à l’espace de Banach $(L^p)'$ par l’isomorphisme $\varphi$ . En d’autres termes :

Théorème 4

Soient* $p$ et $q$ deux exposants conjugués tels que $1 \leq p < +\infty$ . Toute forme linéaire continue sur $\mathscr{L}^p(T, \mu)$ est du type $f \mapsto \int fg \, d\mu$ , où $g$ est une fonction de $\mathscr{L}^q(T, \mu)$ dont la classe dans $L^q$ *est bien déterminée.

En effet, soit $\theta$ une forme linéaire continue sur $\mathscr{L}^p$ ; il existe donc un nombre $a \geq 0$ tel que $|\theta(f)| \leq a \cdot N_p(f)$ pour toute fonction $f \in \mathscr{L}^p$ . Considérons la restriction de $\theta$ à l’espace $\mathscr{K}(T)$ des fonctions continues à support compact : pour toute partie compacte $K$ de $T$ et toute fonction $f \in \mathscr{K}(T, K)$ (espace des fonctions continues à support contenu dans $K$ ), on a $N_p(f) \leq (\mu(K))^{1/p} \|f\|$ ; donc la topologie induite sur $\mathscr{K}(T, K)$ par celle de $\mathscr{L}^p$ est moins fine que la topologie de la convergence uniforme, et la restriction de $\theta$ à chaque $\mathscr{K}(T, K)$ est par suite continue pour cette dernière topologie. Cela signifie que la restriction de $\theta$ à $\mathscr{K}(T)$ est une mesure réelle $v$ (chap. III, 2e éd., , n° 3, déf. 2)

Montrons que $|v|(|f|) \leq a \cdot N_p(f)$ pour toute fonction $f$ de $\mathscr{K}(T)$ . Il suffit de prouver cette formule pour $f \geq 0$ . Or, pour toute fonction $\psi$ de $\mathscr{K}(T)$ telle que $|\psi| \leq f$ , on a

|v(\psi)| \leq a \cdot N_p(\psi) \leq a \cdot N_p(f);

notre assertion résulte de l’expression de la valeur absolue d’une mesure donnée au chap. III, 2e éd., § 1, n° 6, formule (12). La relation

|v|(|f|) \leq a(\mu(|f|^p))^{1/p}

s’étend aussitôt au cas où

f

est la fonction caractéristique d’un compact, grâce à un passage à l’enveloppe inférieure, et entraîne alors que tout compact

\mu

-négligeable est

v

-négligeable, de sorte que

v

est une mesure de base

\mu

(n° 5, th. 2).

Il existe donc une fonction positive localement $\mu$ -intégrable $h_1$ telle que $|v|(f) = \int f h_1 \, d\mu$ pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(T)$ . Montrons que $h_1$ est localement presque partout égale à une fonction de $\mathscr{L}^q$ . Si la fonction $f \geq 0$ de $\mathscr{K}(T)$ est telle que $N_p(f) \leq 1$ , on a $\int f h_1 \, d\mu = |v|(f) \leq a$ . Pour toute application continue $f_0$ de $T$ dans $[0, 1]$ , à support compact, on a donc $\sup \int (f_0 h_1) f \, d\mu \leq a$ lorsque $f$ parcourt l’ensemble des fonctions $\geq 0$ de $\mathscr{K}(T)$ telles que $N_p(f) \leq 1$ . D’après la formule (11) du chap. IV, § 6, n° 4, on en déduit que $N_q(f_0 h_1) \leq a$ . De là résulte que $\sup_K N_q(\varphi_K h_1) \leq a$ lorsque $K$ parcourt l’ensemble des parties compactes de $T$ , et cela prouve notre assertion (§ 1, prop. 9).

Soit $v$ une fonction (réelle) de valeur absolue 1 universellement mesurable, telle que $v = v \cdot |v|$ (cor. 3 du th. 2), et soit $g = v h_1$ ; on a $v = g \cdot \mu$ , et $g$ appartient à $\mathscr{L}^q$ . On a, pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(T), \theta(f) = v(f) = \int f g \, d\mu$ . Autrement dit, les formes linéaires continues $\theta$ et $\theta_g$ coïncident dans $\mathscr{K}(T)$ ; elles sont donc égales dans $\mathscr{L}^p$ , puisque $\mathscr{K}(T)$ est partout dense dans $\mathscr{L}^p$ , et cela achève la démonstration.

Corollaire

Pour tout nombre $p$ tel que $1 < p < \infty$ , l’espace de Banach $L^p(T, \mu)$ est réflexif.

En général, le dual de $L^\infty$ n’est pas isomorphe à $L^1$ , et par suite $L^1$ et $L^\infty$ ne sont pas réflexifs (exerc. 10). Nous allons caractériser les formes linéaires continues sur $L^\infty$ qui proviennent, par passage au quotient, d’une forme linéaire $f \mapsto \int fg\, d\mu$ sur $\mathscr{L}^\infty$ , où $g \in \mathscr{L}^1$ .

L’espace vectoriel ordonné $L^\infty(T, \mu)$ , qui est un sous-espace de $L^1_{loc}(T, \mu)$ , est complètement réticulé; en effet, si $(f_\alpha)$ est une famille de fonctions positives de $\mathscr{L}^\infty$ , dont l’ensemble des classes $(\dot{f}_\alpha)$ est majoré dans $L^\infty$ , il existe $a \geq 0$ tel que $N_\infty(f_\alpha) \leq a$ pour tout $\alpha$ . Comme $L^1_{loc}(T, \mu)$ est complètement réticulé, la famille $(\dot{f}_\alpha)$ admet une borne supérieure $\dot{h}$ dans $L^1_{loc}(T, \mu)$ ; mais comme $\dot{a} \geq \dot{f}_\alpha$ pour tout $\alpha$ , on a $\dot{h} \leq \dot{a}$ , et par suite $N_\infty(h) \leq a$ , d’où notre assertion.

Proposition 14

Pour qu’une forme linéaire positive $\theta$ sur $\mathscr{L}^\infty$ soit du type $f \mapsto \int fg\, d\mu$ , où $g \in \mathscr{L}^1$ , il faut et il suffit que, pour toute famille filtrante croissante $(f_\alpha)_{\alpha \in A}$ de fonctions positives de $\mathscr{L}^\infty$ , dont l’ensemble des classes $(\dot{f}_\alpha)_{\alpha \in A}$ est majoré dans $L^\infty$ et admet $\dot{h}$ comme borne supérieure dans cet espace, on ait

\dot{\theta}(h) = \sup_{\alpha \in A} \dot{\theta}(f_\alpha).

Montrons d’abord que la condition est nécessaire. En effet, la mesure $h.\mu$ est la borne supérieure dans $\mathscr{M}(T)$ de l’ensemble des mesures $f_\alpha.\mu$ (n° 5, Scholie); donc (chap. II, § 2, n° 2), pour toute fonction $\varphi \geq 0$ de $\mathscr{K}(T)$ , on a $\int h\varphi\, d\mu = \sup_{\alpha \in A} \int f_\alpha \varphi\, d\mu$ . Si maintenant $a$ est un nombre $\geq 0$ tel que $N_\infty(f_\alpha) \leq a$ pour tout $\alpha \in A$ (ce qui entraîne $N_\infty(h) \leq a$ ), pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $\varphi \in \mathscr{K}(T)$ telle que $\varphi \geq 0$ et $N_1(g - \varphi) \leq \varepsilon$ , d’où l’on tire $\int |f_\alpha|g - \varphi|\, d\mu \leq a\varepsilon$ pour tout $\alpha \in A$ , et $\int h|g - \varphi|\, d\mu \leq a\varepsilon$ . Comme $\sup_{\alpha \in A} \int f_\alpha g\, d\mu \leq \int hg\, d\mu$ , cela prouve que les deux membres de cette inégalité sont égaux.

Pour établir que la condition est suffisante, nous utiliserons le lemme suivant :

Lemme 4

1° Soit $f$ une fonction positive semi-continue inférieurement et bornée dans T. Alors sa classe $\dot{f}$ dans $L^\infty$ est la borne supérieure de l’ensemble des classes $\varphi$ , où $\varphi$ parcourt l’ensemble des fonctions de $\mathscr{K}(T)$ telles que $0 \leq \varphi \leq f$ .

2° Soit $f$ une fonction positive mesurable et bornée dans T. Alors sa classe $\dot{f}$ dans $L^\infty$ est la borne inférieure de l’ensemble des classes $\psi$ , où $\psi$ parcourt l’ensemble des fonctions semi-continues inférieurement et bornées dans T, qui sont $\geq f$ .

1° Soit $f'$ une fonction de $\mathscr{L}^\infty$ telle que $\dot{f}'$ soit la borne supérieure dans $L^\infty$ de l’ensemble des classes $\varphi$ des fonctions $\varphi$ de $\mathscr{K}(T)$ telles que $0 \leq \varphi \leq f$ ; on a évidemment $\dot{f}' \leq \dot{f}$ . Soit U une partie ouverte relativement compacte de T; pour toute fonction $h$ de $\mathscr{K}(T)$ telle que $0 \leq h \leq f \varphi_U$ , on a, par définition, $h(t) \leq f'(t)$ localement presque partout, donc $h(t) \leq f'(t)\varphi_U(t)$ presque partout; on en conclut que $\int h\,d\mu \leq \int f'\varphi_U\,d\mu$ . Mais puisque $f\varphi_U$ est semi-continue inférieurement, $\int f\varphi_U\,d\mu = \sup \int h\,d\mu$ , où $h$ parcourt l’ensemble des fonctions de $\mathscr{K}(T)$ telles que $0 \leq h \leq f\varphi_U$ (chap. IV, § 1, n° 1, déf. 1); on a donc

\int f\varphi_U\,d\mu \leq \int f'\varphi_U\,d\mu,

et comme $f'\varphi_U \leq f\varphi_U$ presque partout, on a nécessairement $f\varphi_U = f'\varphi_U$ presque partout, d’où $f = f'$ localement presque partout.

2° Soit $f'$ une fonction de $\mathscr{L}^\infty$ telle que $\dot{f}'$ soit la borne inférieure dans $L^\infty$ de l’ensemble des classes $\psi$ des fonctions $\psi$ semi-continues inférieurement, bornées et $\geq f$ ; on a $\dot{f}' \geq \dot{f}$ . Soit K une partie compacte de T; pour toute fonction $h$ , semi-continue inférieurement, bornée et majorant $f\varphi_K$ , soit $\bar{h}$ la fonction égale à $h$ dans K, à $\|f\| + \|h\|$ dans $T - K$ . Alors $\bar{h}$ est semi-continue inférieurement et $\geq f$ , donc par définition $\bar{h}(t) \geq f'(t)$ localement presque partout; on en conclut que $h(t) \geq f'(t)\varphi_K(t)$ presque partout, d’où $\int h\,d\mu \geq \int f'\varphi_K\,d\mu$ . Mais $\int f\varphi_K\,d\mu = \inf \int h\,d\mu$ , où $h$ parcourt l’ensemble des fonctions semi-continues inférieurement, bornées et majorant $f\varphi_K$ (chap. IV, § 1, n° 3, déf. 3); on a donc

\int f\varphi_K\,d\mu \geq \int f'\varphi_K\,d\mu,

et comme $f\varphi_K \leq f'\varphi_K$ presque partout, on a nécessairement $f\varphi_K = f'\varphi_K$ presque partout, d’où $f = f'$ localement presque partout.

Ce lemme étant démontré, soit $\theta$ une forme linéaire positive sur $\mathscr{L}^\infty$ satisfaisant à la condition de l’énoncé de la prop. 14. La restriction de $\theta$ à l’espace $\mathscr{K}(T)$ est une mesure positive $\nu$ sur T. Nous allons montrer que, pour toute fonction positive $f \in \mathscr{L}^\infty(T, \mu)$ , on a $\theta(f) = \nu^*(f)$ . Supposons d’abord que $f$ soit semi-continue inférieurement (et bornée); d’après le lemme 4, $f$ est la borne supérieure de l’ensemble filtrant croissant des classes $\varphi$ , où $\varphi$ parcourt l’ensemble filtrant $\Phi$ des fonctions de $\mathscr{K}(T)$ telles que $0 \leq \varphi \leq f$ . Comme par hypothèse $\theta(f) = \sup_{\varphi \in \Phi} \theta(\varphi)$ , et que $\nu^*(f) = \sup_{\varphi \in \Phi} \nu(\varphi)$ par définition, notre assertion est démontrée dans ce cas. Supposons en second lieu que $f$ soit $\mu$ -mesurable et bornée; on a alors, par définition, $\nu^*(f) = \inf_{\psi \in \Psi} \nu^*(\psi)$ , où $\psi$ parcourt l’ensemble filtrant décroissant $\Psi$ des fonctions semi-continues inférieurement, bornées et $\geq f$ . Si $a \geq \|f\|$ , en appliquant l’hypothèse de l’énoncé à l’ensemble filtrant croissant des classes des fonctions $a - \psi$ , où $\psi \in \Psi$ et $\psi \leq a$ , on voit, en vertu du lemme, que l’on a $\theta(f) = \inf_{\psi \in \Psi} \theta(\psi)$ , et on a donc bien $\theta(f) = \nu^*(f)$ . En particulier, pour toute fonction $\mu$ -négligeable $f \geq 0$ , on a $\theta(f) = 0$ , donc $\nu^*(f) = 0$ , et par suite (n° 5, th. 2) $\nu$ est une mesure de base $\mu$ ; en outre, $\nu^*(1) = \theta(1) < +\infty$ , et par suite (cor. du th. 1) $\nu = g \cdot \mu$ , où $g \in \mathscr{L}^1(T, \mu)$ . Enfin, toute fonction $\mu$ -mesurable étant $\nu$ -mesurable, toute fonction positive $f \in \mathscr{L}^\infty(T, \mu)$ est $\nu$ -intégrable, et on a $\int fg \, d\mu = \nu^*(f) = \theta(f)$ , ce qui achève la démonstration.

On conclut de la prop. 14 que les formes linéaires sur $\mathscr{L}^\infty$ du type $f \mapsto \int fg \, d\mu$ , où $g \in \mathscr{L}^1$ , sont les différences $\theta_1 - \theta_2$ , où $\theta_1$ et $\theta_2$ sont des formes linéaires positives satisfaisant à la condition de la prop. 14.

9. Applications: II. Fonctions de mesures

Soient $\mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_n$ des mesures réelles sur T, et $u(x_1, \ldots, x_n)$ une fonction numérique finie, définie dans $\mathbf{R}^n$ , et positivement homogène (c’est-à-dire (chap. I, § 1, n° 1) telle que

u(\alpha x_1, \ldots, \alpha x_n) = \alpha u(x_1, \ldots, x_n)

pour tout scalaire $\alpha \geq 0$ . Il existe des mesures positives $\lambda$ sur T telles que $|\mu_i| \leq \lambda$ pour $1 \leq i \leq n$ (par exemple la somme

\sum_{i=1}^{n} |\mu_i|). \text{ Soient } \lambda, \lambda' \text{ deux telles mesures sur T. On peut écrire } \mu_i = f_i \cdot \lambda = f'_i \cdot \lambda', \text{ où } f_i \text{ (resp. } f'_i) \text{ est mesurable et essentiellement bornée pour la mesure } \lambda \text{ (resp. } \lambda') \text{ (n° 5, th. 2). Nous allons établir le résultat suivant: pour que la fonction numérique } u(f_1, \ldots, f_n) \text{ soit localement intégrable pour } \lambda, \text{ il faut et il suffit que la fonction } u(f'_1, \ldots, f'_n) \text{ soit localement intégrable pour } \lambda', \text{ et on a alors}

u(f_1, \ldots, f_n) \cdot \lambda = u(f'_1, \ldots, f'_n) \cdot \lambda'.

Comme on a

|\mu_i| \leq \inf(\lambda, \lambda')

, on peut se borner au cas où

\lambda \leq \lambda'

. On a alors

\lambda = g \cdot \lambda'

, où

g

est une fonction

\lambda'

-mesurable telle que

0 \leq g \leq 1

(n° 5, th. 2); d’où (n° 4, prop. 8)

\mu_i = f_i \cdot (g \cdot \lambda') = (f_i g) \cdot \lambda';

on en conclut (n° 3, cor. 2 de la prop. 3) que

f_i g

est égale à

f'_i

localement presque partout pour

\lambda'

. Par suite, on a, d’après (12),

u(f'_1, \ldots, f'_n) = u(f_1 g, \ldots, f_n g) = u(f_1, \ldots, f_n) g

localement presque partout pour

\lambda'

. Pour que

u(f'_1, \ldots, f'_n)

soit localement

\lambda'

-intégrable, il faut et il suffit par conséquent que

u(f_1, \ldots, f_n) g

soit localement intégrable pour

\lambda'

, donc (n° 4, prop. 8) que

u(f_1, \ldots, f_n)

soit localement intégrable pour

\lambda

; et l’on a (n° 4, prop. 8)

u(f'_1, \ldots, f'_n) \cdot \lambda' = (u(f_1, \ldots, f_n) g) \cdot \lambda' = u(f_1, \ldots, f_n) \cdot \lambda.

La mesure

u(f_1, \ldots, f_n) \cdot \lambda

ne dépend donc que des mesures

\mu_1, \ldots, \mu_n

et de la fonction

u

; aussi la note-t-on

u(\mu_1, \ldots, \mu_n)

. Cette mesure est par suite définie lorsque

u

est une fonction positivement homogène telle que, pour une mesure positive

\lambda

majorant toutes les

|\mu_i|

u(f_1, \ldots, f_n)

soit localement

\lambda

-intégrable, en désignant par

f_i

la densité de

\mu_i

par rapport à

\lambda

. On notera que cette condition est remplie lorsque

u

est positivement homogène et continue: on a en effet alors

|u(x_1, \ldots, x_n)| \leq a(|x_1| + |x_2| + \ldots + |x_n|)

(u

étant bornée dans un voisinage assez petit de

(0, \ldots, 0))

, et comme

u(f_1, \ldots, f_n)

est

\lambda

-mesurable (chap. IV, § 5, n° 3, th. 1), elle est localement

\lambda

-intégrable en vertu du critère d’intégrabilité (chap. IV, § 5, n° 6, th. 5).

Soient $u_1, \ldots, u_p$ des fonctions numériques positivement homogènes définies dans $\mathbf{R}^n$ , et telles que les $p$ fonctions $g_k = u_k(f_1, \ldots, f_n)$ ( $1 \leq k \leq p$ ) soient localement $\lambda$ -intégrables. Soit $v$ une fonction numérique positivement homogène définie dans $\mathbf{R}^p$ , et telle que $v(g_1, \ldots, g_p)$ soit localement $\lambda$ -intégrable. Posons

w(x_1, \ldots, x_n) = v(u_1(x_1, \ldots, x_n), \ldots, u_p(x_1, \ldots, x_n)).

Alors la fonction $w$ est positivement homogène, $w(f_1, \ldots, f_n)$ est localement $\lambda$ -intégrable, et on a par définition

w(\mu_1, \ldots, \mu_n) = v(u_1(\mu_1, \ldots, \mu_n), \ldots, u_p(\mu_1, \ldots; \mu_n)).

Dans le cas particulier des fonctions $x^+, x^-, |x|, x + y, \inf(x, y), \sup(x, y)$ , les mesures définies par le procédé qui vient d’être décrit coïncident respectivement avec celles qui ont été notées $\mu^+, \mu^-, |\mu|, \mu + \nu, \inf(\mu, \nu), \sup(\mu, \nu)$ ; cela résulte aussitôt du cor. de la prop. 2 du n° 2. Si $\mu$ et $\nu$ sont deux mesures réelles, et $\theta = \mu + i \nu$ , on a $|\theta| = \sqrt{\mu^2 + \nu^2}$ ; en effet, soient $\lambda$ une mesure $\geqslant 0$ majorant $|\mu|$ et $|\nu|$ , et $f, g$ des fonctions localement $\lambda$ -intégrables telles que $\mu = f \cdot \lambda, \nu = g \cdot \lambda$ ; on a

\sqrt{\mu^2 + \nu^2} = \sqrt{f^2 + g^2} \cdot \lambda,

\theta = (f + ig) \cdot \lambda

, donc (n° 2, prop. 2)

|\theta| = \sqrt{f^2 + g^2} \cdot \lambda

On peut appliquer cette méthode à la fonction positivement homogène $(x_1^2 + \ldots + x_n^2)^{1/2}$ , pour définir la longueur d’une courbe dans $\mathbf{R}^n$ .

10. Mesures diffuses; mesures atomiques

Définition 5

On dit qu’une mesure $\theta$ sur $T$ est diffuse si, pour tout $t \in T$ , on a $|\theta|(\{t\}) = 0$ .

Exemple

La mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}$ est diffuse (chap. IV, § 1, n° 3, Remarque 1).

Dire que $\theta$ est une mesure diffuse sur $T$ revient à dire que tout ensemble de complémentaire fini porte $|\theta|$ , ou encore que $|\theta|$ est étrangère à toute mesure ponctuelle. Les mesures réelles diffuses forment donc une bande dans $\mathscr{M}(T)$ (chap. II, § 1, n° 5, th. 1).

Rappelons (chap. III, 2e éd., § 1, n° 3) qu’une mesure complexe $\rho$ sur $T$ est dite atomique si elle est de la forme $\sum_{t \in T} \alpha(t) \varepsilon_t$ , où $\alpha$ est une fonction complexe sur $T$ , telle que $\sum_{t \in K} |\alpha(t)| < +\infty$ pour tout compact K de T, ce qui exprime que la famille $(\alpha(t)\varepsilon_t)_{t\in T}$ est sommable (§ 2, n° 1, remarque 2). Il résulte alors de la remarque suivant le cor. 3 du th. 2 du n° 5 que $|\rho| = \sum_{t\in T} |\alpha(t)|\varepsilon_t$ . La fonction $\alpha$ qui intervient dans ces formules est uniquement déterminée, car $\alpha(t) = \rho(\{t\})$ . Une mesure atomique et une mesure diffuse sont étrangères.

Proposition 15

Toute mesure complexe $\sigma$ sur $T$ peut s’écrire d’une seule manière sous la forme $\rho + \theta$ , où $\rho$ est une mesure atomique, $\theta$ une mesure diffuse ; on a alors $|\sigma| = |\rho| + |\theta|$ *.

L’unicité de la décomposition est évidente, car $\rho$ étant atomique, et $\theta$ diffuse, on doit avoir $\rho = \sum_{t\in T} \rho(\{t\})\varepsilon_t = \sum_{t\in T} \sigma(\{t\})\varepsilon_t$ , et $\theta = \sigma - \rho$ . Pour établir l’existence, il suffit de remarquer que $\sum_{t\in K} |\sigma(\{t\})| \leq |\sigma|(K) < +\infty$ pour tout compact K, de sorte que l’on peut poser $\sum_{t\in T} \sigma(\{t\})\varepsilon_t = \rho$ . La mesure $\sigma - \rho$ est évidemment diffuse, et la relation $|\sigma| = |\rho| + |\sigma - \rho|$ résulte aussitôt du cor. 3 de la prop. 13 du n° 8.

On notera que cette démonstration prouve que si $\sigma$ est portée par un ensemble M et si $|\sigma|(\{t\}) > 0$ pour tout $t \in M$ , $\sigma$ est atomique.

Exercices

See the exercises for § 5.