§ 6. Images d'une mesure

§ 6. — Images d’une mesure

1. Image d’une mesure positive

Soient X un espace localement compact, $\pi$ une application $\mu$ -mesurable de T dans X. Dire que le couple $(\pi, 1)$ est $\mu$ -adapté (§ 4, n° 1) équivaut à dire que pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(X)$ la fonction $f \circ \pi$ est essentiellement $\mu$ -intégrable.

Proposition 1

Soit $\pi$ une application $\mu$ -mesurable de T dans un espace localement compact X. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

a) pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(X)$ , $f \circ \pi$ est essentiellement $\mu$ -intégrable ;

b) pour tout ensemble compact $K \subset X$ , $\pi^{-1}(K)$ est essentiellement $\mu$ -intégrable.

Nous venons de remarquer que a) entraîne que le couple $(\pi, 1)$ est $\mu$ -adapté. Par suite (§ 4, n° 4, th. 2), pour tout ensemble compact $K \subset X$ , la fonction $\varphi_K \circ \pi = \varphi_A$ , où $A = \pi^{-1}(K)$ , est essentiellement $\mu$ -intégrable, autrement dit, a) entraîne b).

Inversement, supposons que $\pi^{-1}(K)$ soit essentiellement $\mu$ -intégrable pour toute partie compacte K de X, et montrons que a) est vérifiée. Soit en effet S le support de $f$ ; comme S est compact, on a, par hypothèse, en posant $A = \pi^{-1}(S)$

\int |f(\pi(t))| d\mu(t) \leq \|f\| \int \varphi_S(\pi(t)) d\mu(t) = \|f\| \int \varphi_A(t) d\mu(t) < +\infty.

Comme $f \circ \pi$ est $\mu$ -mesurable (chap. IV, § 5, n° 3, th. 1), on voit que $f \circ \pi$ est essentiellement $\mu$ -intégrable ( $§ 1, n° 3,$ prop. 9).

La propriété b) est évidemment équivalente à la propriété suivante (qui équivaut donc aussi à a)): c) Pour tout point x de X, il existe un voisinage V de X tel que $\pi^{-1}(V)$ soit essentiellement $\mu$ -intégrable.

Définition 1

Soit $\mu$ une mesure positive sur un espace localement compact T. On dit qu’une application $\pi$ de T dans un espace localement compact X est $\mu$ -propre (ou propre pour la mesure $\mu$ ) si le couple $(\pi, 1)$ est $\mu$ -adapté, c’est-à-dire ( $§ 4, n° 1$ ) si $\pi$ est $\mu$ -mesurable et satisfait aux conditions (équivalentes) de la prop. 1. La mesure $\int \varepsilon_{\pi(t)} d\mu(t)$ sur X s’appelle alors l’image de $\mu$ par $\pi$ et se note $\pi(\mu)$ .

Si $v = \pi(\mu)$ , on a donc, par définition, pour $f \in \mathscr{K}(X)$

\int f(x) dv(x) = \int f(\pi(t)) d\mu(t).

Remarque 1

Si $\mu$ est bornée (et en particulier si $\mu$ a un support compact), toute application $\mu$ -mesurable de T dans X est $\mu$ -propre (chap. IV, § 5, n° 3, th. 1 et n° 6, th. 5).

Remarque 2

Si $\pi$ est $\mu$ -mesurable et si, pour toute partie compacte K de X, $\pi^{-1}(K)$ est relativement compact, $\pi$ est $\mu$ -propre (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 5, prop. 7, et n° 6, th. 5); en particulier, toute application continue propre de T dans X (Top. gén., chap. I, 4e éd., § 10, n° 2, th. 1) est $\mu$ -propre pour toute mesure positive $\mu$ sur T. Plus particulièrement, il en est ainsi de tout homéomorphisme $\pi$ de T sur X; la mesure $v = \pi(\mu)$ n’est autre alors que la mesure sur X transportée de $\mu$ par $\pi$ (chap. III, 2e éd., § 1, n° 3).

Remarque 3

Supposons que la topologie de X admette une base dénombrable; alors toute application $\pi$ de T dans X qui vérifie la condition b) de la prop. 1 est $\mu$ -mesurable, et par suite $\mu$ -propre. Il suffit d’appliquer le th. 4 du chap. IV, , n° 5, en remarquant que X est alors métrisable (Top. gén., Chap. IX, 2e éd., § 2, n° 9, cor. de la prop. 16) et que, pour une distance quelconque compatible avec la topologie de X, toute boule fermée est réunion dénombrable d’ensembles compacts

2. Intégration par rapport à l’image d’une mesure positive

Soit $\pi$ une application $\mu$ -propre de T dans X, et soit $\nu = \pi(\mu)$ . En appliquant les résultats du § 4, on obtient les énoncés suivants :

Proposition 2

Pour toute fonction numérique $f \geqslant 0$ définie dans X, on a

\int^\ast f(x)\, d\nu(x) = \int^\ast f(\pi(t))\, d\mu(t).

(2)

Cela résulte du th. 1 du § 4, n° 2.

Corollaire 1

Pour toute partie A de X, on a

\nu^\ast(A) = \mu^\ast(\overline{\pi^{-1}(A)}).

Corollaire 2

Pour qu’une partie A de X soit localement négligeable pour $\nu$ , il faut et il suffit que $\overline{\pi^{-1}(A)}$ soit localement négligeable pour $\mu$ .

Corollaire 3

Si la mesure $\mu$ est concentrée sur un ensemble M, $\pi(\mu)$ est concentrée sur $\pi(M)$ . En effet, si $N = X - \pi(M)$ , $\overline{\pi^{-1}(N)}$ ne rencontre pas M, donc est localement $\mu$ -négligeable, et par suite (cor. 2) N est localement $\nu$ -négligeable.

Corollaire 4

Soit S le support de $\mu$ . Si $\pi$ est continue, le support de $\pi(\mu)$ est $\overline{\pi(S)}$ . En effet, il résulte du cor. 3 que $\pi(\mu)$ est concentrée sur $\pi(S)$ , donc, si $S'$ est le support de $\pi(\mu)$ , on a $S' \subset \overline{\pi(S)}$ . D’autre part, $\overline{\pi}^{-1}(X - S')$ est un ensemble ouvert localement $\mu$ -négligeable (cor. 2), donc $\mu$ -négligeable (chap. IV, § 5, n° 2, cor. 2 de la prop. 5).

On a donc $\overline{\pi}^{-1}(X - S') \subset T - S$ et par suite $\pi(S) \subset S'$ , ce qui démontre le corollaire.

Proposition 3

Pour qu’une application $f$ de $X$ dans un espace topologique $G$ soit $\nu$ -mesurable, il faut et il suffit que $f \circ \pi$ soit $\mu$ -mesurable.

C’est une conséquence immédiate de la prop. 3 du § 4, n° 3.

Corollaire

Pour qu’une partie $A$ de $X$ soit $\nu$ -mesurable, il faut et il suffit que $\overline{\pi}^{-1}(A)$ soit $\mu$ -mesurable.

Par contre, l’image par $\pi$ d’une partie $\mu$ -mesurable $M$ de $T$ n’est pas nécessairement $\nu$ -mesurable, même si $\pi$ est continue et $M$ $\mu$ -négligeable (exerc. 7 et § 8, exerc. 1).

Théorème 1

Soit $f$ une fonction définie dans $X$ , à valeurs dans $\bar{\mathbf{R}}$ ou dans un espace de Banach $F$ . Pour que $f$ soit essentiellement $\nu$ -intégrable, il faut et il suffit que $f \circ \pi$ soit essentiellement $\mu$ -intégrable, et l’on a alors

\int f(x)\ dv(x) = \int f(\pi(t))\ d\mu(t).

Supposons en outre que $\pi$ soit continue et propre. Pour que $f$ soit $\nu$ -intégrable, il faut et il suffit alors que $f \circ \pi$ soit $\mu$ -intégrable.

Il suffit d’appliquer le th. 2 du § 4, n° 4.

Corollaire

Pour qu’une partie $A$ de $X$ soit essentiellement $\nu$ -intégrable, il faut et il suffit que $\overline{\pi}^{-1}(A)$ soit essentiellement $\mu$ -intégrable, et on a alors $\nu(A) = \mu(\overline{\pi}^{-1}(A))$ .

En particulier, pour tout ensemble compact $K \subset X$ , on a $\nu(K) = \mu(\overline{\pi}^{-1}(K))$ . Il résulte de là et du cor. 3 de la prop. 2 que, si $\mu$ est atomique ( $§ 5$ , n° 10), il en est de même de $\pi(\mu) = \nu$ . En effet, soit $M$ l’ensemble des $t \in T$ tels que $\mu(\{t\}) \neq 0$ ; comme $\mu$ est portée par $M$ , $\nu$ est portée par $\pi(M)$ ; en outre, pour tout $x \in \pi(M)$ , on a $\nu(\{x\}) = \mu(\overline{\pi}^{-1}(x)) > 0$ , puisque $\overline{\pi}^{-1}(x)$ contient au moins un point de $M$ . Donc $\nu$ est atomique ( $§ 5$ , n° 10, prop. 15).

3. Propriétés de l’image d’une mesure positive

Proposition 4

Soient T, T', T'' trois espaces localement compacts, μ une mesure positive sur T, π une application μ-mesurable de T dans T', π' une application de T' dans T'', et π'' = π' ∘ π.

a) Supposons que π soit μ-propre et soit μ' = π(μ). Pour que π' soit μ'-propre, il faut et il suffit que π'' soit μ-propre, et on a alors π''(μ) = π'(π(μ)) (« transivité de l’image d’une mesure »).

b) Supposons que π' soit continue, et que π'' soit μ-propre ; π est alors μ-propre, π' est π(μ)-propre, et on a π''(μ) = π'(π(μ)).

Sous les hypothèses de a), pour que π'' soit μ-mesurable, il faut et il suffit que π' soit μ'-mesurable (n° 2, prop. 3). D’autre part, si K est une partie compacte de T'', on a ${\pi''}^{-1}(K) = {\pi'}^{-1}(\pi'(K))$ ; pour que ${\pi''}^{-1}(K)$ soit essentiellement μ-intégrable, il faut et il suffit que ${\pi'}^{-1}(K)$ soit essentiellement μ'-intégrable, en vertu du cor. du th. 1. Enfin, si π'' est μ-propre, en posant $\mu'' = \pi''(\mu)$ , on a, pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(T'')$ ,

\int f(t'')\,d\mu''(t'') = \int f(\pi''(t))\,d\mu(t)

= \int f(\pi'(\pi(t)))\,d\mu(t) = \int f(\pi'(t'))\,d\mu'(t')

en vertu du th. 1 du n° 2, ce qui achève la démonstration de a).

Sous les hypothèses de b), soit K' une partie compacte de T'. Alors $K'' = \pi'(K')$ est compact, donc ${\pi''}^{-1}(K'')$ est essentiellement μ-intégrable, donc ${\pi'}^{-1}(K') \subset {\pi''}^{-1}(K'')$ est essentiellement μ-intégrable (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 5, prop. 7), de sorte que π est μ-propre. On achève alors en appliquant la partie a) de l’énoncé.

Corollaire

Soient T et T' deux espaces localement compacts, μ une mesure positive sur T, π une application bijective de T sur T', ${\pi'}^{-1}$ l’application réciproque. Supposons que π soit μ-propre, et soit $\mu' = \pi(\mu)$ . Alors ${\pi'}^{-1}$ est μ'-propre et on a ${\pi'}^{-1}(\pi(\mu)) = \mu$ .

Proposition 5

Soient T et X deux espaces localement compacts, μ une mesure positive sur T, π une application μ-propre de T dans X, g une fonction numérique finie et $\geq 0$ , définie dans X et telle que $g \circ \pi$ soit localement intégrable pour μ. Pour que g soit localement intégrable pour $\pi(\mu)$ , il faut et il suffit que π soit propre pour la mesure $(g \circ \pi) . \mu$ , et on a alors

\pi((g \circ \pi) . \mu) = g . \pi(\mu).

Posons $\nu = \pi(\mu)$ . Pour que $g$ soit localement $\nu$ -intégrable, il faut et il suffit que $gf$ soit $\nu$ -intégrable pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(X)$ ; comme $gf$ a un support compact, il revient au même de dire que $gf$ est essentiellement $\nu$ -intégrable, et cela équivaut à dire que $(g \circ \pi)(f \circ \pi)$ est essentiellement $\mu$ -intégrable (th. 1). Mais en vertu du th. 1 du , n° 3, cela signifie que $f \circ \pi$ est essentiellement intégrable pour $\rho = (g \circ \pi) \cdot \mu$ , et, par définition, cela veut dire que $\pi$ est $\rho$ -propre (puisque $\pi$ est évidemment $\rho$ -mesurable). En outre, on a

\int fg\, d\nu = \int f(\pi(t))g(\pi(t))\, d\mu(t) = \int f(\pi(t))\, d\rho(t)

(n° 2, th. 1 et § 5, th. 1), ce qui prouve la relation (4).

Proposition 6

Soient $T$ et $X$ deux espaces localement compacts, $(\lambda_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille de mesures positives sur $T$ , filtrante pour la relation $\leqslant$ , admettant dans $\mathscr{M}(T)$ une borne supérieure $\mu$ . Pour qu’une application de $T$ dans $X$ soit $\mu$ -propre, il faut et il suffit qu’elle soit $\lambda_\alpha$ -propre pour tout $\alpha \in A$ , et que la famille $(\pi(\lambda_\alpha))_{\alpha \in A}$ soit majorée dans $\mathscr{M}(X)$ . Dans ce cas, on a

(5)

\pi(\mu) = \sup_\alpha \pi(\lambda_\alpha).

Pour que $\pi$ soit $\mu$ -mesurable, il faut et il suffit que $\pi$ soit $\lambda_\alpha$ -mesurable pour tout $\alpha \in A$ (§1, n° 4, cor. 2 de la prop. 11). Supposons cette condition satisfaite; dire que $\pi$ est $\mu$ -propre équivaut alors à dire qu’on a, pour toute fonction $f \in \mathscr{K}_+(T)$ ,

\mu^*(f \circ \pi) < +\infty.

Or on a

\int^\ast (f \circ \pi)\, d\mu = \sup_\alpha \int^\ast (f \circ \pi)\, d\lambda_\alpha = \sup_\alpha \int^\ast f\, d(\pi(\lambda_\alpha))

(§ 1, n° 4, prop. 11); le premier membre est donc fini pour toute $f \in \mathscr{K}_+(T)$ si et seulement si la famille $(\pi(\lambda_\alpha))$ admet une borne supérieure $\theta$ dans $\mathscr{M}(X)$ , et on a alors $\int (f \circ \pi)\, d\mu = \int f\, d\theta$ , relation équivalente à (5).

Corollaire 1

Soit $(\mu_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille sommable de mesures positives sur $T$ , telle que $\mu = \sum_{\alpha \in A} \mu_\alpha$ ; pour qu’une application $\pi$ de $T$ dans un espace localement compact $X$ soit $\mu$ -propre, il faut et il suffit qu’elle soit $\mu_\alpha$ -propre pour tout $\alpha \in A$ , et que la famille

$(\pi(\mu_\alpha))_{\alpha \in \Lambda}$ soit sommable. On a dans ce cas

(6)

\pi(\mu) = \sum_{\alpha \in \Lambda} \pi(\mu_\alpha).

Corollaire 2

Soient $T$ et $X$ deux espaces localement compacts, $(\lambda_i)_{1 \leq i \leq n}$ une suite finie de mesures positives sur $T$ , et soit $\mu = \sum_{i=1}^n \lambda_i$ . Pour qu’une application $\pi$ de $T$ dans $X$ soit $\mu$ -propre, il faut et il suffit qu’elle soit $\lambda_i$ -propre pour chaque indice $i$ , et on a alors

\sum_{i=1}^n \pi(\lambda_i) = \pi\left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \right).

4. Image d’une mesure complexe

Soit $\theta$ une mesure complexe sur $T$ , et soit $\pi$ une application de $T$ dans un espace localement compact $X$ : supposons que $\pi$ soit $\theta$ -mesurable, et que pour chaque $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ , $f \circ \pi$ soit essentiellement $\theta$ -intégrable. Comme il est équivalent de dire qu’une fonction est mesurable (resp. essentiellement intégrable) par rapport à $\theta$ ou par rapport à $|\theta|$ , cela signifie que $\pi$ est $|\theta|$ -propre. Si $f \in \mathscr{K}(X; \mathbf{C})$ , on a

(7)

\left| \int (f \circ \pi) \, d\theta \right| \leq \int (|f| \circ \pi) \, d|\theta|;

il en résulte aussitôt que la forme linéaire

f \mapsto \int (f \circ \pi) \, d\theta

sur

\mathscr{K}(X; \mathbf{C})

est une mesure complexe sur

X

(chap. III, 2e éd., § 1, no 3, prop. 6), et on peut poser la définition suivante:

Définition 2

Soit $\theta$ une mesure complexe sur un espace localement compact $T$ . On dit qu’une application $\pi$ de $T$ dans un espace localement compact $X$ est $\theta$ -propre si elle est $|\theta|$ -propre. La mesure $f \mapsto \int (f \circ \pi) \, d\theta$ s’appelle alors l’image de $\theta$ par $\pi$ et se note $\pi(\theta)$ .

La relation (7) se met alors sous la forme:

(8)

|\pi(\theta)| \leq \pi(|\theta|).

La mesure $\pi(\theta)$ peut être nulle sans que $\theta$ le soit, comme on le voit immédiatement en prenant pour $T$ un espace réduit à deux points $a, b$ , pour $\theta$ la mesure $\varepsilon_a - \varepsilon_b$ , pour $\pi$ une application constante.

Soient $\theta$ et $\theta'$ deux mesures complexes sur $T$ ; si $\pi$ est $\theta$ -propre et $\theta'$ -propre, il résulte du cor. 2 de la prop. 6 que $\pi$ est $(\theta + \theta')$ -propre, car on a $|\theta + \theta'| \leq |\theta| + |\theta'|$ , et on a évidemment $\pi(\theta + \theta') = \pi(\theta) + \pi(\theta')$ .

En particulier, si $\theta$ est une mesure réelle, et si $\pi$ est $\theta$ -propre, on a

\pi(\theta) = \pi(\theta^+) - \pi(\theta)^-.

Plusieurs résultats établis plus haut s’étendent aussitôt aux mesures complexes; nous citerons les plus importants.

Proposition 7

Soient $\theta$ une mesure complexe sur $T$ , $\pi$ une application $\theta$ -propre de $T$ dans un espace localement compact $X$ , $\nu$ la mesure image $\pi(\theta)$ .

a) Soit $A$ une partie de $X$ ; si $\overline{\pi}^1(A)$ est localement $\theta$ -négligeable, $A$ est localement $\nu$ -négligeable.

b) Soit $f$ une application de $X$ dans un espace topologique; si $f \circ \pi$ est $\theta$ -mesurable, $f$ est $\nu$ -mesurable.

c) Soit $f$ une fonction définie dans $X$ , à valeurs dans un espace de Banach $F$ ; si $f \circ \pi$ est essentiellement $\theta$ -intégrable, $f$ est essentiellement $\nu$ -intégrable et on a

\int f(\pi(t))\ d\theta(t) = \int f(x)\ d\nu(x).

Compte tenu de la formule (8), ces résultats se déduisent du cor. 2 de la prop. 2, de la prop. 3, et du th. 1 du n° 2.

5. Application: changement de variable dans l’intégrale de Lebesgue

Soient $I$ un intervalle (borné ou non) de $\mathbf{R}$ , $a$ son origine, $b$ son extrémité dans $\bar{R}$ , $\mu$ la mesure de Lebesgue dans $I$ . Pour toute fonction $\mu$ -intégrable $f$ et tout intervalle $H \subset I$ , d’origine $\alpha$ et d’extrémité $\beta$ , nous écrirons $\int_{\alpha}^{\beta} f(t)\ dt$ au lieu de $\int_H f(t)\ dt = \int_H f\ d\mu$ , et nous poserons $\int_{\beta}^{\alpha} f(t)\ dt = - \int_{\alpha}^{\beta} f(t)\ dt$ ; la signification ainsi donnée à ces symboles coïncide avec celle qui leur a été attribuée dans Fonct. var. réelle, chap. II, §§ 1 et 2, lorsque $f$ est une fonction réglée à support compact (chap. IV, § 4, n° 4, Exemple).

Soient $g$ une fonction numérique définie dans $I$ et localement $\mu$ -intégrable, $x_0$ un point de $I$ ; pour tout $x \in I$ , posons

G(x) = c + \int_{x_0}^{x} g(t)\, dt \tag{11}

(c constante).

La fonction numérique $G$ est continue dans $I$ ; cela résulte aussitôt du th. de Lebesgue (chap. IV, § 4, n° 3, cor. 1 du th. 2), car le produit de $g$ et de la fonction caractéristique de l’intervalle d’extrémités $x$ et $x + h$ tend vers une fonction négligeable lorsque $h$ tend vers 0. Donc $G(I)$ est un intervalle de $\mathbf{R}$ . Dans tout ce n°, on considérera $G$ comme une application de $I$ sur l’espace localement compact $G(I)$ . On désignera par $\lambda$ la mesure $g . \mu$ sur $I$ .

Supposons d’abord que $g$ soit $\mu$ -intégrable. Alors, le même raisonnement que ci-dessus montre que les limites $G(a+)$ et $G(b-)$ existent et sont finies; en outre, la mesure $|\lambda|$ est bornée ( $§ 5$ , n° 3, cor. du th. 1), et l’application $G$ de $I$ dans $G(I)$ est $\lambda$ -propre.

Proposition 8

Supposons* $g$ $\mu$ -intégrable. Si $J$ désigne l’intervalle ouvert de $\mathbf{R}$ d’extrémités $G(a+)$ et $G(b-)$ , l’image par $G$ de la mesure $g . \mu$ est la mesure $\varphi_J . \nu$ si $G(a+) \leq G(b-)$ et la mesure $-\varphi_J . \nu$ si $G(a+) \geq G(b-)$ ( $\nu$ désignant la mesure de Lebesgue sur $G(I)$ ).

Il suffit de prouver que, pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(G(I))$ , on a

\int_{G(a+)}^{G(b-)} f(\xi)\, d\xi = \int_a^b f(G(t))g(t)\, dt. \tag{12}

Or, cette formule a déjà été démontrée lorsque $g \in \mathscr{K}(I)$ (Fonct. var. réelle, chap. II, § 2, n° 1, formule (1)). Passons au cas général; il existe une suite $(g_n)$ de fonctions de $\mathscr{K}(I)$ telle que: 1° la suite $(g_n(t))$ tende vers $g(t)$ presque partout dans $I$ ; 2° il existe une fonction $\mu$ -intégrable $h \geq 0$ telle que $|g_n| \leq h$ pour tout $n$ (chap. IV, § 3, n° 4, th. 3). Il résulte aussitôt du th. de Lebesgue que, si on pose $G_n(x) = c + \int_{x_0}^x g_n(t)\, dt$ , la suite $(G_n)$ converge uniformément vers $G$ dans $I$ , et que les nombres $G_n(a+)$ et $G_n(b-)$ tendent respectivement vers $G(a+)$ et $G(b-)$ . Soit $f'$ une fonction de $\mathscr{K}(\mathbf{R})$ prolongeant $f$ ; ce qui précède prouve que $f'(G_n(t))$ tend vers $f'(G(t)) = f(G(t))$ pour tout $t \in I$ ; appliquant le th. de

Lebesgue, on voit que la formule (12) résulte de la formule

\int_{G_n(a+)}^{G_n(b-)} f'(\xi)\, d\xi = \int_a^b f'(G_n(t))g_n(t)\, dt

par passage à la limite.

Corollaire

Si une fonction $f$ définie dans $G(I)$ , à valeurs dans $\bar{\mathbf{R}}$ ou dans un espace de Banach, est telle que la fonction $t \mapsto f(G(t))g(t)$ soit intégrable dans $I$ pour la mesure de Lebesgue, alors $f$ est intégrable dans $J$ pour la mesure de Lebesgue et on a (formule du changement de variable dans l’intégrale de Lebesgue)

(13)

\int_{G(a+)}^{G(b-)} f(\xi)\, d\xi = \int_a^b f(G(t))g(t)\, dt.

En effet, $f(G(t))$ est intégrable pour la mesure $|g|\cdot \mu$ , donc aussi pour les mesures $g^+\cdot \mu$ et $g^-\cdot \mu$ ; il résulte du th. 1 (n° 2) que $f$ est intégrable pour les mesures images $G(g^+\cdot \mu)$ et $G(g^-\cdot \mu)$ , donc aussi pour la mesure $\varphi_j\cdot v$ et que l’on a (13), compte tenu de la prop. 8 et de la formule (9).

Il peut se faire que $f$ soit intégrable dans $J$ pour la mesure de Lebesgue, mais que $t \mapsto f(G(t))g(t)$ ne soit pas intégrable dans $I$ pour la mesure de Lebesgue (exerc. 10).

Supposons maintenant que $g$ garde presque partout un signe constant (et soit localement $\mu$ -intégrable); on peut par exemple supposer $g(t) \geq 0$ presque partout dans $I$ . Alors $G$ est une fonction continue croissante dans $I$ , donc $G(a+)$ et $G(b-)$ existent (mais peuvent être infinis). En outre, $G$ est une application $\lambda$ -propre de $I$ dans $G(I)$ : en effet, si $G(b-) \in G(I)$ , il y a un $x_1 \geq x_0$ tel que $G$ soit constant pour $x \geq x_1$ , et alors l’image réciproque par $G$ de l’intervalle compact $[G(x_0), G(b-)]$ est $\lambda$ -intégrable; si au contraire $G(b-) \notin G(I)$ , l’image réciproque par $G$ de tout intervalle compact d’origine $G(x_0)$ , contenu dans $G(I)$ , est un intervalle compact. On raisonne de même pour les intervalles compacts d’extrémité $G(x_0)$ , d’où notre assertion. En outre:

Proposition 9

Supposons $g \geq 0$ et localement $\mu$ -intégrable. Alors, l’image par $G$ de la mesure positive $g\cdot \mu$ est la mesure de Lebesgue sur $G(I)$ . Pour qu’une fonction $f$ , définie dans $G(I)$ , à valeurs dans $\bar{\mathbf{R}}$ ou dans un espace de Banach, soit intégrable dans $G(I)$ pour la mesure de Lebesgue, il faut et il suffit que la fonction t \mapsto f(G(t))g(t) soit intégrable dans I pour la mesure de Lebesgue, et on a la relation (13).

La première partie de l’énoncé résulte de ce que la formule (12) est valable pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(G(I))$ ; en effet, le support de la fonction $t \mapsto f(G(t))$ est contenue dans un intervalle $K \subset I$ dans lequel $g$ est intégrable, en vertu des remarques faites ci-dessus, et il suffit d’appliquer à $K$ la prop. 8. La seconde partie est conséquence du th. 1 du n° 2.

6. Décomposition en tranches. Image réciproque d’une mesure par un homéomorphisme local

Soient $X$ un espace localement compact, $\pi$ une application de $X$ dans un espace localement compact $T$ , $\mu$ une mesure positive sur $T$ , $\Lambda : t \mapsto \lambda_t$ une application scalairement essentiellement $\mu$ -intégrable et vaguement $\mu$ -mesurable de $T$ dans $\mathscr{M}_+(X)$ . Soit $v = \int \lambda_t\, d\mu(t)$ . Si $\lambda_t$ est portée par $\bar{\pi}^1(t)$ pour tout $t \in T$ , on dit que l’égalité $v = \int \lambda_t\, d\mu(t)$ est une décomposition en tranches (ou une désintégration) de $v$ relativement à $\pi$ . Cette notion sera étudiée de manière détaillée au chap. VI.

Proposition 10

On conserve les notations ci-dessus, et on suppose que $\pi$ est $v$ -mesurable. Soit $g$ la fonction $t \mapsto \lambda_t^*(1)$ sur $T$ . Pour que $\pi$ soit $v$ -propre, il faut et il suffit que $g$ soit localement $\mu$ -intégrable, et on a dans ce cas

\pi(v) = g \cdot \mu.

Nous commencerons par raisonner en supposant que $g$ est finie localement $\mu$ -presque partout; nous nous débarrasserons de cette hypothèse auxiliaire à la fin de la démonstration. Comme $\pi$ est $v$ -mesurable par hypothèse, dire que $\pi$ est $v$ -propre équivaut à dire que $v^*(f \circ \pi) < +\infty$ pour toute fonction $f \in \mathscr{K}_+(T)$ ; $g$ étant finie localement presque partout, on est dans les conditions d’application de l’assertion c), prop. 5 du § 3, n° 2. On a donc

\int^\ast (f \circ \pi)\, dv = \int^\ast d\mu(t) \int^\ast (f \circ \pi)\, d\lambda_t = \int^\ast f(t)g(t)\, d\mu(t),

du fait que $\lambda_t$ est concentrée sur $\bar{\pi}^1(t)$ . On sait que $g$ est $\mu$ -mesurable, puisque $\Lambda$ est $\mu$ -adéquate (§ 3, n° 1, déf. 1). Dire que le premier membre est fini pour toute $f \in \mathscr{K}_+(T)$ équivaut donc à dire que $g$ est localement $\mu$ -intégrable (§ 5, prop. 1), et (14) résulte aussitôt dans ce cas des relations ci-dessus.

Il nous reste donc seulement à éliminer l’hypothèse auxiliaire. Si g est localement $\mu$ -intégrable, g est finie localement $\mu$ -presque partout, et l’hypothèse est bien satisfaite. Supposons que $\pi$ soit $\nu$ -propre, et montrons que g est finie localement presque partout. Soit $\mathfrak{R}$ l’ensemble $\mu$ -dense des compacts K tels que $\Lambda|K$ soit vaguement continue; comme g est $\mu$ -mesurable, on est ramené à montrer que tout compact $K \in \mathfrak{R}$ , tel que $g|K = +\infty$ , est $\mu$ -négligeable. Or soit $\mathscr{H}$ l’ensemble des fonctions $h \in \mathscr{K}_+(X)$ telles que $h \leq 1$ ; posons $g_h(t) = \lambda_t(h)$ , désignons par $\Lambda_h$ l’application $\mu$ -adéquate $t \mapsto h \cdot \lambda_t$ , par $\nu_h$ l’intégrale de $\Lambda_h$ , par $f$ un élément de $\mathscr{K}_+(T)$ tel que $f \geq \varphi_K$ . Si nous appliquons la formule (14) à $\Lambda_h$ , qui satisfait à l’hypothèse auxiliaire, nous obtenons:

\int (f \circ \pi) \, d\nu \geq \int (f \circ \pi) \, d\nu_h = \int fg_h \, d\mu.

Mais les fonctions $fg_h|K$ forment un ensemble filtrant croissant de fonctions continues sur K, dont l’enveloppe supérieure vaut $+\infty$ : d’après le th. de Dini (Top. gén., chap. X, 2e éd., § 4, n° 1, th. 1), on peut choisir h de telle sorte que $fg_h|K$ soit supérieure à un nombre positif arbitraire n, et il vient $\int (f \circ \pi) \, d\nu \geq n \mu(K)$ . Le premier membre étant fini du fait que $\pi$ est $\nu$ -propre, on en déduit que $\mu(K) = 0$ .

Corollaire 1

Supposons que $\pi$ soit $\nu$ -mesurable.

a) Si $N \subset T$ est localement $\mu$ -négligeable, $\bar{\pi}^{-1}(N)$ est localement $\nu$ -négligeable.

b) Si $f$ est une application $\mu$ -mesurable de T dans un espace topologique G, $f \circ \pi$ est $\nu$ -mesurable.

Reprenons les notations $\Lambda_h$ , $\nu_h$ , $g_h$ de la fin de la démonstration précédente: $\nu_h$ étant une mesure bornée pour tout $h \in \mathscr{H}$ , $\pi$ est $\nu_h$ -propre, $g_h$ est localement $\mu$ -intégrable, et $\pi(\nu_h) = g_h \cdot \mu$ , mesure de base $\mu$ . Il en résulte que N est localement négligeable (resp. que $f$ est mesurable) pour la mesure $\pi(\nu_h)$ ( $§ 5$ , n° 3, cor. 1 de la prop. 3 et cor. de la prop. 4). Par conséquent, $\bar{\pi}^{-1}(N)$ est localement négligeable (resp. $f \circ \pi$ est mesurable) pour la mesure $\nu_h$ (cor. 2 de la prop. 2, resp. prop. 3). On remarque enfin que les mesures $\nu_h$ forment une famille filtrante croissante de mesures positives, dont la borne supérieure est $\nu$ ( $§ 3$ , n° 1, prop. 1), et on applique le cor. 1 (resp. 2) de la prop. 11 du $§ 1$ , n° 4.

Corollaire 2

Supposons que $\pi$ soit $v$ -propre; soit $f$ une application définie dans $T$ , à valeurs dans un espace de Banach ou dans $\bar{\mathbf{R}}$ . Pour que $f \circ \pi$ soit essentiellement $v$ -intégrable, il faut et il suffit que $gf$ soit essentiellement $\mu$ -intégrable.

Cela résulte immédiatement, compte tenu de la prop. 10, du th. 1 du § 5, n° 3 et du th. 1 du n° 2.

Exemple

Soient $X$ et $T$ deux espaces localement compacts, et soit $\pi$ un homéomorphisme local de $X$ dans $T$ . Autrement dit (Top. gén., chap. XI), nous supposons que tout point $x \in X$ admet un voisinage $V$ tel que $\pi|V$ soit un homéomorphisme de $V$ sur un voisinage de $\pi(x)$ ; quitte à remplacer $V$ par un voisinage ouvert relativement compact $W$ de $x$ tel que $\overline{W} \subset V$ , on en déduit que l’ensemble $\mathscr{U}$ des ouverts relativement compacts $U$ de $X$ , tels que $\pi|\overline{U}$ soit un homéomorphisme de $\overline{U}$ sur son image, est un recouvrement ouvert de $X$ . Soit alors $\mu$ une mesure positive sur $T$ ; si $U$ est un élément de $\mathscr{U}$ , $\pi(U)$ est un ouvert de l’espace compact $\pi(\overline{U})$ , donc un sous-espace localement compact de $T$ , et on sait définir la mesure $\mu|\pi(U)$ induite par $\mu$ sur $\pi(U)$ (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 7). Soit $\nu_U$ l’image de $\mu|\pi(U)$ par l’homéomorphisme réciproque de $\pi|U$ ; nous allons montrer qu’il existe sur $X$ une mesure $\nu$ et une seule qui induit la mesure $\nu_U$ sur tout ouvert $U \in \mathscr{U}$ . Cette mesure est appelée l’image réciproque de $\mu$ par l’homéomorphisme local $\pi$ , et notée $\overline{\pi}^1(\mu)$ .

L’unicité de $\nu$ résulte aussitôt du principe de localisation (chap. III, 2e éd., § 2, n° 1, cor. de la prop. 1). Pour établir l’existence notons que si $t \in T$ , tout point $x \in \overline{\pi}^1(t)$ admet un voisinage qui ne rencontre $\overline{\pi}^1(t)$ qu’au point $x$ , de sorte que $\overline{\pi}^1(t)$ est un sous-espace discret de $X$ , et que la famille $(\varepsilon_x)_{x \in \overline{\pi}^1(t)}$ est sommable; désignons par $\lambda_t$ sa somme. Montrons ensuite que l’application $t \mapsto \lambda_t$ est scalairement essentiellement $\mu$ -intégrable, et que son intégrale $\nu = \int \lambda_t \, d\mu(t)$ est l’image réciproque cherchée. Cela résultera aussitôt du lemme suivant:

Lemme 1

a) Soit $f$ un élément de $\mathscr{K}_+(X)$ ; la fonction $t \mapsto \lambda_t(f)$ est positive, semi-continue supérieurement, à support compact, et sa restriction à $\pi(X)$ est continue.

b) Soient $U$ un élément de $\mathscr{U}$ , $\nu$ l’intégrale de la fonction scalairement essentiellement $\mu$ -intégrable $t \mapsto \lambda_t$ ; l’image de la mesure $\nu|U$ par $\pi|U$ est égale à $\mu|\pi(U)$ ,

Pour établir a), on peut se ramener au moyen d’une partition de l’unité (chap. III, 2e éd., § 1, n° 2, lemme 1) au cas où le support S de f est contenu dans un ouvert $U \in \mathscr{U}$ . Soit g l’application $t \mapsto \lambda_t(f) ; \pi|U$ étant un homéomorphisme, $g|\pi(U)$ appartient à $\mathscr{K}_+(\pi(U))$ , et par suite ( $\pi(U)$ étant un ouvert de $\pi(X)$ ) la restriction de g à $\pi(X)$ est continue. Comme g est positive et que la restriction de g au compact $\pi(S)$ est continue, on voit que g est semi-continue supérieurement dans T. On en déduit que g est $\mu$ -intégrable.

Pour établir b), désignons par g un élément de $\mathscr{K}(\pi(U))$ , par $g^\circ$ son prolongement par 0 à T, par f la fonction $g \circ (\pi|U)$ , par $f^\circ$ la prolongement par 0 de f à X. L’assertion b) équivaut à l’égalité $\int g^\circ d\mu = \int f^\circ dv$ . Mais on a $f \in \mathscr{K}(U)$ , donc $f^\circ \in \mathscr{K}(X)$ , et la seconde intégrale est donc égale à $\int \lambda_t(f^\circ) d\mu(t)$ . On a enfin $\lambda_t(f^\circ) = g^\circ(t)$ , ce qui achève la démonstration.

Notons maintenant que $\pi(X)$ est ouvert dans T, donc $\mu$ -mesurable ; l’application $\Lambda : t \mapsto \lambda_t$ est vaguement $\mu$ -mesurable, car sa restriction à chacun des ensembles $\pi(X)$ et $\mathbf{C}\pi(X)$ est vaguement continue. Dans ces conditions, la formule $\bar{\pi}^1(\mu) = \int \lambda_t d\mu(t)$ définit une décomposition en tranches de $\bar{\pi}^1(\mu)$ relativement à $\pi$ , et la prop. 10 nous donne le résultat suivant :

Proposition 11

Soit $\pi$ un homéomorphisme local d’un espace localement compact X dans un espace localement compact T, et soit $\mu$ une mesure positive sur T. Soit n la fonction numérique qui associe à tout $t \in T$ le nombre des éléments de $\bar{\pi}^1(t)$ , si ce nombre est fini, ou $+\infty$ dans le cas contraire. Pour que $\pi$ soit $\bar{\pi}^1(\mu)$ -propre, il faut et il suffit que n soit localement $\mu$ -intégrable, et on a dans ce cas

\pi(\bar{\pi}^1(\mu)) = n \cdot \mu.

Exercices

See the exercises for § 6.