a) đối với mọi hàm $f \in \mathscr{K}(X)$, $f \circ \pi$ là $\mu$-*khả tích về bản chất*.

b) đối với mọi tập compact $K \subset X$, $\overline{\pi}^{-1}(K)$ là $\mu$-*khả tích về bản chất*.

Ta đã nhận thấy rằng a) kéo theo rằng cặp $(\pi, 1)$ là $\mu$-thích nghi. Do đó (§ 4, No. 4, Th. 2), đối với mọi tập compact $K \subset X$, hàm $\varphi_K \circ \pi = \varphi_A$, trong đó $A = \overline{\pi}^{-1}(K)$, là $\mu$-khả tích về bản chất, nói cách khác, a) kéo theo b).

Ngược lại, giả sử rằng $\overline{\pi}^{-1}(K)$ là $\mu$-khả tích về bản chất đối với mọi tập con compact $K$ của $X$, và ta hãy chứng minh rằng a) được thỏa mãn. Thật vậy, cho $S$ là giá của $f$; vì $S$ là compact, đặt $A = \overline{\pi}^{-1}(S)$ ta có, theo giả thiết,

Vì $f \circ \pi$ là $\mu$-đo được (Ch. IV, § 5, No. 3, Th. 1), ta thấy rằng $f \circ \pi$ là $\mu$-khả tích về bản chất (§ 1, No. 3, Prop. 9).

Tính chất b) hiển nhiên tương đương với tính chất sau (do đó cũng tương đương với a)):

c) Đối với mọi điểm $x$ của $X$, tồn tại một lân cận $V$ của $x$ sao cho $\overline{\pi}^{-1}(V)$ là $\mu$-*khả tích về bản chất*.

Điều này suy ra từ Th. 1 của §4, No. 2.

Vì, nếu $N = X - \pi(M)$ thì $\pi^{-1}(N)$ không giao với M, do đó là địa phương $\mu$-không đáng kể, do đó (Hệ quả 2) N là địa phương $\nu$-không đáng kể.

Vì, từ Hệ quả 3 suy ra rằng $\pi(\mu)$ tập trung trên $\pi(S)$, do đó nếu $S'$ là giá của $\pi(\mu)$ thì $S' \subset \pi(S)$. Mặt khác, $\pi^{-1}(X - S')$ là một tập mở địa phương $\mu$-không đáng kể (Hệ quả 2), nên là $\mu$-không đáng kể (Ch. IV, §5, No. 2, Hệ quả 2 của Mệnh đề 5). Do đó $\pi^{-1}(X - S') \subset T - S$, do đó $\pi(S) \subset S'$, điều này chứng minh hệ quả.

Đây là một hệ quả ngay lập tức của Mệnh đề 3 của §4, No. 3.

Tuy nhiên, ảnh theo $\pi$ của một tập con M $\mu$-đo được của T không nhất thiết là $\nu$-đo được, ngay cả khi $\pi$ liên tục và M là $\mu$-không đáng kể (Bài tập 7 và §8, Bài tập 1).

Hơn nữa, giả sử rằng $\pi$ liên tục và thực sự. Khi đó, để f là $\nu$-khả tích, điều kiện cần và đủ là $f \circ \pi$ là $\mu$-khả tích.

Chỉ cần áp dụng Định lý 2 của §4, No. 4.

Đặc biệt, với mọi tập compact $K \subset X$, $\nu(K) = \mu(\pi^{-1}(K))$. Từ điều này và Hệ quả 3 của Mệnh đề 2 suy ra rằng nếu $\mu$ là nguyên tử (§ 5, No. 10) thì $\pi(\mu) = \nu$ cũng vậy. Vì, gọi M là tập hợp các $t \in T$ sao cho $\mu(\{t\}) \neq 0$; vì $\mu$ được mang bởi M, $\nu$ được mang bởi $\pi(M)$; hơn nữa, với mọi $x \in \pi(M)$ ta có $\nu(\{x\}) = \mu(\pi^{-1}(x)) > 0$, vì $\pi^{-1}(x)$ chứa ít nhất một điểm của M. Do đó $\nu$ là nguyên tử (§ 5, No. 10, Mệnh đề 15).

(a) Giả sử rằng $\pi$ là $\mu$-thực sự và đặt $\mu' = \pi(\mu)$. Để $\pi'$ là $\mu'$-thực sự, điều kiện cần và đủ là $\pi''$ là $\mu$-thực sự, trong trường hợp đó $\pi''(\mu) = \pi'(\pi(\mu))$ ('tính bắc cầu của ảnh của một độ đo').

(b) Giả sử rằng $\pi'$ liên tục, và $\pi''$ là $\mu$-thực sự; khi đó $\pi$ là $\mu$-thực sự, $\pi'$ là $\pi(\mu)$-thực sự và $\pi''(\mu) = \pi'(\pi(\mu))$.

Dưới các giả thiết của a), để $\pi''$ là $\mu$-đo được, điều kiện cần và đủ là $\pi'$ là $\mu'$-đo được (No. 2, Mệnh đề 3). Mặt khác nếu $K$ là một tập con compact của $T''$, thì $\pi''(K) = \pi^{-1}(\pi'(K))$; để $\pi''(K)$ khả tích theo nghĩa hầu khắp đối với $\mu$, điều kiện cần và đủ là $\pi'(K)$ khả tích theo nghĩa hầu khắp đối với $\mu'$, theo Hệ quả của Định lý 1. Cuối cùng, nếu $\pi''$ là $\mu$-thực sự thì, đặt $\mu'' = \pi''(\mu)$, ta có, với mọi hàm $f \in \mathscr{H}(T'')$,

theo Định lý 1 của No. 2, điều này hoàn tất chứng minh của a).

Dưới các giả thiết của b), cho $K'$ là một tập con compact của $T'$. Khi đó $K'' = \pi'(K')$ là compact, do đó $\pi''(K'')$ khả tích theo nghĩa hầu khắp đối với $\mu$, do đó $\pi^{-1}(K') \subset \pi''(K'')$ khả tích theo nghĩa hầu khắp đối với $\mu$ (Ch. IV, §5, No. 5, Mệnh đề 7), vì vậy $\pi$ là $\mu$-thực sự. Chứng minh được kết thúc bằng cách áp dụng phần a) của mệnh đề.

Đặt $\nu = \pi(\mu)$. Để $g$ khả tích địa phương đối với $\nu$, điều kiện cần và đủ là $gf$ khả tích đối với $\nu$ với mọi hàm $f \in \mathscr{H}(X)$; vì $gf$ có giá compact, cũng có thể nói rằng $gf$ khả tích đối với $\nu$ theo nghĩa hầu khắp nơi, và điều này tương đương với việc $(g \circ \pi)(f \circ \pi)$ khả tích đối với $\mu$ theo nghĩa hầu khắp nơi (Định lý 1). Nhưng, theo Định lý 1 của §5, No. 3, điều này có nghĩa là $f \circ \pi$ khả tích theo nghĩa hầu khắp nơi đối với $\rho = (g \circ \pi) \cdot \mu$, và theo định nghĩa, điều này nói rằng $\pi$ là $\rho$-thực sự (vì hiển nhiên $\pi$ là $\rho$-đo được). Hơn nữa,

(No. 2, Định lý 1 và §5, Định lý 1), điều này chứng minh quan hệ (4).

Để $\pi$ là $\mu$-đo được, điều kiện cần và đủ là $\pi$ $\lambda_\alpha$-đo được với mọi $\alpha \in A$ (§ 1, No. 4, Hệ quả 2 của Mệnh đề 11). Giả sử điều kiện này được thỏa mãn; khi đó, nói rằng $\pi$ là $\mu$-thực sự tương đương với nói rằng, với mọi hàm $f \in \mathscr{K}_+(X)$,

Bây giờ,

(§ 1, No. 4, Prop. 11); do đó phần tử thứ nhất là hữu hạn với mọi $f \in \mathscr{K}_+(X)$ khi và chỉ khi họ $(\pi(\lambda_\alpha))$ nhận một cận trên nhỏ nhất $\theta$ trong $\mathscr{M}(X)$, trong trường hợp đó $\int (f \circ \pi)\, d\mu = \int f\, d\theta$, một quan hệ tương đương với (5).

c) Cho $f$ là một hàm xác định trên $X$, có các giá trị trong một không gian Banach $F$; nếu $f \circ \pi$ là khả tích $\theta$ về bản chất, thì $f$ là khả tích $\nu$ về bản chất và

Có tính đến công thức (8), các kết quả này có thể được suy ra từ Hệ quả 2 của Mệnh đề 2, từ Mệnh đề 3, và từ Định lý 1 của No. 2.

Chỉ cần chứng minh rằng, với mọi hàm $f \in \mathscr{K}(G(I))$,

Bây giờ, công thức này đã được chứng minh cho $g \in \mathscr{K}(I)$ (FRV, II, §2, No. 1, công thức (1)). Ta chuyển sang trường hợp tổng quát; tồn tại một dãy $(g_n)$ các hàm trong $\mathscr{K}(I)$ sao cho: $1^\circ$ dãy $(g_n(t))$ tiến tới $g(t)$ hầu khắp nơi trong $I$; $2^\circ$ tồn tại một hàm $\mu$-khả tích $h \geq 0$ sao cho $|g_n| \leq h$ với mọi $n$ (Ch. IV, §3, No. 4, Định lý 3). Suy ra ngay từ định lý Lebesgue rằng, đặt $G_n(x) = c + \int_{x_0}^x g_n(t)\,dt$, dãy $(G_n)$ hội tụ đều đến G trên $I$, và các số $G_n(a+)$ và $G_n(b-)$ lần lượt tiến tới $G(a+)$ và $G(b-)$. Gọi $f'$ là một hàm trong $\mathscr{K}(\mathbf{R})$ mở rộng f; điều đã nêu ở trên chứng minh rằng $f'(G_n(t))$ tiến tới $f'(G(t)) = f(G(t))$ với mọi $t \in I$; áp dụng định lý Lebesgue, ta thấy rằng công thức (12) suy ra từ công thức

bằng cách chuyển qua giới hạn.

(công thức đổi biến trong tích phân Lebesgue).

Vì, $\mathbf{f}(G(t))$ khả tích đối với độ đo $|g|\cdot\mu$, do đó cũng đối với các độ đo $g^+\cdot\mu$ và $g^-\cdot\mu$; suy ra từ Đl. 1 (No. 2) rằng $\mathbf{f}$ khả tích đối với các độ đo ảnh $G(g^+\cdot\mu)$ và $G(g^-\cdot\mu)$, do đó cũng đối với độ đo $\varphi_J \cdot \nu$, và rằng (13) đúng, khi tính đến Mđ. 8 và công thức (9).

Có thể xảy ra rằng $\mathbf{f}$ khả tích trên $J$ đối với độ đo Lebesgue, nhưng $t \mapsto \mathbf{f}(G(t))g(t)$ không khả tích trên $I$ đối với độ đo Lebesgue (Bài tập 10).

Bây giờ giả sử rằng $g$ giữ dấu hằng hầu khắp nơi (và là $\mu$-khả tích địa phương); chẳng hạn ta có thể giả sử rằng $g(t) \geq 0$ hầu khắp nơi trong $I$. Khi đó $G$ là một hàm liên tục tăng trên $I$, do đó $G(a+)$ và $G(b-)$ tồn tại (nhưng có thể là vô hạn). Hơn nữa, $G$ là một ánh xạ $\lambda$-thực sự của $I$ vào $G(I)$: vì, nếu $G(b-) \in G(I)$, tồn tại một x_1 \geq x_0 \text{ sao cho } G \text{ là hằng với } x \geq x_1, \text{ và khi đó ảnh ngược qua } G \text{ của khoảng compact } [G(x_0), G(b-)] \text{ là } \lambda\text{-khả tích; nếu ngược lại, } G(b-) \notin G(I), \text{ thì ảnh ngược qua } G \text{ của mọi khoảng compact có điểm đầu trái } G(x_0), \text{ được chứa trong } G(I), \text{ sai khác với một khoảng compact nhiều nhất bởi một khoảng } \lambda\text{-không đáng kể. Ta lập luận tương tự đối với các khoảng compact có điểm đầu phải } G(x_0), \text{ do đó có mệnh đề của ta. Hơn nữa:}

Phần đầu của mệnh đề suy ra từ sự kiện rằng công thức (12) đúng đối với mọi hàm $f \in \mathscr{K}(G(I))$; vì giá của hàm $t \mapsto f(G(t))$ được chứa trong một khoảng $K \subset I$ trên đó $g$ khả tích, theo các nhận xét ở trên, và chỉ cần áp dụng Mđ. 8 cho $K$. Phần thứ hai là một hệ quả của Đl. 1 của No. 2.

Ta bắt đầu bằng cách lập luận với giả thiết rằng $g$ hữu hạn địa phương hầu khắp nơi theo $\mu$; ta sẽ loại bỏ giả thiết phụ này ở cuối chứng minh. Vì $\pi$ theo giả thiết là $\nu$-đo được, nói rằng $\pi$ là $\nu$-thực sự tương đương với nói rằng $\nu^*(f \circ \pi) < +\infty$ với mọi hàm $f \in \mathscr{K}_+(T)$; do $g$ hữu hạn địa phương hầu khắp nơi, ta ở trong các điều kiện để áp dụng mệnh đề c) của Mệnh đề 5 của §3, No. 2. Do đó

từ sự kiện rằng $\lambda_t$ tập trung trên $\overline{\pi}^{-1}(t)$. Ta biết rằng $g$ là $\mu$-đo được, vì $\Lambda$ là $\mu$-thích hợp (§ 3, No. 1, Def. 1). Nói rằng vế đầu tiên là hữu hạn với mọi $f \in \mathscr{K}_+(T)$ do đó tương đương với nói rằng $g$ nguyên địa phương theo $\mu$ (§ 5, Prop. 1), và trong trường hợp này (14) suy ra ngay từ các hệ thức trên.

Vì vậy, chỉ còn lại việc loại bỏ giả thiết phụ. Nếu $g$ nguyên địa phương theo $\mu$, thì $g$ hữu hạn địa phương hầu khắp nơi theo $\mu$, và giả thiết quả thực được thỏa mãn. Giả sử rằng $\pi$ là $\nu$-thực sự, và hãy chứng minh rằng $g$ hữu hạn địa phương hầu khắp nơi. Gọi $\mathfrak{K}$ là tập hợp $\mu$-trù mật của các tập compact $K$ sao cho $\Lambda|K$ liên tục theo nghĩa mơ hồ; vì $g$ là đo được, ta chỉ cần chứng minh rằng mọi tập compact $K \in \mathfrak{K}$ sao cho $g|K = +\infty$ đều là $\mu$-không đáng kể. Bây giờ, gọi $\mathscr{H}$ là tập hợp các hàm $h \in \mathscr{K}_+(X)$ sao cho $h \leq 1$; đặt $g_h(t) = \lambda_t(h)$, ký hiệu $\Lambda_h$ là ánh xạ $\mu$-thích hợp $t \mapsto h \cdot \lambda_t$, ký hiệu $\nu_h$ là tích phân của $\Lambda_h$, và gọi $f$ là một phần tử của $\mathscr{K}_+(T)$ sao cho $f \geq \varphi_K$. Áp dụng công thức (14) cho $\Lambda_h$, ánh xạ này thỏa mãn giả thiết phụ, ta thu được:

Nhưng các hàm $fg_h|K$ tạo thành một tập có hướng tăng của các hàm liên tục trên $K$, bao trên của chúng có giá trị $+\infty$; theo định lý Dini (GT, X, §4, No. 1, Th. 1), ta có thể chọn $h$ sao cho $fg_h|K$ lớn hơn hoặc bằng một số dương tùy ý $n$, và do đó suy ra rằng $\int (f \circ \pi)\, d\nu \geq n\, \mu(K)$. Vì vế thứ nhất là hữu hạn bởi vì $\pi$ là $\nu$-thực sự, nên suy ra $\mu(K) = 0$.

a) Nếu $N \subset T$ là địa phương $\mu$-không đáng kể, thì $\overline{\pi}^{-1}(N)$ là địa phương $\nu$-không đáng kể. b) Nếu $f$ là một ánh xạ $\mu$-đo được từ $T$ vào một không gian tôpô $G$, thì $f \circ \pi$ là $\nu$-đo được.

Ta lấy lại các ký hiệu $\Lambda_h$, $\nu_h$, $g_h$ ở cuối chứng minh trước: $\nu_h$ là một độ đo bị chặn với mọi $h \in \mathscr{H}$, $\pi$ là $\nu_h$-thực sự, $g_h$ là địa phương $\mu$-khả tích, và $\pi(\nu_h) = g_h \cdot \mu$, một độ đo có cơ sở $\mu$. Do đó $N$ là địa phương không đáng kể (tương ứng $f$ là đo được) đối với độ đo $\pi(\nu_h)$ (§ 5, No. 3, Hệ quả 1 của Mệnh đề 3 và Mệnh đề 4). Do đó $\overline{\pi}^{-1}(N)$ là địa phương không đáng kể (tương ứng $f \circ \pi$ là đo được) đối với độ đo $\nu_h$ (Hệ quả 2 của

Mệnh đề 2, tương ứng Mệnh đề 3). Cuối cùng, ta nhận xét rằng các độ đo $\nu_h$ tạo thành một họ có hướng tăng của các độ đo dương mà cận trên là $\nu$, và áp dụng Hệ quả 1 (tương ứng Hệ quả 2) của Mệnh đề 11 của §1, No. 4.

Có tính đến Mệnh đề 10, điều này suy ra ngay lập tức từ Định lý 1 của §5, No. 3 và Định lý 1 của No. 2.