a) Với mọi điểm $t \in T$, tồn tại một lân cận V của t sao cho hàm $g \varphi_V$ là $\mu$-khả tích.

b) Hàm g là $\mu$-đo được và, với mọi tập compact $K \subset T$, $\int^* |g|\varphi_K\,d\mu < +\infty$.

c) Với mọi hàm số $h \in \mathscr{K}(T)$, $gh$ là $\mu$-khả tích.

Ta chứng minh rằng a) suy ra b); thật vậy, hàm g đo được theo nguyên lý địa phương hóa (Ch. IV, §5, No. 2, Mệnh đề 4). Mặt khác, với mọi $t \in K$ tồn tại, theo giả thiết, một lân cận $V_t$ của $t$ trong $T$ sao cho $g \varphi_{V_t}$ khả tích; do đó có thể phủ $K$ bởi một số hữu hạn các lân cận $V_i$ ($1 \leq i \leq n$) sao cho các hàm $g \varphi_{V_i}$ khả tích. Vì $|g| \varphi_K \leq \sum_{i=1}^n |g| \varphi_{V_i}$, nên $\int^* |g| \varphi_K \, d\mu < +\infty$.

Mặt khác, b) suy ra c), vì khi đó $gh$ là đo được, và nếu $L$ là giá compact của $h$ thì $|gh| \leq \|h\| \cdot |g| \varphi_L$, do đó $\int^* |gh| \, d\mu < +\infty$ theo giả thiết; vì vậy $gh$ khả tích theo tiêu chuẩn khả tích (Ch. IV, §5, No. 6, Định lý 5).

Cuối cùng, c) suy ra a). Thật vậy, với mọi $t \in T$ hãy lấy $V$ là một lân cận compact của $t$. Tồn tại một ánh xạ liên tục $h$ của $T$ vào $[0,1]$, bằng 1 trên $V$ và có giá compact (Ch. III, §1, No. 2, Bổ đề 1); theo giả thiết $gh$ khả tích, do đó $g \varphi_V = (gh) \varphi_V$ cũng khả tích (Ch. IV, §5, No. 6, Hệ quả 3 của Định lý 5).

Ta bắt đầu với một kết quả phụ trợ:

*trong đó $\mathscr{K}_1$ (tương ứng $\mathscr{B}_1$) ký hiệu tập hợp các hàm phức $c$, liên tục với giá compact (tương ứng Borel), sao cho $|c| \leq 1$.

Trước hết xét trường hợp $f \in \mathscr{K}(T; \mathbf{C})$. Hiển nhiên

(Ch. IV, §4, No. 2, Mệnh đề 2). Mặt khác, cho $g$ là một phần tử của $\mathscr{K}(T; \mathbf{C})$ sao cho $|g| \leq |f|$; $g$ là giới hạn đều của một dãy $(g_n)$ gồm các phần tử của $\mathscr{K}(T; \mathbf{C})$ có giá được chứa trong tập mở $U$ gồm các $t$ sao cho $f(t) \neq 0$, và rõ ràng có thể giả sử rằng $|g_n| \leq |f|$ với mọi $n$. Đặt $c_n(t) = g_n(t)/f(t)$ với $t \in U$, $c_n(t) = 0$ với $t \notin U$; khi đó $c_n \in \mathscr{K}_1$, $g = \lim_{n \to \infty} c_n f$, vì thế $|\langle\theta, g\rangle| = \lim_{n \to \infty} |\langle\theta, c_n f\rangle|$, và cuối cùng

Người ta kết luận bằng cách nhận thấy rằng vế thứ nhất của bất đẳng thức này bằng $\langle |\theta|, |f| \rangle$ (Ch. III, §1, No. 6, công thức (12)).

Tiếp theo, ký hiệu bởi $f$ một phần tử của $\overline{\mathscr{L}}_C^1(\theta)$, và ta hãy chứng minh rằng (4) lại đúng: chỉ cần kiểm tra rằng ba vế của quan hệ này phụ thuộc liên tục vào $f$ theo tôpô của $\overline{\mathscr{L}}_C^1(\theta)$, vì chúng trùng nhau trên không gian con trù mật $\mathscr{K}(T; \mathbf{C})$. Điều này suy ra ngay từ các bất đẳng thức sau, trong đó $f$ và $f'$ ký hiệu các phần tử của $\overline{\mathscr{L}}_C^1(\theta)$:

với mọi $c \in \mathscr{B}_1$. Bổ đề như vậy đã được thiết lập.

Chuyển sang chứng minh Mệnh đề 2, ta áp dụng bổ đề cho hàm số $uh$, trong đó $h$ thuộc $\mathscr{K}_+(T)$. Suy ra:

Tuy nhiên, vế thứ nhất cũng bằng

Hai độ đo $|u| \cdot |\theta|$ và $|u \cdot \theta|$ vì thế bằng nhau.

Đặc biệt, nếu $g$ là một hàm số thực địa phương $\mu$-tích phân, thì

Điều này suy ra ngay từ Mệnh đề 2 và các công thức (6) của Ch. II, §1, No. 1.

Điều này suy ra từ Định lý 1 của §4, No. 2.

Nói rằng $\mathbf{f}$ (tương ứng $u \mathbf{f}$) là không đáng kể địa phương đối với $u \cdot \theta$ (tương ứng đối với $\theta$) là tương đương với nói rằng $|\mathbf{f}|$ (tương ứng $|u| \cdot |\mathbf{f}|$) là không đáng kể địa phương đối với $|u \cdot \theta|$ (tương ứng đối với $|\theta|$). Do đó, theo Mệnh đề 2 của No. 2, ta quy về trường hợp $\mathbf{f}, u, \theta$ là dương; mệnh đề khi đó suy ra ngay từ Mệnh đề 3.

Ta ngay lập tức quy về việc chứng minh rằng $u \cdot \theta = 0$ kéo theo rằng $u(t) = 0$ hầu khắp nơi địa phương; nhưng $u \cdot \theta = 0$ có nghĩa là hàm 1 là không đáng kể địa phương đối với độ đo $u \cdot \theta$. Khi đó áp dụng Hệ quả 1.

Vì, $u \cdot \mu$ là dương khi và chỉ khi $u \cdot \mu = |u \cdot \mu| = |u| \cdot \mu$ (Mệnh đề 2), và điều này tương đương với $u = |u|$ hầu khắp nơi địa phương (Hệ quả 2).

Khi $u$ và $\theta$ là dương, điều này suy ra ngay từ Mệnh đề 3 của §4, No. 3. Kết quả sau đó mở rộng sang trường hợp $u$ và $\theta$ là phức nhờ Mệnh đề 2.

Vì, $u \mathbf{f}$ là mở rộng bởi 0 của $(u \mathbf{f})|S$ lên $T$.

Giả sử thêm rằng $u$ liên tục và $u(t) \neq 0$ với mọi $t \in T$; khi đó $f$ khả tích đối với độ đo $\eta$ khi và chỉ khi $uf$ khả tích đối với $\theta$.

Trường hợp $u$ và $\theta$ dương suy ra ngay từ ĐL. 2 của §4, No. 4. Mệnh đề đầu tiên và mệnh đề cuối cùng của phát biểu khi đó suy ra ngay, vì $f$ khả tích hầu khắp nơi (tương ứng khả tích) đối với $\eta = u \cdot \theta$ khi và chỉ khi nó khả tích hầu khắp nơi (tương ứng khả tích) theo $|\eta| = |u| \cdot |\theta|$. Cuối cùng, giả sử $f$ khả tích hầu khắp nơi đối với $\eta$ (suy ra đối với $|\eta|$); ta dùng phép phân tích (2): $f$ khả tích hầu khắp nơi đối với từng độ đo $\eta_{ij} = g_i \cdot \mu_j$ ($i = 1, 2, 3, 4,\ j = 1, 2, 3, 4$), vì các độ đo này $\leq |\eta|$. Ta có

Công thức (6) suy ra ngay từ đây.

Cho $(\lambda_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ các độ đo dương trên $T$, có hướng theo quan hệ $\leqslant$, thừa nhận trong $\mathscr{M}(T)$ một supremum $\lambda$. Để một hàm số trị dương $g$ địa phương khả tích theo $\lambda$, cần và đủ rằng $g$ địa phương khả tích theo $\lambda_\alpha$ với mọi $\alpha \in A$ và rằng họ $(g \cdot \lambda_\alpha)$ bị chặn trên trong $\mathscr{M}(T)$; *trong trường hợp này,

Rõ ràng điều kiện là cần. Ngược lại, giả sử rằng $g$ địa phương khả tích đối với từng độ đo $\lambda_\alpha$ và rằng họ $(g \cdot \lambda_\alpha)_{\alpha \in A}$ bị chặn trên; ký hiệu supremum của nó là $\lambda'$. Khi đó hàm $g$ là $\lambda$-đo được (§ 1, No. 4, Hệ quả 2 của Mệnh đề 11); hơn nữa, với mọi hàm $h \in \mathscr{K}_+(T)$, (§ 1, No. 4, Mệnh đề 11). Điều này trước hết suy ra rằng thành phần thứ nhất là hữu hạn với mọi $h$, do đó $g$ địa phương khả tích theo $\lambda$; vì vậy ký hiệu $\int^\bullet$ có thể được thay bằng $\int$, và công thức có thể viết là $\int h \, d(g \cdot \lambda) = \int h \, d\lambda'$. Suy ra $g \cdot \lambda = \lambda'$, và điều đó hoàn tất chứng minh.

Cho $(g_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ các hàm số trị dương $\mu$-đo được xác định trên T. Gọi $S_\alpha$ là tập hợp các $t \in T$ sao cho $g_\alpha(t) \neq 0$. Ta sẽ nói rằng họ $(g_\alpha)$ là địa phương đếm được nếu họ $(S_\alpha)$ là địa phương đếm được (Ch. IV, §5, No. 9); điều đó tương đương với việc nói rằng, với mọi tập compact K trong T, tập các $\alpha \in A$ sao cho $g_\alpha|K$ không đồng nhất bằng không là đếm được.

It là rõ ràng rằng $g$ là $\mu$-đo được (Chương IV, §5, No. 2, Mệnh đề 4 và No. 4, Hệ quả 1 của Định lý 2). Để $g$ khả tích địa phương theo $\mu$, do đó cần và đủ rằng $\mu^\bullet(gf)$ hữu hạn với mọi $f \in \mathscr{H}_+(T)$. Bây giờ, vì tập các $\alpha \in A$ sao cho $g_\alpha f \neq 0$ là đếm được, ta có $\mu^\bullet(gf) = \sum_{\alpha \in A} \mu^\bullet(g_\alpha f)$ (§1, No. 1, Hệ quả của Mệnh đề 2). Đặt $\nu_\alpha = g_\alpha \cdot \mu$; điều kiện $\mu^\bullet(gf) < +\infty$ tương đương với điều kiện $\sum_{\alpha \in A} \nu_\alpha(f) < +\infty$: nói cách khác, $g$ khả tích địa phương theo $\mu$ khi và chỉ khi họ $(\nu_\alpha)$ khả tổng. Ký hiệu tổng của họ này là $\nu$, phép tính trên cho đẳng thức $\nu(f) = \mu^\bullet(gf)$, đẳng thức này tương đương với (8).

Chỉ cần áp dụng Mệnh đề 6 cho các hàm số (dương địa phương hầu khắp nơi) $g'_n = g_{n+1} - g_n$.

Cho $g$ là một hàm số dương xác định trên $X$, khả tích địa phương đối với độ đo $\nu = \int \lambda_t d\mu(t)$. Khi đó tập các $t \in T$ sao cho $g$ không khả tích địa phương theo $\lambda_t$ là không đáng kể địa phương đối với $\mu$, ánh xạ $t \mapsto g \cdot \lambda_t$ (được định nghĩa địa phương $\mu$-hầu khắp nơi) là $\mu$-thích hợp, và

Cho $(K_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một dãy tăng các tập con compact của $X$ mà các phần trong của chúng phủ $X$; nếu $\eta$ là bất kỳ độ đo dương nào trên $X$, nói rằng $g$ là khả tích địa phương đối với $\eta$ tương đương với việc nói rằng $g \varphi_{K_n}$ là khả tích đối với $\eta$ với mọi $n$. Bây giờ cho $H_n$ là tập hợp các $t \in T$ sao cho $g \varphi_{K_n}$ không khả tích đối với $\lambda_t$, và cho $H = \bigcup_n H_n$; vì $H_n$ là không đáng kể địa phương đối với $\mu$ với mọi $n$ (§ 3, Số 3, Định lý 1), điều tương tự cũng đúng với $H$, điều này thiết lập khẳng định đầu tiên của mệnh đề. Thay $\lambda_t$ bởi 0 đối với $t$ trong $H$ (điều này không làm thay đổi độ đo $\nu$), ta có thể giả sử rằng $g$ là khả tích địa phương đối với $\lambda_t$ với mọi $t \in T$. Với mọi hàm dương $\nu$-đo được $h$ xác định trên $X$, ta có, theo Mệnh đề 3 và Mệnh đề 5 của § 3, Số 2,

Công thức này và Mệnh đề 5 của § 3, Số 2 trước hết chỉ ra (khi lấy $h \in \mathscr{K}_+(X)$) rằng ánh xạ $t \mapsto g \cdot \lambda_t$ là khả tích thiết yếu theo vô hướng đối với $\mu$, và tích phân của nó là $g \cdot \nu$; nói cách khác, hệ thức (9) đúng. Tiếp theo, thay $\mu$ bởi một độ đo dương $\mu' \leq \mu$, và lấy $h$ là một hàm nửa liên tục dưới dương: từ các hệ thức này suy ra ngay rằng $t \mapsto g \cdot \lambda_t$ là $\mu$-thích đáng (§ 3, Số 1, Định nghĩa 1).

('công thức tính kết hợp').

Theo hệ quả của Prop. 4, nói rằng $g_2$ là $\theta_1$-đo được là tương đương với nói rằng $g_2 g_1$ là $\theta$-đo được. Giả sử điều kiện này được thỏa mãn. Với mọi hàm $f \in \mathscr{K}_+(T)$, nhờ các Mệnh đề 2 và 3, ta có

To nói rằng $g_2$ là khả tích địa phương theo $\theta_1$ do đó tương đương với việc nói rằng $g_2 g_1$ là khả tích địa phương theo $\theta$. Giả sử điều kiện này được thỏa mãn, theo Định lý 1 ta có

một công thức tương đương với (10).

1) $\nu$ là một độ đo với cơ sở $\mu$. 2) Mọi tập địa phương $\mu$-không đáng kể đều là địa phương $\nu$-không đáng kể. 3) Mọi tập compact $\mu$-không đáng kể đều là $\nu$-không đáng kể.

Rõ ràng 1) kéo theo 2) (Hệ quả 1 của Mệnh đề 3), và 2) kéo theo 3). Ta sẽ chứng minh rằng 3) kéo theo 1). Trước hết ta nhận xét rằng nếu điều kiện 3) được thỏa mãn thì mọi tập $A$ vừa khả đo được mọi nơi vừa địa phương $\mu$-không đáng kể đều địa phương $\nu$-không đáng kể; thật vậy, $\nu^\bullet(A) = \sup \nu(K)$, trong đó $K$ chạy qua tập hợp các tập compact được chứa trong $A$ (§ 1, No. 3, Mệnh đề 10, a) và Ch. IV, § 4, No. 6, Hệ quả 2 của Định lý 4). Tiếp theo, ta sẽ thiết lập hai bổ đề.

Cho $g$ là một phần tử của không gian $\mathscr{L}_\mathbf{R}^2(T, \alpha)$; $g$ là $\beta$-đo được và $\int^\bullet |g|^2 \, d|\beta| \leq M \int^\bullet |g|^2 \, d\alpha < +\infty$. Vì vậy hàm $g$ thuộc $\mathscr{L}^2(T, |\beta|)$, và cũng thuộc $\mathscr{L}^1(T, |\beta|)$ vì $\beta$ bị chặn. Theo bất đẳng thức Cauchy–Schwarz,

Ánh xạ $g \mapsto \beta(g)$ do đó là một dạng tuyến tính liên tục trên $\mathscr{L}^2(T, \alpha)$. Vì không gian Hausdorff gắn với $\mathscr{L}^2(T, \alpha)$ là một không gian Hilbert, nên tồn tại (TVS, Ch. V, § 1, No. 7, Định lý 3) một hàm thực $u \in \mathscr{L}^2(T, \alpha)$, do đó cũng thuộc $\mathscr{L}^1(T, \alpha)$, sao cho $\beta(g) = \alpha(ug)$ với mọi $g \in \mathscr{L}^2(T, \alpha)$. Áp dụng quan hệ này cho $g \in \mathscr{K}(T)$, ta thấy rằng $\beta = u \cdot \alpha$.

(11) Tồn tại một hằng số $M \geq 0$ sao cho $\varphi_K \cdot \nu \leq M \varphi_K \cdot \mu$. Khi đó tập $\mathscr{K}$ trù mật trong $T$.

Nếu $K$ thỏa mãn (11), và nếu $A$ là một tập Borel được chứa trong $K$, thì suy ra ngay từ Mệnh đề 8 rằng $\varphi_A \cdot \nu \leq M \varphi_A \cdot \mu$; từ đó, ta suy ra rằng hợp của hai phần tử $K, K'$ của $\mathscr{K}$ thuộc $\mathscr{K}$ vì $\varphi_{K \cup K'} = \varphi_K + \varphi_A$, trong đó $A = K' \cap \complement K$. Để chứng minh bổ đề, còn lại phải chứng minh rằng mọi tập compact $L$ sao cho $\mu(L) > 0$ đều chứa một tập compact $K \in \mathscr{K}$ sao cho $\mu(K) > 0$ (Ch. IV, §5, No. 8, Mệnh đề 12). Chọn một số $M > \nu(L)/\mu(L)$ và áp dụng Bổ đề 1 cho độ đo dương bị chặn $\alpha = \varphi_L \cdot (\nu + M \mu)$ và độ đo $\beta = \varphi_L \cdot (\nu - M \mu)$. Nếu cần, thay hàm $u$ sao cho $\beta = u \cdot \alpha$ bằng một hàm bằng nó ở mọi nơi trừ một tập $\alpha$-gần như khắp, ta có thể giả sử rằng $u$ là đo được một cách phổ dụng (§3, No. 4, Mệnh đề 7) và bằng không ở ngoài $L$. Tập $H$ gồm các $t \in T$ sao cho $u(t) < 0$, vốn được chứa trong $L$, không thể là không đáng kể theo $\mu$, vì khi đó nó sẽ là không đáng kể theo $\nu$ (theo nhận xét đã nêu ở đầu chứng minh của Định lý 2), do đó là không đáng kể theo $\alpha$, và ta sẽ có $\beta(L) > 0$, điều này mâu thuẫn với việc chọn $M$. Gọi $K$ là một tập compact được chứa trong $H$, sao cho $\mu(K) > 0$; ta sẽ chứng minh rằng $K \in \mathscr{K}$, điều này sẽ hoàn tất chứng minh bổ đề. Theo Mệnh đề 8,

Hàm $\varphi_K u$ là âm, do đó quả thật ta có $\varphi_K \cdot \nu \leq M \varphi_K \cdot \mu$.

Bây giờ ta hãy hoàn tất chứng minh Định lý 2. Giả sử điều kiện 3) được thỏa và định nghĩa $\mathscr{K}$ như trong Bổ đề 3. Cho $(K_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ địa phương đếm được các phần tử từng đôi một rời nhau của $\mathscr{K}$, sao cho tập $N = T - \bigcup_{\alpha \in A} K_\alpha$ là không đáng kể theo $\mu$ một cách địa phương (Ch. IV, §5, No. 9, Mệnh đề 14); vì họ $(K_\alpha)$ là địa phương đếm được, nên $N$ là đo được một cách phổ dụng và do đó là không đáng kể theo $\nu$ một cách địa phương. Đặt $\mu_\alpha = \varphi_{K_\alpha} \cdot \mu$, $\nu_\alpha = \varphi_{K_\alpha} \cdot \nu$; vì các hàm $\varphi_{K_\alpha}$ tạo thành một họ địa phương đếm được, có tổng bằng 1 gần như khắp một cách địa phương đối với $\mu$ và đối với $\nu$, Mệnh đề 6 suy ra rằng $\mu = \sum_{\alpha \in A} \mu_\alpha$, $\nu = \sum_{\alpha \in A} \nu_\alpha$. Mặt khác, theo định nghĩa của $\mathscr{K}$, với mọi $\alpha$ tồn tại một hằng số $M_\alpha$ sao cho $\nu_\alpha \leq M_\alpha \mu_\alpha$; do đó Bổ đề 2 suy ra sự tồn tại của một hàm $g_\alpha$, mà ta có thể giả sử bằng không ở ngoài $K_\alpha$ và dương (Hệ quả 3 của Mệnh đề 3), sao cho $\nu_\alpha = g_\alpha \cdot \mu_\alpha$. Do đó (No. 4, Mệnh đề 8)

Tập hợp $g = \sum_{\alpha \in A} g_\alpha$; vì họ $(g_\alpha)$ là địa phương đếm được và họ $(\nu_\alpha)$ là khả tổng, Mệnh đề 6 suy ra rằng $g$ là địa phương $\mu$-khả tích, và rằng $\nu = g \cdot \mu$, điều đó chứng minh định lý.