§ 7. Intégration par rapport à une mesure induite

1. Intégration par rapport à une mesure induite

Soient X un sous-espace localement compact de T, $\mu$ une mesure positive sur T, $\mu_X$ la mesure induite sur X par $\mu$ (chap. IV, 2e éd., § 5, n° 7). Pour tout $t \in T$ , définissons une mesure $\lambda_t$ sur X de la façon suivante : $\lambda_t = \varepsilon_t$ si $t \in T$ , $\lambda_t = 0$ si $t \in \mathbf{C}X$ . Pour toute fonction numérique finie $g$ définie dans $X$ , on a $\int g(x)\ d\lambda_t(x) = g(t)$ si $t \in X$ et $\int g(x)\ d\lambda_t(x) = 0$ si $t \in \mathbf{C}X$ . Si $g$ est une fonction de $\mathscr{H}(X)$ , on a donc, par définition de $\mu_X$

(1)

\mu_X(g) = \int \langle g, \lambda_t \rangle\ d\mu(t).

Cela signifie que l’on peut écrire

(2)

\mu_X = \int \lambda_t\ d\mu(t)

(

§ 3, n^\circ 1

Définissons maintenant une application $\pi$ de $T$ dans $X$ en posant $\pi(t) = t$ pour $t \in X$ , et $\pi(t) = t_0$ pour $t \in \mathbf{C}X$ , $t_0$ étant un point arbitraire de $X$ ; on peut écrire, pour tout $t \in T$ , $\lambda_t = \varphi_X(t)\varepsilon_{\pi(t)}$ . L’application $\pi$ est $\mu$ -mesurable, car ses restrictions à $X$ et à $\mathbf{C}X$ le sont (chap. IV, 2e éd., $§ 5$ , $n^\circ 10$ , prop. 16); il en résulte aussitôt que le couple $(\pi, \varphi_X)$ est $\mu$ -adapté ( $§ 4, n^\circ 1$ ). On a par conséquent les résultats suivants:

Proposition 1

Pour toute fonction numérique $g \geqslant 0$ définie dans $X$ , on a

(3)

\int^* g\ d\mu_X = \int_X^* g\ d\mu

(cf.

§ 5, n^\circ 3

, Exemple, pour la notation

\int_X^*

Si on tient compte des remarques qui précèdent et de (2), la relation (3) résulte du th. 1 du $§ 4$ .

Corollaire 1

Pour toute partie $B$ de $X$ , on a $\mu_X^*(B) = \mu^*(B)$ ; pour que $B$ soit localement $\mu_X$ -négligeable, il faut et il suffit que $B$ soit localement $\mu$ -négligeable.

Corollaire 2

Soit $M$ une partie de $T$ . Si $\mu$ est concentrée sur $M$ , $\mu_X$ est concentrée sur $M \cap X$ .

Corollaire 3

Pour que la mesure $\mu_X$ soit nulle, il faut et il suffit que $X$ soit localement $\mu$ -négligeable.

Remarque

Si $S$ est le support de $\mu$ , $S \cap X$ (qui est fermé dans $X$ ) contient le support de $\mu_X$ d’après le cor. 2, mais peut en être distinct. Par exemple, si $\mu$ est une mesure diffuse et $X$ un sous-espace réduit à un point, la mesure induite $\mu_X$ est nulle, donc son support est vide. On notera cependant que le support de $\mu_X$ est égal à $S \cap X$ si $X$ est ouvert dans $T$ .

Proposition 2

Pour qu’une application $g$ de $X$ dans un espace topologique soit $\mu_X$ -mesurable, il faut et il suffit que $g$ soit $\mu$ -mesurable dans $X$ ( $§ 5$ , no 3, Exemple). Cela résulte de la prop. 3 du $§ 4$ .

Corollaire

Pour qu’une partie $B$ de $X$ soit $\mu_X$ -mesurable, il faut et il suffit que $B$ soit $\mu$ -mesurable.

Théorème 1

Soit $g$ une fonction définie dans $X$ , à valeurs dans $\bar{\mathbf{R}}$ ou dans un espace de Banach. Pour que $g$ soit essentiellement $\mu_X$ -intégrable, il faut et il suffit que $g$ soit essentiellement $\mu$ -intégrable dans $X$ ( $§ 5$ , no 3, Exemple), et on a alors

\int g\, d\mu_X = \int_X g\, d\mu.

Cela résulte du th. 2 du

§ 4

Corollaire 1

Pour qu’une partie $B$ de $X$ soit essentiellement $\mu_X$ -intégrable, il faut et il suffit qu’elle soit essentiellement $\mu$ -intégrable, et on a $\mu_X(B) = \mu(B)$ .

Corollaire 2

Soit $g$ une fonction complexe définie dans $T$ et localement $\mu$ -intégrable; la restriction $g_X$ de $g$ à $X$ est alors localement $\mu_X$ -intégrable, et on a

(g \cdot \mu)_X = g_X \cdot \mu_X

Cela résulte aussitôt du th. 1, appliqué aux fonctions

fg

(

f \in \mathscr{H}(T; \mathbf{C})

) et de la définition de la mesure induite par une mesure complexe sur

X

(chap. IV, 2e éd.,

§ 5

, no 7).

Corollaire 3

Soit $\theta$ une mesure complexe sur $T$ ; on a

|\theta|_X = |\theta_X|

Posons en effet

|\theta| = \mu

, et appliquons le cor. 2 en prenant pour

g

une fonction complexe de valeur absolue 1 telle que

\theta = g \cdot \mu

(

§ 5

, no 5, cor. 3 du th. 2); il vient

\theta_X = g_X \cdot \mu_X

; mais

g_X

est une fonction de valeur absolue 1, et la formule (6) résulte de la prop. 2 du

§ 5

, no 2.

Remarque

a) Le cor. 3 a déjà été démontré par une autre méthode (chap. IV, 2e éd., § 7, lemme 3). b) En vertu du cor. 3, les corollaires 1, 2, 3 de la prop. 1, la prop. 2, le théorème 1 et ses cor. 1, 2 s’étendent aussitôt à une mesure complexe.

Scholie

Pour toute fonction f (resp. g) définie dans X (resp. dans T) à valeurs dans l’espace de Banach F ou dans $\bar{\mathbf{R}}$ , désignons par $\zeta(f)$ (resp. par $\rho(g)$ ) le prolongement par 0 de f à T (resp. la restriction de g à X). On a $\zeta(\rho(g)) = \varphi_X \cdot g$ , $\rho(\zeta(f)) = f$ . Désignons par $\mu'$ la mesure $\varphi_X \cdot \mu$ sur T. Pour tout $p \in \{1, +\infty\}$ , les propositions 1 et 2 entraînent que $\zeta$ applique $\mathscr{L}_F^p(X, \mu_X)$ dans $\mathscr{L}_F^p(T, \mu')$ , que $\rho$ applique $\mathscr{L}_F^p(T, \mu')$ sur $\mathscr{L}_F^p(X, \mu_X)$ , avec conservation de la norme dans les deux cas, et de l’intégrale pour $p = 1$ (th. 1); par passage aux espaces séparés associés, on obtient deux isomorphismes réciproques l’un de l’autre. De même, si l’on applique $\zeta$ et $\rho$ à des fonctions numériques positives, il y a conservation de l’intégrale supérieure essentielle (prop. 1). Si l’on convient donc d’identifier une fonction sur X à une fonction sur T nulle sur $X - T$ , et la mesure $\mu_X$ à la mesure $\mu'$ , on ramène les problèmes concernant les mesures induites à des problèmes concernant les mesures définies par des densités, traités au § 5. Cette manière de raisonner s’applique d’ailleurs aussi aux mesures complexes, d’après le cor. 3 du th. 1.

2. Propriétés des mesures induites

Proposition 3

Soient X un sous-espace localement compact de T, et $\lambda$ une mesure complexe sur X. Les propriétés suivantes sont équivalentes: a) l’injection canonique $i : X \to T$ est $\lambda$ -propre; b) pour tout compact K de T, $K \cap X$ est essentiellement $\lambda$ -intégrable; c) tout point $t \in T$ admet un voisinage V tel que $V \cap X$ soit essentiellement $\lambda$ -intégrable; d) il existe une mesure $\theta$ sur T telle que $\theta_X = \lambda$ . Si ces conditions équivalentes sont satisfaites, on a avec la notation de d),

(i(\lambda))_X = \lambda \quad \text{et} \quad i(\lambda) = i(\theta_X) = \varphi_X \cdot \theta.

L’injection i étant continue, l’équivalence des propriétés a), b) et c) résulte de la prop. 1 du § 6, et de la remarque qui la suit, appliquées à la mesure positive $|\lambda|$ . Si $\lambda$ est induite sur $X$ par une mesure $\theta$ sur $T$ , on a $|\lambda| = |\theta|_X$ (formule (6)), et par conséquent $|\lambda|(K \cap X) = |\theta|(K \cap X) \leq |\theta|(K) < +\infty$ (prop. 1) pour tout compact $K$ de $T$ , de sorte que d) entraîne b). Supposons que a) soit satisfaite, et montrons que $(i(\lambda))_X = \lambda$ , ce qui entraînera d). Soit $g$ un élément de $\mathscr{H}(X; \mathbf{C})$ ; on a, par définition de la mesure induite, puis par la prop. 7 du , n° 4, $g'$ désignant le prolongement par 0 de $g$ à $T$

\int g\, d(i(\lambda))_X = \int g'\, d(i(\lambda)) = \int (g' \circ i)\, d\lambda = \int g\, d\lambda.

Cela achève de prouver l’équivalence des quatre propriétés. Si $\lambda = \theta_X$ , et si $g \in \mathscr{H}(T; \mathbf{C})$ , on a

\int g\, d(i(\theta_X)) = \int (g \circ i)\, d(\theta_X) = \int g \varphi_X\, d\theta,

car $g \varphi_X$ est le prolongement par 0 de $g \circ i$ à $T$ . Cela prouve la seconde formule (7).

Corollaire 1

Si $X$ est fermé, toute mesure complexe $\lambda$ sur $X$ est induite par une mesure sur $T$ .

En effet, si $K$ est un compact de $T$ , $K \cap X$ est alors compact, donc $\lambda$ -intégrable.

Corollaire 2

Soient $\theta$ une mesure complexe sur $T$ , $\pi$ une application $\theta$ -propre de $T$ dans un espace localement compact $Y$ , et $\pi_X$ sa restriction à $X$ . Alors $\pi_X$ est $\theta_X$ -propre, et on a $\pi_X(\theta_X) = \pi(\varphi_X \cdot \theta)$ .

En effet, on a $\pi_X = \pi \circ i$ , où $i$ est l’injection canonique $X \to T$ . Lorsque $\theta$ est positive le corollaire se déduit donc de la prop. 3 et de la transitivité des mesures images ( $§ 6$ , n° 3, prop. 4). Le cas d’une mesure complexe non positive en résulte par linéarité.

Proposition 4

Soient $X$ et $Y$ deux sous-espaces localement compacts de $T$ , tels que $Y \subset X$ . Si $\theta$ est une mesure complexe sur $T$ , la mesure $(\theta_X)_Y$ induite par $\theta_X$ sur $Y$ est égale à $\theta_Y$ (« transitivité des mesures induites »).

Il suffit de remarquer que, si $g$ est un élément de $\mathscr{H}(Y; \mathbf{C})$ , le prolongement par 0 de $g$ à $T$ s’obtient en prolongeant par 0 le prolongement par 0 de $g$ à $X$ , ou encore, en utilisant les identifications du Scholie, que $\varphi_Y \cdot \theta = \varphi_Y(\varphi_X \cdot \theta)$ ( $§ 5$ , n° 4, prop. 8).

Proposition 5

Soit $(\lambda_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille filtrante croissante de mesures positives sur $T$ , admettant une borne supérieure $\lambda$ , et soit $X$ un sous-espace localement compact de $T$ . La famille des mesures induites $\lambda_\alpha|X$ est alors majorée dans $\mathscr{M}(X)$ , et on a

\sup_{\alpha \in A} (\lambda_\alpha|X) = \lambda|X.

Compte tenu des identifications du Scholie, cette proposition est un cas particulier de la prop. 5 du § 5, n° 4.

Corollaire

Soit $(\mu_i)_{i \in I}$ une famille sommable de mesures positives sur $T$ , de somme $\mu$ . La famille des mesures induites $\mu_i|X$ est alors sommable, et on a

\sum_{i \in I} (\mu_i|X) = \mu|X.

Proposition 6

Soit $\Lambda : t \mapsto \lambda_t$ une application $\mu$ -adéquate de $T$ dans $\mathscr{M}_+(X)$ , où $X$ est un espace localement compact dénombrable à l’infini, et soit $Y$ un sous-espace localement compact de $X$ . Posons $\int \lambda_t d\mu(t) = v$ . L’application $t \mapsto \lambda_t|Y$ de $T$ dans $\mathscr{M}_+(Y)$ est alors $\mu$ -adéquate, et on a

\int (\lambda_t|Y) d\mu(t) = v|Y.

Compte tenu des identifications du Scholie, cette proposition est un cas particulier de la prop. 7 du § 5, n° 4.

Exercices

See the exercises for § 7.