Bài tập 6, § 5

a) Cho $\mu$ là một độ đo dương trên $T$. Nếu $A \subset T$ đo được phổ quát và không là $\mu$-không đáng kể địa phương, hãy chỉ ra rằng tồn tại một độ đo dương $\nu$ tập trung trên $A$ sao cho $\nu \neq 0$ và $\nu \leq \mu$. (Lấy $\nu = \varphi_K \cdot \mu$, trong đó $K$ là một tập con compact của $A$ không $\mu$-không đáng kể.)

b) Cho $M$ là một tập con đo được phổ quát của $T$. Để một độ đo dương $\lambda$ trên $T$ được tập trung trên $M$, điều kiện cần và đủ là $\lambda$ là xa lạ với mọi độ đo dương tập trung trên $\mathbf{C}M$ (sử dụng $a$).

c) Suy ra từ $b$) rằng các độ đo $\rho$ trên $T$, sao cho $|\rho|$ tập trung trên $M$, tạo thành một dải trong $\mathscr{M}(T)$. Dải này đóng theo nghĩa mơ hồ trong $\mathscr{M}(T)$ nếu $M$ là một tập con đóng của $T$ (Ch. III, §2, Mệnh đề 6).

d) Chỉ ra rằng độ đo Lebesgue trên $I = [0,1]$ là giới hạn mơ hồ của một dãy các độ đo nguyên tử tập trung trên một tập đếm được cố định $A \subset I$ (xem Ch. III, §2, Định lý 1 và Mệnh đề 13). Do đó dải các độ đo tập trung trên $A$ không đóng theo nghĩa mơ hồ.