Exercice 12, § 5

On dit qu’un espace compact stonien H est hyperstonien si la réunion des supports des mesures positives normales sur H (exerc. 11) est partout dense.

a) Soient T un espace localement compact, $\mu$ une mesure positive sur T. Montrer qu’il existe un isomorphisme $u \mapsto \theta_u$ de l’espace de Banach $L^\infty(T, \mu)$ sur l’espace $C(H)$ des fonctions continues numériques sur un espace hyperstonien H, tel que $\theta_u^+ = \theta_{u^+}$ (cf. prop. 14 et chap. II, § 1, exerc. 13).

b) Soit H un espace compact hyperstonien, et soit $(\mu_i)_{i \in I}$ une famille de mesures positives normales sur H telle que la réunion des supports des $\mu_i$ soit partout dense dans H. Montrer que, pour qu’un ensemble soit rare dans H, il faut et il suffit qu’il soit $\mu_i$-négligeable pour tout $i \in I$ (remarquer que, si A est $\mu_i$-négligeable, il en est de même de $\overline{A}$ (exerc. 11 b)). En déduire que, dans un espace hyperstonien, tout ensemble maigre est rare.

c) Les hypothèses étant les mêmes que dans b), montrer que, si f est une fonction numérique $\mu_i$-mesurable pour tout $i \in I$, il existe une fonction g continue dans H telle que f et g coïncident dans le complémentaire d’un ensemble rare (utiliser b) et l’exerc. 11 b)).

d) Soit H un espace hyperstonien. Montrer qu’il existe une famille $(G_\alpha)_{\alpha \in A}$ de parties ouvertes et fermées non vides de H, deux à deux disjointes, dont la réunion T est partout dense dans H, et telle que, pour tout $\alpha \in A$, il existe une mesure positive normale $\mu_\alpha$ sur $G_\alpha$, de support $G_\alpha$ (appliquer le th. de Zorn à l’ensemble des familles de mesures positives normales sur H, dont les supports sont mutuellement disjoints, et utiliser l’exerc. 11 a)). Soit $\mu$ la mesure sur T dont la restriction à chaque $G_\alpha$ est $\mu_\alpha$ (chap. III, 2e éd., § 2, prop. 1). Montrer que l’application qui, à toute fonction $f \in C(H)$, fait correspondre la classe dans $L^\infty(T, \mu)$ de sa restriction à T, est un isomorphisme de l’espace de Banach $C(H)$ sur $L^\infty(T, \mu)$ (utiliser c) pour montrer que l’application est surjective).