Exercice 16, § 4

Soit $X$ un espace complètement régulier, et soit $C(X)$ (resp. $C^b(X)$) l’espace de Riesz des fonctions numériques continues (resp. continues et bornées) dans $X$. a) Montrer que, si une forme linéaire $\lambda$ sur $C(X)$ est continue pour la topologie de la convergence compacte, elle est relativement bornée. b) Soit $\lambda$ une forme linéaire positive sur $C(X)$. Montrer que, si $\lambda$ est nulle dans $C^b(X)$, elle est nulle dans $C(X)$ (soit $\varphi$ l’application canonique de $C(X)$ sur l’espace de Riesz quotient $C(X)/C^b(X)$ (chap. II, § 1, exerc. 4); montrer que, si $h$ est une fonction continue $\geq 0$ et non bornée dans $X$, on a $n \varphi(h) \leq \varphi(h^2)$ pour tout entier $n > 0$. c) Soit $\beta X$ le compactifié de Stone-Čech de $X$, espace compact obtenu en munissant $X$ de la structure uniforme la moins fine rendant uniformément continues les fonctions de $C^b(X)$ et en complétant l’espace uniforme ainsi obtenu; toute fonction $f \in C(X)$ se prolonge alors par continuité en une fonction $\tilde{f}$ continue dans $\beta X$, à valeurs finies ou non (considérer $f/(1 + |f|)$). Si $\lambda$ est une forme linéaire positive sur $C(X)$, la restriction de $\lambda$ à $C^b(X)$ est de la forme $f \mapsto \mu(\tilde{f})$, où $\mu$ est une mesure positive sur $\beta X$; montrer que, pour toute fonction $f \in C(X)$, $\tilde{f}$ est intégrable pour $\mu$ et qu’on a $\lambda(f) = \mu(\tilde{f})$ (utiliser b), en remarquant que toute fonction $\geq 0$ de $C(X)$ est enveloppe supérieure d’une suite de fonctions de $C^b(X)$. d) Montrer que tout point $x_0$ du support de $\mu$ qui n’appartient pas à $X$ possède la propriété suivante: pour toute suite décroissante $(V_n)$ de voisinages de $x_0$, l’intersection des $V_n$ contient au moins un point de $X$. Réciproque. e) Déduire de d) que si $X$ est localement compact et dénombrable à l’infini, le support de $\mu$ est contenu dans $X$ (comparer à h)). f) Si $X$ est discret, montrer que le support de $\mu$ est fini (dans le cas contraire, former une fonction $f \geq 0$ définie dans $X$ et telle que $\tilde{f}$ ne soit pas $\mu$-intégrable). g) Montrer que si une forme linéaire $\lambda$ sur $C(X)$ est positive et continue pour la topologie de la convergence compacte, le support de $\mu$ est contenu dans $X$ (cf. chap. III, § 2, prop. 11). h) Soient $X_0$ l’espace compact obtenu par adjonction d’un point à l’infini $\omega$ à l’espace localement compact $X$ défini dans Top. gén. chap. I, 3e éd., § 9, exerc. 12, Y le sous-espace de $\bar{\mathbf{R}}$ formé des entiers $\geq 0$ et de $+\infty$, Z l’espace localement compact complémentaire du point $(\omega, +\infty)$ dans l’espace produit $X_0 \times Y$. Montrer que toute fonction numérique continue dans $Z$ est bornée et que $f(z)$ tend vers une limite lorsque $z$ tend vers le point à l’infini $(\omega, +\infty)$ de $Z$. En déduire que, si $\mu$ est la mesure sur $Z$ définie par la masse $1/2^n$ placée au point $(\omega, n)$ pour tout $n \geq 0$, toute fonction continue sur $Z$ est $\mu$-intégrable, mais le support de $\mu$ n’est pas compact.