Bài tập 16, § 4

Cho $X$ là một không gian chính quy hoàn toàn, và cho $\mathscr{C}(X)$ (tương ứng $\mathscr{C}^b(X)$) là không gian Riesz của các hàm số liên tục (tương ứng liên tục và bị chặn) trên $X$.

a) Chứng minh rằng nếu một dạng tuyến tính $\lambda$ trên $\mathscr{C}(X)$ liên tục đối với tôpô hội tụ trên các tập compact, thì nó bị chặn tương đối.

b) Cho $\lambda$ là một dạng tuyến tính dương trên $\mathscr{C}(X)$. Chứng minh rằng nếu $\lambda$ bằng không trên $\mathscr{C}^b(X)$, thì nó bằng không trên $\mathscr{C}(X)$ (gọi $\varphi$ là ánh xạ chính tắc của $\mathscr{C}(X)$ lên không gian Riesz thương $\mathscr{C}(X)/\mathscr{C}^b(X)$ (Ch. II, §1, Bài tập 4); chứng minh rằng nếu $h$ là một hàm liên tục $\geqslant 0$ và không bị chặn trên $X$, thì $n \varphi(h) \leqslant \varphi(h^2)$ với mọi số nguyên $n > 0$).

c) Cho $\beta X$ là compact hóa Stone–Čech của $X$, không gian compact thu được bằng cách trang bị cho $X$ cấu trúc đều thô nhất sao cho các hàm trong $\mathscr{C}^b(X)$ là đều liên tục và bằng cách hoàn thành không gian đều thu được như vậy; khi đó mọi hàm $f \in \mathscr{C}(X)$ có thể được mở rộng bởi tính liên tục thành một hàm liên tục $\widetilde{f}$ trên $\beta X$, có thể nhận các giá trị vô hạn (xét $f/(1+|f|)$). Nếu $\lambda$ là một dạng tuyến tính dương trên $\mathscr{C}(X)$, thì hạn chế của $\lambda$ trên $\mathscr{C}^b(X)$ có dạng $f \mapsto \mu(\widetilde{f})$, trong đó $\mu$ là một độ đo dương trên $\beta X$; chứng minh rằng với mọi hàm $f \in \mathscr{C}(X)$, $\widetilde{f}$ khả tích đối với $\mu$ và $\lambda(f) = \mu(\widetilde{f})$ (sử dụng b), chú ý rằng mọi hàm $\geqslant 0$ thuộc $\mathscr{C}(X)$ là bao trên của một dãy các hàm trong $\mathscr{C}^b(X)$.

d) Chứng minh rằng mọi điểm $x_0$ của giá của $\mu$ không thuộc $X$ có tính chất sau: đối với mọi dãy giảm $(V_n)$ các lân cận của $x_0$, giao của các $V_n$ chứa ít nhất một điểm của $X$. Đảo lại.

e) Suy ra từ d) rằng nếu $X$ là địa phương compact và đếm được ở vô hạn, thì giá của $\mu$ được chứa trong $X$ (so sánh với h)).

f) Nếu $X$ là rời rạc, chứng minh rằng giá của $\mu$ là hữu hạn (trong trường hợp ngược lại, lập một hàm $f \geqslant 0$ xác định trên $X$ sao cho $\widetilde{f}$ không $\mu$-khả tích).

g) Chứng minh rằng nếu một dạng tuyến tính $\lambda$ trên $\mathscr{C}(X)$ là dương và liên tục đối với tôpô của sự hội tụ compact, thì giá đỡ của $\mu$ được chứa trong $X$ (xem Ch. III, §2, No. 3, Mệnh đề 11).

h) Cho $X_0$ là không gian compact thu được bằng cách ghép thêm một điểm ở vô cực $\omega$ vào không gian compact địa phương $X$ được xác định trong GT, I, §9, Bài tập 11, cho $Y$ là không gian con của $\overline{\mathbf{R}}$ tạo bởi các số nguyên $\geqslant 0$ và $+\infty$, và cho $Z$ là không gian compact địa phương bù của điểm $(\omega, +\infty)$ trong không gian tích $X_0 \times Y$. Chứng minh rằng mọi hàm số liên tục trên $Z$ đều bị chặn và rằng $f(z)$ tiến tới một giới hạn khi $z$ tiến tới điểm ở vô cực $(\omega, +\infty)$ của $Z$. Từ đó, suy ra rằng nếu $\mu$ là độ đo trên $Z$ được xác định bởi khối lượng $1/2^n$ đặt tại điểm $(\omega, n)$ với mọi $n \geqslant 0$, thì mọi hàm liên tục trên $Z$ đều $\mu$-khả tích, nhưng giá đỡ của $\mu$ không compact.