(i) L’espace localement convexe $\mathscr{K}(X; E)$ est séparé. Pour toute partie compacte $K$ de $X$, la topologie induite par celle de $\mathscr{K}(X; E)$ sur $\mathscr{K}(X, K; E)$ est la topologie de la convergence uniforme dans $K$, et chacun des sous-espaces $\mathscr{K}(X, K; E)$ est fermé dans $\mathscr{K}(X; E)$.

(ii) Si $E$ est produit d’un nombre fini d’espaces localement convexes $E_i$ ($1 \leq i \leq n$), l’application $f \mapsto (\mathrm{pr}_i \circ f)$ est un isomorphisme de l’espace $\mathscr{K}(X; E)$ sur l’espace produit $\prod_{1 \leq i \leq n} \mathscr{K}(X; E_i)$.

(iii) Si $X$ est somme d’une famille d’espaces localement compacts $(X_\lambda)_{\lambda \in L}$, l’application $f \mapsto (f|X_\lambda)_{\lambda \in L}$ est un isomorphisme de l’espace $\mathscr{K}(X; E)$ sur l’espace somme directe topologique de la famille $(\mathscr{K}(X_\lambda; E))_{\lambda \in L}$.

(i) Notons que, sur $\mathscr{K}(X; E)$, la topologie de la convergence uniforme dans $X$ est compatible avec la structure d’espace vectoriel de $\mathscr{K}(X; E)$, car pour toute $f \in \mathscr{K}(X; E)$, de support (compact) $S$, l’ensemble $f(X) = f(S) \cup \{0\}$ est compact, donc borné dans $E$ (Esp. vect. top., chap. III, § 3, n° 1, prop. 1). Comme cette topologie $\mathscr{T}_0$ est localement convexe et induit sur chacun des $\mathscr{K}(X, K; E)$ la topologie de la convergence uniforme dans $K$, il en est de même de la topologie limite inductive $\mathscr{T}$ sur $\mathscr{K}(X; E)$ (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 4, n° 4, Remarque); en outre $\mathscr{T}$ est plus fine que $\mathscr{T}_0$ et $\mathscr{T}_0$ est séparée, donc $\mathscr{T}$ est séparée. Enfin, supposons qu’une fonction $f \in \mathscr{K}(X; E)$ soit adhérente à $\mathscr{K}(X, K; E)$; par définition, il existe une partie compacte $K' \supset K$ de $X$ telle que $f \in \mathscr{K}(X, K'; E)$. D’après ce qui précède, $f$ est adhérent à $\mathscr{K}(X, K; E)$ dans l’espace $\mathscr{K}(X, K'; E)$, donc appartient à $\mathscr{K}(X, K; E)$.

(ii) Le critère de continuité dans une limite inductive (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 4, n° 4, prop. 5) montre aussitôt que l’application $f \mapsto (\mathrm{pr}_i \circ f)$ est continue et qu’il en est de même de l’application réciproque (pour cette dernière, il suffit de remarquer que si, pour toute fonction $f_i \in \mathscr{K}(X; E_i)$, on désigne par $f'_i$ l’application de $X$ dans $E$ telle que $\mathrm{pr}_i \circ f'_i = f_i$, $\mathrm{pr}_j \circ f'_i = 0$ pour $j \neq i$, chacune des applications $f_i \mapsto f'_i$ est continue).

(iii) Toute partie compacte $K$ de $X$ ne rencontre que les $X_\lambda$ d’une sous-famille finie $(X_\lambda)_{\lambda \in H}$ de $(X_\lambda)_{\lambda \in L}$, et il est immédiat que si l’on pose $K_\lambda = K \cap X_\lambda$ pour $\lambda \in H$, l’application $f \mapsto (f|X_\lambda)_{\lambda \in H}$ est un isomorphisme de $\mathscr{K}(X, K; E)$ sur $\prod_{\lambda \in H} \mathscr{K}(X_\lambda, K_\lambda; E)$. Inversement, pour toute fonction $f_\lambda \in \mathscr{K}(X_\lambda; E)$, soit $f''_\lambda$ l’application de $X$ dans $E$ telle que $f''_\lambda|X_\lambda = f_\lambda$ et $f''_\lambda|X_\mu = 0$ pour $\mu \neq \lambda$; il est immédiat que l’application $f_\lambda \mapsto f''_\lambda$ de $\mathscr{K}(X_\lambda; E)$ dans $\mathscr{K}(X; E)$ est continue. L’assertion (iii) résulte de ces remarques et du critère de continuité dans les limites inductives (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 4, n° 4, prop. 5).

Supposons que $E$ soit un espace de Fréchet. Pour toute partie compacte $K$ de $X$, $\mathscr{K}(X, K; E)$ est alors un espace de Fréchet, donc tonnelé, et l’on sait qu’une limite inductive d’espaces tonnelés est tonnelée (Esp. vect. top., chap. III, § 1, n° 2, cor. 2 de la prop. 2), d’où (i).

Si $X$ est paracompact, on sait (Top. gén., chap. I, 3e éd., § 9, n° 10, th. 5) que $X$ est somme d’une famille $(X_\lambda)_{\lambda \in L}$ d’espaces localement compacts dénombrables à l’infini; donc (prop. 1, (iii)), $\mathscr{K}(X; E)$ est somme directe topologique de la famille de sous-espaces $\mathscr{K}(X_\lambda; E)$ ($\lambda \in L$). En vertu de la caractérisation des ensembles bornés dans une somme directe topologique (Esp. vect. top., chap. III, 2e éd.), tout ensemble borné dans $\mathscr{H}(X; E)$ est contenu dans la somme d’un nombre fini de sous-espaces $\mathscr{H}(X_\lambda; E)$, et il suffira de prouver que tout ensemble borné dans $\mathscr{H}(X_\lambda; E)$ est contenu dans un sous-espace $\mathscr{H}(X_\lambda, K_\lambda; E)$, où $K_\lambda$ est compact dans $X_\lambda$. On est ainsi ramené au cas où $X$ est dénombrable à l’infini, autrement dit réunion d’une suite d’ouverts relativement compacts $U_n$ tels que $\overline{U}_n \subset U_{n+1}$ (Top. gén., chap. I, 3e éd., § 9, no 9, prop. 15). Alors $\mathscr{H}(X; E)$ est limite inductive stricte de la suite d’espaces $\mathscr{H}(X, \overline{U}_n; E)$, d’où l’assertion (ii) (Esp. vect. top., chap. III, § 2, no 4, prop. 6).

Nous dirons qu’une partie $H$ de $\mathscr{H}(X; E)$ est strictement compacte si elle est compacte, et s’il existe une partie compacte $K$ de $X$ telle que $H \subset \mathscr{H}(X, K; E)$. Il résulte aussitôt de la prop. 2 que si $X$ est un espace localement compact paracompact et si $E$ est séparé, tout ensemble compact dans $\mathscr{H}(X; E)$ est strictement compact. On peut donner des exemples d’espaces localement compacts $X$ (non paracompacts) tels qu’il existe dans $\mathscr{H}(X; R)$ des ensembles compacts mais non strictement compacts (exerc. 3 et 4).

En vertu du th. d’Ascoli (Top. gén., chap. X, 2e éd., § 2, no 5, cor. 3 du th. 2), rappelons qu’une partie strictement compacte $H$ de $\mathscr{H}(X; E)$, contenue dans $\mathscr{H}(X, K; E)$, est caractérisée par les conditions suivantes : 1° elle est fermée ; 2° elle est équicontinue ; 3° pour tout $x \in K$, l’ensemble $H(x)$ est relativement compact dans $E$.

En effet, il suffit, en vertu de la prop. 2, (ii), de remarquer que pour toute partie compacte $K$ de $X$, $\mathscr{H}(X, K; E)$ est un sous-espace fermé de $C(K; E)$, qui est quasi-complet, toute partie bornée de $C(K; E)$ étant formée de fonctions prenant leurs valeurs dans une même partie bornée de $E$.

En effet, soit $X'$ l’espace compact obtenu en adjoignant à X un point à l’infini $\omega$ (Top. gén., chap. I, 3e éd., § 9, n° 8, th. 4); les ensembles $V_0 = X' - K$ et $V_k$ ($1 \leq k \leq n$) forment un recouvrement ouvert de $X'$. Soit $(f_k)_{0 \leq k \leq n}$ une partition continue de l’unité subordonnée à ce recouvrement de $X'$ (Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 4, n° 3, prop. 3); les fonctions $f_k$ d’indice $k \geq 1$ répondent aux conditions du lemme.

Soit $X$ un espace localement compact; pour tout espace de Banach $E$ (réel ou complexe), nous désignerons par $C^b(X;E)$ l’espace vectoriel des applications continues et bornées de $X$ dans $E$; on sait que la topologie de la convergence uniforme dans $X$ est compatible avec la structure d’espace vectoriel (réel, resp. complexe) de $C^b(X;E)$, et est définie par la norme

Soit en effet $f \in C^b(X;E)$ une fonction adhérente à $\mathscr{K}(X;E)$; pour tout $\varepsilon > 0$ il existe une fonction $g \in \mathscr{K}(X;E)$, telle que ||f(x) - g(x)|| \leq \varepsilon pour tout x \in X ; si K est le support de g, on a donc ||f(x)|| \leq \varepsilon pour tout x \in C K, donc f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers \omega. Inversement, si f possède cette propriété, pour tout \varepsilon > 0 il existe un ensemble compact K \subset X tel que ||f(x)|| \leq \varepsilon pour tout x \in C K. En vertu du lemme 1, il existe une application continue h de X dans [0, 1], à support compact, égale à 1 dans K ; on a donc ||f(x)h(x)|| \leq \varepsilon dans C K et f(x) = f(x)h(x) dans K ; comme fh est à support compact et que ||f(x) - f(x)h(x)|| \leq 2\varepsilon pour tout x \in X, la proposition est démontrée.

Nous noterons \mathscr{C}^0(X ; E) le sous-espace de \mathscr{C}^b(X ; E) formé des fonctions tendant vers 0 au point à l’infini \omega ; c’est donc le complété de l’espace normé \mathscr{K}(X ; E).

En effet, pour tout ensemble compact K \subset X, il existe une fonction h \in \mathscr{K}(X ; \mathbf{R}) égale à 1 dans K, en vertu du lemme 1 ; pour toute fonction f \in \mathscr{C}(X ; E), la fonction hf, qui appartient à \mathscr{K}(X ; E), est égale à f dans K, d’où notre assertion.

La seconde assertion étant conséquence évidente de la première, il suffit de prouver celle-ci. Or, appliquons le lemme 2 en prenant \Phi réduit à un élément f de \mathscr{K}(X, K ; E) ; on a alors, pour tout x \in X

où les \varphi_j appartiennent à \mathscr{K}(X, K ; \mathbf{R}) ; comme l’application $x \mapsto \sum_{j=1}^n \varphi_j(x)f(x_j)$ est canoniquement identifiée à l’élément

La condition étant évidemment nécessaire, il suffit de prouver que (5) entraîne (4) pour toute partie compacte K de X. Or K est recouvert par un nombre fini d’ensembles ouverts $\dot{K}_{\alpha_i}$ (1 $\leq i \leq n$); appliquant à K et aux $\dot{K}_{\alpha_i}$ le lemme 1 du n° 2, il existe des fonctions $g_i \geq 0$ continues dans X, telles que $\operatorname{Supp}(g_i) \subset K_{\alpha_i}$,

pour tout $x \in X$ et $\sum_{i=1}^n g_i(x) = 1$ pour $x \in K$. Pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(X, K ; C)$, on peut donc écrire $f = \sum_{i=1}^n fg_i$, et on a

Nous désignerons par $\mathscr{M}(X ; C)$, ou simplement $\mathscr{M}(X)$ si aucune confusion n’en résulte, l’espace vectoriel des mesures sur $X$, autrement dit le dual de $\mathscr{K}(X ; C)$. On sait que pour tout ensemble $\mathfrak{S}$ de parties bornées de $\mathscr{K}(X ; C)$, on a défini sur $\mathscr{M}(X ; C)$ la $\mathfrak{S}\text{-topologie}$, qui est localement convexe (Esp. vect. top., chap. IV, § 2, n° 3). Nous désignerons l’espace vectoriel topologique obtenu en munissant $\mathscr{M}(X ; C)$ de la $\mathfrak{S}\text{-topologie}$ par $\mathscr{M}_{\mathfrak{S}}(X ; C)$, ou $\mathscr{M}_{\mathfrak{S}}(X)$.

Cela résulte de ce que $\mathscr{K}(X ; C)$ est tonnelé (Esp. vect. top., chap. III, § 3, n° 7, cor. 2 du th. 4).

Exemples de mesures. — I. Mesures atomiques. Soient $X$ un espace localement compact, $a$ un point de $X$; l’application $f \mapsto f(a)$ de $X$ dans $C$ vérifie évidemment la condition (4) avec $M_K = 1$ pour toute partie compacte $K$ de $X$ contenant $a$, donc est une mesure sur $X$, qu’on désigne par $\varepsilon_a$; on dit que c’est la mesure de Dirac au point $a$, ou encore la mesure définie par la masse unité placée au point $a$.

Plus généralement, soit $\alpha$ une application de $X$ dans $C$, telle que, pour toute partie compacte $K$ de $X$, on ait $\sum_{x \in K} |\alpha(x)| < +\infty$. Alors, pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(X, K ; C)$, la somme

On dit qu’une mesure $\mu$ sur $X$ est atomique s’il existe une application $\alpha$ de $X$ dans $\mathbf{C}$ telle que $\sum_{x \in K} |\alpha(x)| < +\infty$ pour toute partie compacte $K$ de $X$, et telle que $\mu$ soit égale à la mesure définie comme ci-dessus. Si $N$ est l’ensemble des $x \in X$ tels que $\alpha(x) \neq 0$, la condition imposée à $\alpha$ entraîne que pour toute partie compacte $K$ de $X$, $K \cap N$ est dénombrable. On dit aussi que $\mu$ est définie par les masses $\alpha(x)$ placées aux points $x \in N$. Si l’on suppose que $N \cap K$ est fini pour tout ensemble compact $K \subset X$, on a évidemment $\sum_{x \in K} |\alpha(x)| < +\infty$; il revient au même de dire que $N$ est un sous-espace fermé et discret de $X$, car tout point de $X$ possède alors un voisinage compact ne contenant qu’un nombre fini de points de $N$, et inversement, s’il en est ainsi, toute partie compacte de $X$ peut être recouverte par un nombre fini de tels voisinages. Lorsque $N$ est fermé et discret, toute mesure atomique définie par une fonction $\alpha$ telle que $\alpha(x) = 0$ dans $\mathbf{C}N$ est appelée mesure discrète sur $X$ (cf. § 2, n° 5).

II. Mesure de Lebesgue. Pour toute fonction $f \in \mathscr{K}(\mathbf{R}; \mathbf{C})$, il existe un intervalle compact $[a, b]$ de $\mathbf{R}$ en dehors duquel $f$ est nulle. L’intégrale

Pour tout intervalle $J$ (borné ou non) de $\mathbf{R}$, on appelle de même mesure de Lebesgue sur $J$ la mesure $f \mapsto \int_J f(x) \, dx$, forme linéaire sur $\mathscr{K}(J; \mathbf{C})$ (l’intégrale ayant un sens puisqu’il existe un intervalle compact $[a, b]$ contenu dans $J$ en dehors duquel $f$ est nulle).

III. Soit $g$ une application continue d’un intervalle compact $I \subset \mathbf{R}$ dans $\mathbf{C}$, admettant une dérivée continue dans $I$. Soit $\Gamma = g(I)$, qui est un sous-espace compact de $\mathbf{C}$; l’application

En effet, soit $\mu$ une forme linéaire positive sur $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$, et soit $K$ une partie compacte de $X$. Il existe une application continue $f_0$ de $X$ dans $[0, 1]$, à support compact, telle que $f_0(x) = 1$ dans $K$ (n° 2, lemme 1). Pour toute fonction $g \in \mathscr{K}(X, K; \mathbf{R})$, on a donc $-\|g\|f_0 \leq g \leq \|g\|f_0$, et par suite $|\mu(g)| \leq \|g\|\cdot\mu(f_0)$, ce qui démontre le théorème.

On désigne par $\mathscr{M}_+(X)$ le cône pointé des mesures positives sur $X$ (ou ce qui revient au même, le cône des formes linéaires positives sur l’espace de Riesz $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$).

En vertu du th. 1 et du chap. II, § 2, n° 2, th. 1, tout revient à prouver qu’une mesure réelle $\mu$ sur $X$ est une forme linéaire relativement bornée sur l’espace de Riesz $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$. Or, soit $f$ une fonction continue $\geq 0$ dans $X$, à support compact $K$; la relation $0 \leq g \leq f$ dans $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$ entraîne que $\|g\| \leq \|f\|$ et que le support de $g$ est contenu dans $K$. Par hypothèse, il existe un nombre $M_K \geq 0$ tel que l’on ait $|\mu(h)| \leq M_K\cdot\|h\|$ pour toute fonction $h \in \mathscr{K}(X, K; \mathbf{R})$; on a donc $|\mu(g)| \leq M_K\cdot\|g\| \leq M_K\cdot\|f\|$, ce qui prouve le théorème.

L’espace $\mathscr{M}(X; \mathbf{R})$ des mesures réelles sur $X$ est donc identique à l’espace des formes linéaires relativement bornées sur l’espace de Riesz $\mathscr{K}(X; \mathbf{R})$; rappelons que dans $\mathscr{M}(X; \mathbf{R})$, la relation d’ordre $\mu \leq v$ signifie que $v - \mu$ est une mesure positive, ou encore que, pour toute fonction $f \in \mathscr{K}_+(X)$, on a $\mu(f) \leq v(f)$.